En rapprochant les deux équations 75 1 et 760^ on a

M = rt + (/» — I J r et ^ = , on voit que de ces

cinq choses , le premier terme , le dernier ^ la raison ^ le nombre deâ termes et leur somme , trois étant données , on pourra toujours trouver les deux autres; il suiEroit alors de résoudre le& équations précédentes^ comme deux équations a deux inconnues.

Progressions Géométriques.

76a. Les progressions géométrique^ s'appeUen^ aussi fro^ pressions par quotient.

763. Soient a le premier terme dune progression géométrique y r la raison , u le terme , dont le rang est n ^ on aura (43 1) M = ar^''. Cette équation fait voir que de ces quatre choses , le premier terme , la raison , un terme quelconque et le rang de ce terme, trois étant données, on peut toujours trouver la quatrièipe.*

alitant donnés a, r et »^ on a u^^ar^^.

Etant données w^ r et «^ on a <t=i -^j.

Etant donnés a, u el n, on di r =»"•/!?. Ce qui démontre

la règle donnée (436) , pour trouver la raison d'une progression géométrique , quand on connoît les termes extrêmes et le nombre .des moyens : en eflFet, soit p le nomhre des moyens,

ona/i=p-p2^ d où w — i==p + 1 , ain5ir.= P"!^!f ^ comme

Etant donnés ^i , m et r, on a r"*' "= "*; prenant les log.

il vient (» — 1) logarithme r«==log. m — -log. ^^ d*oii »«=i

+ ^^' 1" ». ^r ~^' On voit que dans ce ca^s on ue peut avoir n, tu général, que par approximation.

764. Si on appelle u', un autre terme dont le rang soit»', ou aura u ^=ar'^''^y multipliant par ar^-^ ^=^ u , on a u^r^-^ ^=^ur «'-I ou u'=^ur"^'". C'est ce que Ton a vu (434).

765. On tire de-lk — =» —7— ; pour deux autres termes u'' et u^^^ dont les rangs seroient /i'^ et n^% on auroit également -- = — ;,, — j, ; donc si u : u :: u : u auquel cas -7 e=s --,, ^

011 aura aussi —7 — ==» — - — ^ , d'où n — » = n'^^ -1- n' , ce] qui démontre (433).

Cours de Mxthé m atiqitbs. a65

yG6. Soit une progression géoméiriq^iie -rr a:h : c:d:e -.f ...... u,

u ctaiit 11; K"'" ternie, ou aura b = ar,c=- h r.d =•£!■, tx.c,

donc b-\-c-\-d-\- u=rx(ii-f-& + c + i/-f- ), ou,

eu appelant s la somme des termes , s — a^=r x {s — u),

d'où s = tLLi, r-l •jG-j. Ainsi de ces quatre choses, le premier terme, le der- I nier, la raison et le nombre des termes, trois étant données, on peut toujours trouver la quatrième,

Connoissuut a, r et u, léquation donne immédiatement

Coonoissant j, r et Uj elle donqe a=^ur — fx(7"- Counoissaut s^ r cl a, elle donne u = f — — , Connoissant s , a et u , elle donne r = ^—.

768. - En rapprochant les deux équations u ^ af s "= " — " ; OU voit que, de ces cintf choses , le premier terme, le dernier, la raison, la somme des termes et leup nomhrc , trois étant données, les deux autres sont déterminées.

^69. Si, dans s=° , on met pour m sa valeur ar""',

ide

la somme des termes au moyen du premier et de la raison.

En divisant r" — t par r — 1 , on aura r"' -]- r"' -f- i

(573) ou \ ■\- r •\- r^ -\- y"" , ce qui donne pour s,

(ï -h '»'■ 4- «r* + ar"", ce qui est effectivemement la

somme des termes de la progression.

J70. Si la progression est décroissante, r qui représente le rapport de chaque terme au précédent , sera une fraction proprement dite; et k plus forte raison r" en sera une aussi

( 309 ) , l'expression « =3 d x , deviendra j = a x

ou f B> ; cette valeur de s est toujours moindre

évidemmeut que ; mais elle en approche continuellement

à mesure que l'on prend plus de termes , puisque la quantité

devient au-dessous de telle quantité que l'on voudra ,

(Haut un nombre de tewnes saJSsant, ce qui est toujours

possiUc (734)- AÎBfii la somme des termes £une progression geométrifftte decroissattte s'approche de ptus en plus du (fuotient que donne le premier terme dinsé par i — fe rapport constant de cftaqm terme au précèdent*

771. Une grandeur fixe, dont une autre, grandeur variable, s'approche aussi près qu'on le veut sans jamais Tatteindce , ou du moins la surpasser , est dite la Umite de cette grandeur variable. Ainsi -^ est la limite de la somme des termes dq

\^ progression géométrique décrqisçantf.

