I. PRINCIPES

112. DÉFINITIONS. On nomme nombre premier un nombre qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et Tunité. On dit que deux nombres sont premiers entre eux^ lorsqu'ils n'ont d'autre diviseur commun que l'unité.

Exemples : les nombres 2, 3, 5, 7, 11, sont premiers; les nombres 35 et 24 sont premiers entre eux.

Remarque. Deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux : car tout diviseur commun aux deux nombres divise (78) leur différence qui est i.

H3. Principe i. Tout nombre premier qui ne divise pas un autre nombre entier est premier avec lui.

Par exemple, 7 est un nombre premier qui ne divise pas 10; 7 est premier avec 10. En effet, 7, étant premier, n'a que deux diviseurs, i et 7. Or 7 ne divise pas 10, par hypothèse : donc 7 et 10 n'ont d'autre di\'iseur commun que l'unité , et sont premiers entre eux (112).

114. Principe ii. Tout nombre entier, premier ou non^ admet au moins un diviseur premier y autre que i.

En efl'et: 1° Si le nombre est premier, 11 est pour lui-même un diviseur premier.

2° Si le nombre n'est pas premier, 95, par exemple, il admet, par définition, un ou plusieurs diviseurs autres que l'u^ nité. Soit 5 le plus petit de ces diviseurs: 5 est nécessairement un nombre premier, car, s'il ne l'était pas, il serait divisible par un autre nombre plus petit que lui, qui par suite (77) diviserait 95;et, par conséquent, 5 ne serait pas le plus petit diviseur de 95.

80 LIVRE n. — CHAPITRE IIl.

il5. Principe m. Si deux nombres entiers ne sont pas premiers entre eux., ils admettent au moins un diviseur premier commun, autre que l'unité.

Soient les nombres 72 et 56, non premiers entre eux: ils admettent, par définition, un diviseur commun, autre que l'unité. Si ce diviseur commun est premier, le théorème est démontré. S'il ne l'est pas, il admet lui-même (114) un diviseur premier, qui, le divisant, divise (77) ses multiples 72 et 56. C.Q.F.D.

416. Principe IV. Tout nombre entier, non premier, est un produit de facteurs premiers.

En effet, soit le nombre 60: il admet (114) un diviseur premier, 2 par exemple, et l'on a

Si 3o est premier, 60 est un produit de deux facteurs premiers. Si, au contraire, 3o n'est pas premier , il admet un diviseur premier, 2 par exemple, de sorte que l'on a

3o = 2 X 1 5, et, par sui'e (48), 60 --: 2 >< 2 x i5.

Si i5 est un nombre premier, 60 est un produit de trois facteurs pi-einiers. Si i5 n'est pas premier, il admet un diviseur premier, 3 par exemple, et Ton a

et, par suile, 60 -r 2X2x3x5.

11 est clair que, dans celle suite de divisions , les quotients successifs 3o, i5, 5 vont en diminuant, et qu'on arrive nécessairement à un quotient premier. Alors le nombre est un produit de facteurs premiers. C'est ce qu'il fallait démontrer.

il7. Principe v. La suite des nombres premiers est illimitée. 11 est évident qu'il y a des nombres premiers , puisqu'on en peut désigner; 2, 3, 5, par exemple. Mais nous allons démontrer que, si grand que soit un nombre premier, il en existe un plus grand que lui.

Considérons, par exemple, le nombre premier 17. Formons le produit

2 X 3 X 5 X 7 X II X i3x 17

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES NOMBRES PREMIERS. Si

de tous les nombres premiers qui ne sont pas supérieurs à 17, et ajoutons une unité à ce produit. Ou la somme

(2x3x5X7X II X i3x 17) -t- ï

est un nombre premier; et, comme elle est évidemment plus grande que 17, il existe un nombre premier plus grand que 17. Ou elle n'est pas un nombre premier , et alors elle admet (114) un diviseur premier. Mais ce diviseur ne peut être aucun des nombres 2, 3, 5, . . . 17, qui, divisant la première partie, ne divise pas la seconde, c'est-à-dire i : il faut donc que ce diviseur premier soit plus grand que 17: il existe donc encore, dans ce cas, un nombre premier supérieur à 17.

