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173. Multiplication des fractions. Multiplier un nombre par un nombre entier, c'est répéter le premier autant de fois qu'il y a d'unités dans le second. Or cette définition n'est pas applicable au cas où le multiplicateur est fractionnaire ; on ne

peut plus dire, en effet, que multiplier un nombre par-» c'est

répéter ce nombre - de fois. Il est donc nécessaire d'adopter

une définition nouvelle; et l'on dit que : multiplier un nombre

par une fraction, c'est prendre cette fraction du nombr»

donné. Ainsi, multiplier un nombre par -» c'est prendre les -

de ce nombre.

Pour que cette définition nouvelle soit admissible, il faut qu'elle n'implique pas contradiction, et qu'elle se confonde avec la première, lorsque le multiplicateur fractionnaire peut être mis sous la forme entière. Et c'est ce qui a lieu ; en

i5 effet, multiplier un nombre par -^» par exemple, c'est prendre i5 fois le cinquième du nombre; en d'autres termes, c'est le répéter trois fois, puisqu'il faut 5 cinquièmes pour former l'unité.

D'ailleurs, la définition nouvelle se justifie par la nécessité où l'on se trouve de fournir des règles générales pour la solution des problèmes, quels que soient les nombres qui mesurent les grandeurs sur lesquelles on opère.

Que l'on ait, en effet, à résoudre les questions suivantes : Un mètre d'étoffe coûte 36^, 25' ; combien coûtent 1 5 mètres?

Un mètre d'étoffe coûte 36^,25"; combien coûtent^ de mètre?

Un mètre d'étoffe coûte 36^, 25^; combien coûtent 7 mètres

et p de mètre ?

Il s'agit, dans tous les cas, de calculer le prix d'une certaine quantité de mètres, connaissant le prix du mètre. Or,

118 LIVRE IIF. — CHAPITRE I.

dans le premier cas, on doit répéter le prix du mètre i5 fois, c'est-à-dire multiplier ce prix par i5. On doit, dans le second, prendre les f du prix, et, dans le troisième, ré[)éter ce prix 7 fois, et en prendre, en outre, les f . Il faut donc admettre que, dans ces deux derniers cas, on a, comme dans le premier, à multiplier le prix du mètre par | ou par 7 |.

Remarquons enfin, qu a un certain point de vue, multiplier par une fraction, c'est encore répéter : car multi[)lier un nombre par Y, c'est réi)éter cinq fois le septième du multiplicande.

Trois cas se présentent dans la multiplication; savoir : multiplication lo d'une fraclion par un entier ; 2o d'un entier par une fraclion ; 3» d'une fraction par une fraction.

174. Premier cas. Mulliplicalion d'une fraclion par un entier. Soit, par exemple, |x4*»iï^ultiplier| par 4, c'est répéter 4 fois y; ce que l'on fait (157) en multipliant le numérateur par 4. Ainsi

Hègle.— Pour muHiplier une fraclion par un nombre entier, on muUiplie le numérateur par rentier, sans altérer le dénominateur.

S'il arrivait que le dénominateur fût divisible par le multiplicateur, on ferait la multiplication (158) en effectuant cette division, sans toucher au numérateur.