Règle d^Interét composée.

772. Soit a un capital placé k u pVo par an; trouver la valeur de ce capital au bout d'un nombre n d'années.

Au bout dMn an, ce capital produira un intérêt de ^;

il vaujdra donc au bout de ce temps £^ + ^ ou ^ (1 + ^)7

mais -il, c'est l'intérêt d'une livre par an; soit i cet intérêt,

nous aurons pour le capital au bout d'un an « x (i+/)f c'est-â-dire , que, pour avoir la valeur d'uja capital, compris son intérêt , au bout d'un an , il faut multiplier ce capital pap lunité •*►• l'intérêt annuel de l'unité.

En regardant a x (i +/) comme le nouveau capital, il sera au botil d'im an^ d'après cette règle , ^ x (i + i ) x (i +0 ou a X ( T Hr 4)* > ^^^^ donc ce que devient a dans deux ans..

Regardant a (i +0* comme le nouveau capital, il deviendra au, bout d'un an a {i +0S c'est donc ce que devient a ' dans trois ans.

773. En continuant de même, on Voit quau bout du nombre n d'années,. le capital devient a x ( i +/)"; soit jé le capital an bout de n aimées , on a donc ^ =3 a x ( i 4^-0".

774. Ainsi de ces quatre choses, le capital, l'intérêt annuel pour livre (qui* est l'intérêt annuel p°/o divisé par 1 00) , le nombre dannéçs et le capital. joint aux intérêts au bout de ce nombre d'années , trois étant données, on peut toujours trouver la quatçrèmç. On emploie souvent les logarithmes dans ces calculs.

Connoissaiit a^ i et n , on b. À =^ a X Çi -f- iy, d'oà log. ^ «= log;. a + » log. ( I + i).

Counoissant A,iQin.oiiSLa=^ — . — r-=> etlo^jarithme

^î=«log. ji — n log, (1+/).

Connoissant ^, a et i, on a /^ = *£Ei±il2S:-5 ce cas exige

log. ( 1 t i ) '

absolument l'usage des log. parce que l'inconnue est dans l'expo-

saut ; enfin connoîssânt -^ , a ein, on aura i =» *[/~ — * i > on, log. ( I 4- / ) =sa '^•^■^^•■^ ; ay»rt x + r^ oa en retrarnche i

et il reste ».

775. Soit tf un capital placé a intérêt, quelle somme h. faut-il rendre a la fin de chaque année pour que ce capital , avec les intérêts, soit remboursé dans /» années ^ on a ici égard à Imtérêt de Tintérêt.

La somme b que Ton rend au bout de ta„ première année , sera entre les mains du créancier pendant n — x années : aa bout de ce temps ou des n aonées de 1 emprunt. ^^ elle vaudra donc 6(1 +/)""',

On verra ^e memis cpie la sonnne b rendue a h fin de la seconde aaaée^ étant entre les mains du créancier pendant 7i — 2 années , représentera, au bout de ce temps ott des n années, une somme i (i + î)^'; en continuant ainsi, ott verra que les scxmines touchées par le créancier, a la fin de là troîsièfîké, de la quatrième, etc. années, lui représentent,

au bout de n années ^ ( i + i T'^y ^ (i + 0"^ *• D'wkï

h totalité des sommes reçues .par le créancier lui représente, au bout de n années, b + o{ï+i) + b {1 +iy + b

(i + iy + b {i+iy-^y c'est-a-dire , ta Somme dc5

termes d'une progression géom,étrique, dont le premier terme ^ ç$l b, la raison i + i^ et le nombre des termes n^ la somme

des termes de cette progression vaut donc b, x - — . .

(769), ou 6 -. .

D'un autre coté, la somme ^avancée- par le créancier vaut au bout du nombre n ,d années, ^ x ( i -f- i )".

Puis donc qu^ la liquidation doit être parfaite , au bout de ce

temps, on aura donc b X / . — — ■=:£rx(i + 0% ^^^ , .. aix (1+ i)"

O *=sa - ,

•j-iô. Sî on demandoit en. combien d'années la liquidation s'opereroit , en rctidant par an la somme b , on tireroit de • l'équation ci-dessus (x +iy «=8 . J^ ^, d'où n log. (1 +

«- log. b — log. {b—ai)etn^ ^il^ld^^K Cette équation montre que la somme b, rendue claque année, doit surpasser ai , ou l'intérêt du capital, ce qui est d'ailleurs évident. •777. Si onvouloit qu'au bout de /i années, il restât encore

268 Cours de Mathématiques.

à payer tme somme Cj ou que le créancier la redût, onaurolt

évidemment a x (i+0=*^ x : 3: c.