Ainsi, quelque grand que soit le nombre premier que Ton considère, il en existe de plus grands que lui. La suite des nombres premiers ne se termine donc pas ; ce qu'il fallait démontrer.

Il n'est pas inutile de faire observer que les cas dont nous venons de parler se présentent tous les deux. Ainsi les nombres i2X3)-l-i 0U7, (2X3x5)-}- I ou3i,(2X3x5xi7)-M ou 211 , sont des nombres premiers. Mais le nombre (2x3x5X7X II X i3) -H I ou 3oo3i est le produit des nombres premiers 59 et 509 , qui sont plus grands que i3; et de même le nombre (2 X 3 X 5 X 7 X 1 1 X i3 X 17) -H i ou 5io5ii est le produit des nombres premiers 19, 97 et 277 qui sont plus grands que 17.

118. Principe vi. Tout nombre entier, qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un deux, diviie Vautre.

Parexemple : 12 divise le produit (35x4^), et il est premier avec 35: il faut prouver que 12 divise 48' Et, en effet, puisque 35 et 12 sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est Tunité. Si l'on multiplie ces deux nombres par 48, le plus grand commun diviseur des produits (35 X 48) et (12 X 48) est (i X 48) ou 48 (105). Or 12 divise (35 x 48) par hypothèse; il divise aussi (12x48)^ dont il est un des facteurs: donc il divise (104) le plus grand commun diviseur de ces produits, c'est-à-dire 48. C'est ce qu'il fallait démontrer.

119. Principe vu. Tout nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise au moins Vun deux.

Par exemple : 7 est un nombre premier , qui divise le produit (42 X 27X36x58); il faut prouver qu'il divise au moins Tun des facteurs. Et, en effet, ce produit de 4 facteurs peut être considéré comme un produit de deux facteurs (42 X27 X 36) et 58. Or^, ou 7 divise 58, et le théorème est démontré ; ou il ne le divise pas, et alors (113) il est premier avec lui, et par suite (118) il divise Tautre facteur. Mais, dans ce cas, cet autre facteur 42 X 27 X 36) peut être à son tour considéré comme un produit de deux facteurs (42 X 27) et 36. Ou 7 divise 36, et le théorème est démontré; ou 7 ne divise pas 36, et il est premier avec lui; et, par suite , il divise l'autre facteur (42 X 27). On prouve de même que, dans ce cas, ou 7 divise 27, et le théorème est démontré; ou il est premier avec 27, et alors il divise 42.

Ce mode de raisonnement est évidemment général, et prouve le principe.

Il faut remarquer avec soin que le diviseur est ici essentiellement un nombre premier , et que le principe ne serait pas vrai pour un nombre entier quelconque. Ainsi 6 divise le produit (9x8), et ne divise ni 9 ni 8. ^

Corollaire. Tout nombre premier qui divise une puissance d\m nombre entier divise ce nombre. Car une puissance d'un nombre entier est un produit de facteurs égaux à ce nombre; et le nombre premier , qui divise ce produit, divise l'un des facteurs, c'est-à-dire le nombre entier.

120. Principe viii. Tout nombre entier ^ premier avec chacun des, facteurs d'un produit, est premier avec le produit.

Par exemple , 12 est premier avec chacun des facteurs du produit (25x35x49); pour prouver qu'il est premier avec le produit, on remarque que, s'il ne Tétait pas, ilaurait avec lui un diviseur premier commun (1 15) : ce diviseur premier, divisant le produit, diviserait (119) l'un des facteurs, 35 par exemple; et par suite 12 et 35 auraient un facteur premier commun; ce qui est contre l'hypothèse.

Réciproquement, tout nombre entier, premier avec un pro-

duit, est premier avec chacun de ses fadeurs. Car si 12 n'était pas premier avec riin des facteurs, avec 35 par exemple , il aurait, avec lui (H5) un diviseur premier commun, lequel, divisant 35, diviserait (77) son multiple (25 X 35 X 49)- Hy aurait donc entre 12 et ce produit un facteur premier commun, ce qui est contre rhy[)olhèse.

j21. Corollaires. V Tout nombre entier, premier avec un autre , est premier avec toutes les puissances de ce dernier. Ainsi 12, premier avec 35, est premier avec 35': car 35^ = (35x35x35); et 12, premier avec chacun des facteurs, par hypothèse, est (120) premier avec le produit.