778. Cette équation donne le moyen de résoudre le problème suivant : De ces cinq choses ^ te capital prêté , la somme remboursée chaque anne'e^ l'intérêt annuel, le nombre ionnées^ la différence entre la valeur de la somme ptétée et celle de la. somme rendue au bout de ce nombre aann^, quatre étant données , trower la cinquième.

11 est bon d observer cependant que le calcul de i exigermt, la résolution d'une équation d*un degré supérieur au piemkr.

Si &^ i^ /i et c sont dormes ^ on a immédiatement

tf = T(i— , lxn Y+ A ^ ^ > ^^ changeroît le sçoe de c^ si le créancier redevoit a son tour.

Si a, i, » et c sont donnés, on a J «=■ -— - — : — - X {a.x (i +|)«— r}.

Si a, b, n et i sont donnés^ oh a c«i«a >ç (i+if

S\ a, b j i et c sont donnés on a » = log-(ft-'ci )ii«Hr.fft^.ii)

c. 7 . Wc«ti,y — :'

01 a, b , n etc sont donnés, en faisant (i +*) =x,

, ' bx^ '•^ b '

1 équation (777) devient ax" = -f. c, d'où as^

-- [a+b) x"" --- ex + b ^ c ^ o, équation qui est du degré /i -f- i .

Exemple CLXXVII. Trouver quelle somme il faudroit donner annuellement pour éteindre en la ans une dette de loooo francs, avec les intérêts pçndant ce temps l'intérêt étant a 5 p7o.

On a ici a =10000, 71=12, i=»rintérêtde runitéerai. «

zoo M

aiusi il vient l = l^^l^JlC-liaiou h «^fllM Eu employant les logarithmes , on aura ,

Cours de Math^ématiques. 269

Logarithme 21 = 1.32222 Logarithme 20 =» i.3oio3

Logarithme V «= 0.02119

Multîplié par. ... 12

Log*^: (£)"== 0.25428(1;)»= 1.7959

Logarithme 5oo ==» 2.69897 ôtez. . . ^ i

Log. nmnérateur =» 2.95325 dénominateur 0.7959 Log. dénominat. «= — 0.09914

Logai'idime b = 3.o5239

h ==» 1128^2 ainsi il faudroit rendre par

an 1128^2.

'779. Si on demandoit combien im homme qiii placeroit b chaque année, auroit au bout de n années, on trouveroit

de même ^ . J\ et su plaçoit chaque

année des sommes différentes a, b, c, etc. au bout de n années, il auroit a (1+0" + ^ (i +0"'* + ^ (i + 0""* +. Mi + i).

Escompte composé.

780. Dans la règle d'escompte composée, il s'agît de trouver la somme qu'il faut payer présentement, ou, en général, a une époque déterminée , pour acquitter un billet qui doit échoir a une époque donnée. *

Si a représente le capital, a l'échéance du billet, n le nombre d'années , i la valeur actuelle du billet , on aura^

Si l'escompte étoit en dehors, on trouveroit aisément i ^=a (I — 1)«. Nous supposerons dans tout ce qui suit, qu'on le ^rend en dedans.

Exemple CLXXVIIL Un négociant doit un billet <]e loooo francs, payable dans 12 ans; combien doit-il compter maintenant pour 1 acquitter, l'escompte étant en dedans et de 5 pVo par an , ayant égard aux intérêts des intérêts.

lOf'or»

On aura a = 10000 , w «=» 12 , / = -1 =*=» l : donc b = 7ii V'

Logarithme loooo t^.ooooo

Logarithme (-)'* 0.25428

Logarithme b ; . 3.74572

2;jo CouAii DE Mathématiques»

•j8i. En général, pour comparer la valeur Je piusieurs sommes, il faut les rapporter toutes à une même époque. Par exemple , si on doit une somme a , payable dam n aa- •^écs, et (juc pour s'acquitter on donne un efEet h, payable dans, w années, un effet s, payable dans p années, un autre d, payaWe dans q années , et cjne ion demande lequd, du créancier ou du débiteur , redoit a l'autre , et coDOtbien au comptant ou a une ^îpocjue donnée "r : il est clair quau

comptant, le billet du créancier iui représente "■ ' . ^ , et

que les différens billets donnés par le débiteur lui représenlent

au comptant jj±^ + ^-p^, + ^-^-^, kci^cier

a doBode 0US t«efcdébiteur j—y.-- j^^ - ^7^^ , et selon que cette quantité sera positive ou né-

gative , le débiteur redevra au créancier ou le créancier au débiteur; cette différence est au comptant, 'ainsi pour rêvaluer, au bout de r années, il faut la multiplier par (i +iX.

Exemple CLXXIX. Un négociant doit un billet de loooo francs, payable dans 12 ans j désirant s^acquitt^ de siûte, il donne a son créancier une traite a 3 ans , de 4ooo francs, et une autre a 5 ans, de 2000 francs. Ck)mbien £aul*il qu'il lui remette encore coinptant? on a égard aux intérêts des intérêts.

Le billet 4jC iqooo francs payable dj^ls 12 ans, vvol au comptant 5568^, 3

La traite de 4ooo fr. a 3 ans , vaut au comptant. 3455 , 3 Celle de &000 fe. a 5 ans, vaut au eomplaBBfc* . . 1516 7 . i.

Dame le débiteur devra donner comptant. . . . 545', 9. S'il vouloit faire un billet de cette soname , a 4 ^i^; ^ devrok êlse de 663r^,i6.

Logarithmes.

782. Soit -rr I : 7 : 49 î M^ • ^^i : etc. ïa progression geV métrique, et 4- o . • 12 • i^ . 24 • etc. la progression arithmétique que Ion considère, on aura o pour log. de i^ 6 pour celui de 7 , 12 pour celui de 49 > ^^c.

On prend toujours les deux progressîbils tçUes que le log. de I soit zéro , sans quoi la multiplication et la division ne se réduiroient plus a une sisaple addition ou il une siiopk soustraction (452 et 457).

•jSÎ. Il iest ttsé de voir qu'il existe toujours un nombre dont le logarithiDe est i . En effet y i est le 6"»«^ de 6 , log.

de 7 ; doftc (456) il est le log. dey 7.

784. On appuie base d'un sjstême de log. le nombre dont le hg. est i dans ce sjsténve. Ainsi dans le système des log. tabulaires, laLase est 103, dans celui que donneroient les

deux progressions ci-dessus , là base sçroit y 7 ; en général , la base d'un système de log. est la racine de là raison géométrique^ du degré marqué par la rafson arithméti(|iie.

785. Le log. d'un nombre est e'gid à l'expostmt tù iéipuis^ sance à laquelle il faudrait élever la buse du système p&ur troui^er ce nombre.

En effet, soit a la base du système, on a fKmr le log. d'un nombre quelconque b j log. b «=» log. 6x1 "=log. b X log. « «-log. a^*»8- *, d'où b ««iiiog- *.

786. Cette propriété des log. .est sou<mat temployée pour les définir^ dans <;e cas, la nwdplication et la division par logarithmes, deviennent de simples applications de la règle des exposans.

En dflfet , oa r d'après cet^e définition , 6 =» ^ '°s *, ^ = a **=• ''^

^ = A*«g'',^ta donc i xcxd r«a*"g*+'^-* + ^"6*'t

mais 6c^....=éi^°g*^'' • donc log. icéi.... a*=log. b -f-lôg. c

+ log. d+ c'est-à-dif e , que le log. d'un prodût égale

la somme des log. 4e ses facteurs.

On auroit aussi * «= û*°s- *- *og- <^ ; mais * == a^*"^-^: donc los:.

^ = log. b — log. c. On démontreroit de même tous les autres

cas du calcul des log. qui ne sont au reste que des corollaires des deux précédens.

787. Il résulte aussi de cette définition que leè Ic^rîthmes des nombres en progression géométriquej, s^ont en ^progression arithmétique.

En effet, si^^c^ d, e , f, etc. sont des nombres en progression géométrique, on aura. 1=3 !Î = ^ =!X^ etc. donc

log. c— log. é»alog. d — log. c = log. e — log. ^=», etc. donc en effet, log. b , log. c , log, d ^ log. e , etc. sont en progression arithmétique.

788. Lorsque l'on connoît les log. dans un système, il est aisé de les trouver dans tout autre système.

En effet, soient x et j" deux log. d'un même nomtre ^lans les deux systèmes, dont les bases"sont ^ et è; on aura a* =^ i^, puisque ces deux ejcpreissions sont égales au nombre dont il

2^2 Cours de Math£xatiqubs.

ft^agit. Prenant les log. dans le srstéme a, on aura x « r log. h , d'où y ^=*^ ç Ainsi pour avoir le log. dTun nombre

dans un système lorsque Ton connoit son log. dans un autre système y il faut diviser son log. x dans le système connu , par le log. de la base du nouveau système pris dans le système connu.

Usage des signes pour fixer la position des points.