Réciproquement, tout nombre entier, premier avec une puissance d'un nombre, est premier avec ce nombre (120, réciproque).

2*^ Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances de tous les degrés sont premières entre elles. Ainsi 12 et 35 étant premiers entre eux, il en est de même de 12^ et de 35^ Car 12, étant premier avec 35 , est premier avec 35^; et 35', étant premier avec 12, est premier avec 12*. C.Q.F.D.

J22. Principe IX. Tout nombre entier, divisible séparément par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, est divisible par leur produit.

Par exemple, i44o est divisible séparément par 4? par 9, par 5 : de plus, 4 est premier avec 9 et avec 5 ; 9 est premier avec 5 : ilfaut prouver que i44ot^st divisible parle produit (4X9X5).

Et en effet, i440) étant divisible par 4, est le produit de 4 par un nombre entier 36o, et l'on a :

Or 9 divise i440j et il est premier avec l'un de ses facteurs 45 il divise donc (118) l'autre facteur 36o, el Ton a :

36o=9X4o- Par suite ï44o=4X9X4<^-

De même 5 divise i44o^ et il est prenner avec 4 et avec 9, et par conséquent (i-20) avec leur produit (4X9) : il divise donc l'autre facteur 40» et Ton a

et, par suite, i44o=4X9X5x8.

Ainsi i44o est le produit de (4X9X5) par un nombre entier 8 : il est donc divisible par 8. C'est ce qu'il fallait démontrer. Remarque. Si les diviseurs que Ton considère sont premiers absolus^ ils sont évidemment premiers entre eux deux à deux, et le théorème leur est applicable. Mais cette condition n'est pas nécessaire; il suffit qu'ils soient premiers entre eux deux à deux. D'un autre côté^ il ne suffirait pas qu'ils fussent premiers entre eux : ainsi 6, lo^ i5 sont des nombres premiers entre eux, car aucun nombre ne les divise tous trois; mais un nombre divisible séparément par 6, par lo et par i5, n'est pas pour cela divisible par (6x lox i5), ou par 900. — Exemple : 120 est divisible par 6, par 10 et par i5, et n'est pas divisible par 900.

d23. Remarque. Ce principe permet d'étendre les caractères de divisibilité par certains nombres particuliers. En effet, que l'on décompose un nombre donné en plusieurs facteurs, premiers entre eux deux à deux;iout nombre, divisible par chacun d'eux, sera divisible par leur produit qui est le nombre donné.

Ainsi, un nombre est divisible par 6, quand il est divisible par 2 et par ^, c'est-à-dire quand le chiffre des unités est pair, et que la somme des chiffres est divisible par 3.

Un nombre est divisible par 36, quand il est divisible par 4 et par 9, c'est-à-dire quand les deux premiers chiffres forment un nombre divisible par 4, et que la somme des chiffres est divisible par 9.

Un nombre est divisible par 22o^(4x5xii), quand il est divisible séparément par 4, par 5 et par 11.

124. Principe x. Un nombre n'est décomposable qu'en un seul système de facteurs premiers.

Pour démontrer ce théorème important, on prouve que deux produits de facteurs premiers ne peuvent être égaux, s'ils ne sont composés des mêmes facteurs, et si ces facteurs ne sont affectés des mêmes exposants.

1° Soient deux produits de facteurs premiers distincts :

3x7X11X17 et 2X5xi3X23.

Si ces produits étaient égaux, 3 qui divise le premier diviserait le second, et par conséquent (H9) diviserait aussi Tun de ses facteurs, i3 par exemple. Or i3, nombre premier, n'a d'autre diviseur que lui-même : 3 devrait donc être égal à i3. En d'autres termes, si les produits étaient égaux, tout facteur premier de Tun devrait être facteur premier de l'autre. Donc les deux produits ne peuvent être égaux, s'ils ne sont composés des mêmes facteurs premiers.

2« Soient deux produits composés des mêmes facteurs premiers, mais affectés d'exposants différents :

5*Xii'Xi7' et S-'X 11X17'.