789. On a pu conclure de tout ce qui précède , qu'un des principaux caractères de Falgèbre, est d'appliquer a toute espèce de quantités ou de symboles , les règles relatives au calcul des quantités réelles positives y et de choisir ces symboles de manière que cette application soit permise.

•^90. Dans l'application de Talgèbre , a la détermination de la position des points , on se propose principalement de remplir cette condition-ci : que la distance de deux points quelconques êLune droite soit toujours exprimée par la différence de leurs distances à un point fixe de cette droite.

• «.,..—.« Soit A le point fixe que Von

appelle origine ; quand les deux M' A M N points sont d'un même côté de/i,

comme Jlf et iV^ il est évident que si A M est a et AN h, MN sera b — a : mais si M est de l'autre côté de A en M', alors la distance JHf' iV est ft + a> en appelant toujours a la distance absolue AM'; en sorte que, pour que cette distance i + a soit regardée comme distance de N — distance de if, il faut que distance de M^ soit considérée comme égale a — rt. On voit donc que, lorsque les points que l'on considère sor.t de différens côtés de l'origine , il faut donner des signes contraires aux distances des points situés de différens côtés. On choisit arbitrairement le côté dont on veut que les distances aient le signe -f-, dès-lors les distances de l'autre côté prennent le signe — .

•j 91. Réciproquement si, ayant opéré en vertude cette convention , on trouve que la distance cherchée d'un point k l'origine est a, il faudroit la porter du côté des distaucçs positives, jpuisque b — . cette distance donneroit b — a, ce qui n'a lieu que pour les points situés de ce côté ; au contraire , si on trouvoit — a pour cette distance, il faudroit la porter du côté des distances négatives , parce qiie b — cette distance , donne b +a pour la distance de iV^ k ce point , ce qui montre qu'il est placé de l'autre côté de A a la distance a de ce point;

792, La théorie des quantités négatives est une partie trcs-

épincuse

. Cours de Mathématiques. a^3

épineuse des Mathématiques, elle est sujette k beaucoup d'objections et de difficultés, dans lesquelles la nature de cet ouvrage ne nous permet pas d'entrer. Ceux que cette matière intéresse , peuvent consulter les ouvrages cités dans Favertissement , et eu particulier ringénieuse théorie de ces quantités que M. Bourdon a déduite de la considération des logarithmes des fractions , dans son traité d'Arithmétique.

Jusqu'à présent nous n'avons guère considéré que les équations sans nous occuper des questions qui pouvoiént y avoir conduit : notre but étoit de familiariser les élèves avec la résolution des équations, de manière k ce qu'elle ne présentât plus d'embarras capables de les arrêter, afin qu'ils n'eussent pas k lutter a la fois contre la difficulté de mettre les questions ea équatioîis , et celle de les résoudre. Nous allons maintenant faure quelques applications.

Problèmes, algébriques,

^^'i. Les problêmes algébriques sont ^es questions dont l'énoncé fournit , entre les quantités qui y entrent , des relations susceptibles d'être exprimées par , des équations.

•J94. En général, on doit former autant d'équations que peuvent en fournir les conditions de la question.

Il y a trois sortes de problèmes : les problèmes détemiinés, les problèmes indéterminés et les problèmes plus qus déterminés,

•jgS. Les problêmes déterminés sont ceux qui condiiîsent k autant d'équations indépendantes les unes des autres , qu*il y a d'inconnues dans l'énoncé de la question.

796. Les problèmes indéterminés sont ceux qui conduisent Si' moins d'équations indépendantes les unes des autres, qu'il n'y a d'inconnues. ' /

797. Enfin les problêmes plus que déterminés sont ceux qui conduisent a plds d'équations indépendantes le§ -unes des autres, qu'il n'y a d'inconnues.

798. Les problêmes sont dits du premier , du second, etc. degré , selon que l'on est conduit pour les résoudre k une , équation finale du premier, du second, etc. degré.

799. Exprimer par des équations les relations qui existent entre les quantités qui entrent dans l'énoncé d'un problême, est ce qu'on appelle le mettre en équation.

Bezout a donné pour cela une très-belle règle , la voici :

800. [ Représentez la quantité ou lés quantités cherchées chacune par une lettre^ et ayant examiné ai^ec attentioa

Arithmétique. ' ^ S

S';4 Cours de Mathématiques.

Vetai de la question , faites , à Xaiàe des signes algébriques sur ces quantités et les quantiie's connues , représentées par des nombres ou par des lettres , les mêmes raisonnemens et les mêmes opérations que vous feriez si , connoissant les valeurs des inconnues ^ vous vouliez les vérijier, ] . Nous ne considérerons que les problèmes déterminés, Nous nous bornerons même a ceux du premier et du second degrés.

Problèmes déterminés à une seule inconnue.

Ex . CLXXX. On a fait partir de Paris pour Vienne un cour* Her qui fait 2 lieues par heure ; 6 heures après son départ, on eni^oie après lui un second courrier qui fait 3 lieues par heure : on demande à quelle distance de Paris il joindra h premier?

Soit X cette distance ; si elle étoit connue., pour la vérifier il faudroit voir combien il faudroit de temps au premier courrier .pour la parcourir , puis combien il en faudroit au second , et le premier temps , d'après les données de la question y dcvroit surpasser le second de 6 heures.

Or , le premier courrier faisant 2 lieues par heure parcouna X dafls * heures ; le second faisant 3 lieues par heure le parcourra en ?-5 il faut donc que£ «=■ 6 + ?- , doii l'on tirera Sr

«a 36 -+- 2 X , puis X ==8 36. Ainsi c'est a 36 lieues de Paris que les deux courriers se rencontreront.

Exemple CLXXXI. Un homme a six fils ; chacun a t\ ans

j; -| 20 (/p^) > 1 équation du problème sera donc a:+2o=3x, d'où a:=io ; le plus jeune a donc 10 ans, et les autres i4y 18 , 22 , 26 et 3o.

Exemple CLXXXII. Un rentier place une certaine somme à 6 p^o d'intérêt simple ; cet intérêt au bout de 10 ans se troui^e égaler le capital a 1200^ près , combien avoit-il placé ?

Sôit X la somme placée; dans 10. ans elle donne d'intérêt a 6 pVo 52iL ou l^ ; on a donc ^^.^=x — 1200 , d'où ar=3oo6^.

Exemple CIjXXXIIL Partager 60 en deux parties telles que la septième partie de l'une égale la huitième partie de Vautre,

Soit X la phis petite , la plus grande sera donc 60 — x\ ainsi Ton aura - «=• 52^ , d'où x ==» 28 et la plus grande «= 32.

Cours de^ .Mathématiques. 2^5

. Exemple CLXXXIV. Partager 20 en deux parties telles que Vuue prise trois fois , ajoutée à l'autre prise dru/ Jbis, donne 84. '

, Soit X la première , la seconde sera 20 -^ a: ; on aura donc 3^4- 100 — 5 X •=» 84 , d'où X ==8 et l'autre ==: 12.

Exemple CLXXXV. Partager 1 00 en deux parties telles que , si Von soustrait le tiers de l'une du quart de l'autre , le reste soit 11.

Soit X la première , la seconde sera 100 — x y on aura donc i2."-i' — f ='^1 > d'où x «=^a4-, fit l'autre *« 76.

Exemple CLXXXVI. On demande deux nombres ayant 4 pour différence; jrf 112 p(mr différence de leurs oarre's.

Soit X te plos petit , son cUrré sera x^ ; le plus gcand sera 07 + 4^ ^^ son carré x^ ^6x -f- l'S ; on aura donc x^ ■+• 80: -f- 16 — jp^ c=fe 112 , d'aux »=^ la. Ainsi lie plus petit nombre est 12 et par conséquent le plus grand est 16»

Exemple CLXXXVH, On demande deux nombres dont le plus grand soit triple du plus petit, et qui pris chacun ci nt) Jbis soient égaux à la somme de leurs carrés.

Soit X le plus petit, le pks- grand sera Sjet ; on aura donc 5x -^iSx «^or^-hga:^ , d'o)à24)a:«= %ox^ 0U26«=» loo: ; ainsi ar=» 2 j et le plus grand ^=» 6,

Exemple CLXXXVIII. Un rentier place q8oo^, une partie à 5 p°l^ ^intérêt simple ^ et l'autre partie à 6 p^Jo ; tout t intérêt au bout de i5 ans monte à Sioo*^; on cfemande ce qu'il Y at^oit à 5 et ce qu'il y a^eit â 6?

Soit X la partie a 5, la partie a 6 sera donc 9800 — ^cr ; l'intérêt dé la première dans i5 ans àera 2^ , et celui de la

seconde oi>iii[£22iiî2 ; on aura donc 7i£ 4. 22iiC9«21:22= 8ioo ,

d'où 0^=3=4800; ainsi il y a 4800*^ à 5, et 5ooo^ a 6.

Exemple CLXXXIX. On afferme 25 hectares de terre pour 1^7,0 francs ; mais comme ils ne sont pas également bons, on loue la meilleure terre 80 francs l'hectare, et 5o francs seulement la phis maui^aise : combien y a^t-il d'hectares de chqque sorte?