Divisons ces produits par l'un des facteurs premiers, affecté de son plus faible exposant, par exemple par 5* : les quotients

5xii'Xi7' et IIXI7S

ne sauraient être égaux, puisqu'ils ne sont pas composés des mêmes facteurs (1"). Si donc on reconstruit les nombres donnés en multipliant ces deux quotients inégaux parle même nombre 5\ les deux produits sont aussi inégaux. Donc deux produits composés des mêmes facteurs premiers ne peuvent être égaux, si les exposants des facteurs égaux ne sont pas les mêmes.

Il faut donc, pour que deux produits de facteurs premiers soient égaux, qu'ils soient composés des mêmes facteurs premiers, et que les facteurs premiers égaux soient affectés des mêmes exposants; il faut, en d'autres termes, qu'ils soient identiques. Ces conditions, d'ailleurs, sont manifestement suffisantes ; et elles constituent le théorème.

125. Remarque. On voit qu'un nombre entier est complètement défini, lorsqu'on désigne les facteurs premiers qui le composent : car tout nombre est un produit de facteurs premiers (116), et l'on ne peut reproduire ce nombre avec un autre système de facteurs premiers (124). Cette définition rend presque intuitifs certains théorèmes, comme nous aurons occasion de le constater.

^26. Principe xi. Pour qu'un nombre entier soit divisibîepar un diviseur donné, il faut et il suffit qu'il renferme tous les

facteurs premiers du diviseur, et que chacun de ces facteurs y soit affecté d'un exposant au moins égal a celui dont il est affecté dans le diviseur.

Soit, en effet, (2^x5^X7) le diviseur, décomposé préalablement en ses facteurs premiers. Pour qu'un nombre entier soit divisible par (2'x5^X7), il faut qu'il soit égal au produit de (2*x5^X7) par un certain nombre entier k.

Or, les facteurs premiers de N sont (124) ceux du produit (2' X 5^- X 7 X ^) : il faut donc que N contienne au moins 3 facteurs 2, 2 facteurs 5 et i facteur 7.

Celte condition est d'ailleurs suffisante ; car si, par exemple,

N = 2*x3x5*X7Xii, on peut, en groupant les facteurs (49), écrire : N=(2^X52X7)X(2X3X52X II).

Le nombre N est donc divisible par le diviseur.

127. Principe xii. Pour qu'un nombre entier soit diviseur d'un nombre donné, il faut et il suffit qu'il ne contienne pas d'^autres facteurs premiers que ceux de ce nombre, et que chacun de ces fadeurs y soit affecté d'un exposant au plus égal à celui dont il est affecté dans le dividende.

Soit, en effet, (2^x5^x7X11^) le dividende donné, décomposé en ses facteurs premiers. Pour qu'un nombre n divise ce nombre, il faut que l'on ait :

2'x52X7Xii'=nxA:,

k étant un certain nombre entier. Or, les facteurs premiers de n et de k sont ceux du produit (2''x 5^x7X11^). Donc, le diviseur n ne peut pas renfermer d'autres facteurs premiers que 2, 5, 7, Il : il ne peut, non plus, renfermer plus de 3 facteurs 2, plus de 2 facteurs 5, plus de i facteur 7, plus de 2 facteurs II.

Celte condition est d'ailleurs suffisante; car si, par exemple,

n=:2^X7Xii, on peut, en groupant les facteurs du nombre donné, récrire :

2=^X52X7 X 11-= (2^X7 Xii)X(5'X II),

ce qui montre que le nombre n divise le nombre donné.

128. Principe xiu. Pour qu'un nombre entier soit une puissance parfaite d'un autre nombre entier, il faut et il suffit que les exposants des facteurs premiers qui le composent soient des multiples du degré de la puissance.

Soit, en effet, un nombre entier (2^x5' X 7), décomposé en ses facteurs premiers; formons en le cube, par exemple. On a : (49,4*')

Or, la décomposition du cube en facteurs premiers ne peut se faire que d'une seule manière (124). Les exposants des facteurs premiers qui composent le cube sont donc des multiples de 3.

Réciproquement, si les exposants des facteurs premiers qui composent un nombre sont des multiples de 3; si, par exemple, le nombre est (2^ X 5' X 7^^)? ce nombre est un cube parfait; car il est égal à (2'x5X7*) '•