Soit X le nomtre d'hectares de la meilleure tetre , il y en aura 25 — a: de la plus mauvaise; les x bons s'affermeront S6 X y et les 26 — X mauvais (26 — a:)x56; ainsi 800:4- ( a5 — x)k 5o= i52o , d'où x === 9. Ainsi il y a 9 hectares de bonne terre , et pat conséquent 16 de'mauvaisei

Exemple CXC. Une personne engage un domestique pour un an à condition de lui donner lao francs et

276 Cours de Matoématiques.

un habit , dont ils Jixent ensemble la valeur ; au bout de

mois le maître , me'content du domestique , le congédie en ui laissant son habit , et lui donnant en outre 5o francs en argent , ce qui étoit tout ce qui lui ret^enoit pour ses 7 mois de service. On demande la valeur de l'habit ?

Soit X cette valeur , le domesticjue a donc par an lao^^-f-x; au bout de 7 mois il reçoit 5o + a: , on doit donc avoir 120 -(-«^ • 5o + x : : 12 : 7 , d'où 84o -f" 7 J^ = 600 + 12 x, puis a: *= 4^^

Exemple CXCI. Une personne distribue 12*^ à 20 mendians ; elle donne 6* par tête aux uns , et \6^ par tête aux autres ; on demande le nombre des uns et des autres ?

Soit x le nombre de ceux a 6« , il y en aura 20 — x a 16*, on aura donc 6j:+ (20 — x) x i6'=«24o^ d'où a: = 8. Ainsi il y en a 8 qui reçoivent chacun 6«, et 12 qui en reçoivent chacun 16.

ExEMP. CXCII. Une citerne qui seroit remplie en 12 heures par deux tuyaux , le seroit en 20 heures par un seul de ces tuyaux ; en combien de temps le seroit-elle par Vautre seul ?

Soît X ce temps , dans 1 2 heures il remplira donc une partie ^ de la citerne ; et celui qui» la remplit sciù en 20 heures ,

en remplit en 12 heures une partie " ; on a donc il + ii= i,

d'où X «* 3o.

ExEMP. CXCIII. Un gênerai, diàposant son armée en ran^s et Jiles , et en forme de carre', trouve qu'il a 60 hommes fk trop ; mais ayant voulu mettre un seul homme de plus sur le côte' du carré , il trouve qu'il lui en manque ^i» Quel est le nombre de ses soldats ?

Soît X ce nombre , le côté du premier carré sera \/ j:— 60,

celui du second, y j:+4i 5 <îomc y/x+^i =-1+ y j:— 60,

carrant et. réduisant, 5o*= y x— 60; carrant encore, a:=2 5 60.

Exemple CXCIV. [ On a de l'eau de mer qui , sur 3'i livres , contient 16 onces de sel ; combien faut-il y mêler d*eau douce pour que, sur 82 livres du mélange, il n'y ait plus que 2 onces de sel ? ]

Soit X la quantité d'eau douce , le mélange x + 82 contiendra donc 16 onces de sel; par conséquent, sur 32 1-— T il en contiendra le quatrième terme de la proportion 32 : 82 : : 16 : un quatrième terme = -^^^ . Or, il doit

livres

xfZi

en contenir 2 onces sur cettQ quaùtitc , par conséquent |-^=-2, d'où :c= 224,

Cours de Mathématiques. 277

Exemple CXCV. On emploie un ouvrier paresseux pen-liant 3 mois , à condition de lui donner 4o* p^^ JQ^^ quand il trai^ailleroit, et quil donneroit 10* par jour quand il ne trai^ailleroit pas : on lui fait son compte h la fin de chaque mois ; à la fin du premier mois , il a été obligé de compter 100 sols ; h la fin du second , il nm^oit ni à donner ni à recet^oir ^ et à Ici fin du troisième j il at^oit 55 francs à recevoir. Combien de jours chaque mois a-t-il travaillé 2 Nous supposons les moîs de 3o jours.

Soit X ce qu'il a travaillé le premier moîs , il aura été sans travailler 3o — x ; il aura donc eu à recevoir 4o -a:^ > et a donner (3o — x ) x 10; donc (3o — x)x 10— 4^^ a: =1 100 , d'où .r 5= 4. Ainsi le premier mois il a travaillé 4' jours.

Prenons maintenant x pour ce (ju'il a travaille le second, mois, il aura été sans travailler 3o — a:; il aura a recevoir 4oa:, à donner (36 — x)x 10; donc puisqu'il est quitte 4o.r = (3o — j:)xio, d'où a: =^6.

Enfin X étant maintenant ce qu'il a travaillé le troisième moîs ," on aura , en raisonnant comme ci-dessus , ^ox — ( 3o — or) x i a = 1100, d'où a: ==28.

En employant des lettres au lieu die nombres , on auroit purenfermer tous ces cas dans une seule formule. Soit a ce qu'il reçoit par jour quand il travaille , b ce qu'il donne quand il 'ne travaille pas(, c l'excès de ce qu'on lui doit sur ce qu'il doit à la fin du mois, ou ce qu'il a a recevoir, on trouvera, comme ci-dessus , que l'équation du problême est ax — b x (3o — a:)=c,, d'où g: =3oAtr

afb

Le premier' mois , ce quil donnoit surpassoît ce qu'il recevoît , ainsi c étoit négatif et égal a roo ; de plus , a ;== 4 o et fr= 10. Ainsi x=i2?^-î^o = 4.

Le second moîs, ce-quîl donne égalé ce qu'U reçoit 9 ainsi c =0, d'où a: = ^^=6..

Le troisième mois , c = 1 100 , ainsi x = 3ootrioo —, -^8. -

Ainsi il a travaillé 4 jour? le premier mois, 6 le second et îi8 le troisième.

Exemple CXCVI. Partager 534 en /'y parties telles que l'on ait Pre : S^» : : 3 : 4, T^^ : Q^^ : : 5 : 7 et P^e : T«»e : : a : 3.

En nommant x la première partie , on aura x : Sdà : : 3 : 4, d'où Sde = ii'. La troisième proportion donnera x : T"*^ : : 2 : 3^

d'où 7''"* = if ; mettant cette valeur dans la seconde, il vient

l£ : Q"' : : 5 : 7 , d'où Q"** = îi-ï. La somme de toutes les par» " •• • " S 3.

a^R Corns de Mathématiques.

tics derant faire le nombre proposé 534 , on a x + 4jI + ^^-^ +-',0*

= 534* , Joù X = 90 : cette valeur , substituée dans celle de la seconde y donne 5^^ «=120, substituée dans celle de la troisième, donne 7'"'*= i35, et enfin dans celle de la quatrième, donne Q**= 189.

£x£3ktPLE CXCVII. Partager a en parties proportionnelles aux nombres connus m , n , p , etc.

En appelant x la première partie , la seconde se trouvera, Japrès renoncé de la question , en faisant la proportion min::x i Sà^ , d'où 5^' = ^ : on aura de même T*^ =''',

0^=''*, etc. Donc puisque la somme de ces partie^ dwt

égaler a, on aura x +^+'l£-f- 15 -f- «= a , d'où

art

^ *"^ — -. Cette valeur de x donne 5^ = — r-r-r

T'^* s=3 ?p (y^ = ^5 , ce qui donneroit

m-f.«4.^+7+ :a::p: T'^ , etc. On voit donc que

la somme des parties proportionnelles est au nombre à par* tager comme chaque partie proportionnelle est à la partie qui lui correspond. C'est ce que Ton avoit déjà démontré (395).

80 1. On pourroit demander si , en partageant ainsi le Bombre en parties telles que la première soit a cbacune dei autres comme la partie proportionnelle h. la première est a la partie proportionnelle a celle que Ton considère , il en résultera que les autres parties seront aussi entr'elles comme leurs parties proportionnelles : c'est ce qu'il est aisé de déduire des proportion^ précédentes ; car , en considérant par exemple la seconde et la quatrième, on a m-^n+p+q-^.... : a : : n: 5^^* et m+n+p-^-q^.... : a: : q : Q"*^ ; a cause du rapport commun m+n+p-^q •{-.,.. : ^ , on a (353) n : S^^ : : q : Q"% donc n :q : : S^e ; Q '"«.

Exemple CXCVIII. On a fait partir de Paris pour Brest, en passant par Dreux , un eouirier qui fait 3 lieues par lieure ; huit heures après son départ , on en fait partir un second de Dreux pour Brest à la poursuite du premier;, qui fait 4 lieues, par heure. On demande à quelle distance de Paris les deux coumers se rencontreront , sachant quil j à I'] lieues de Paris à Dieux.

Soit X cette distance, il faudra au premier courrier pour la parcourir £ heures ; le second courrier n'aura a parcourir

que X — 17 ; et comme il l'ait 4 lieues a l'heure , il sera en route pendant -ii/^hemcs. Or, le premier est par hypothèse 8 heures

Cours de MATHÉMATiQuESé ^79

en route de plus que le second , ainsi ?: = 8 + Izp^ d'où,

4j:=»96 + 3x — 5i ou a:«==45* Ainsi c'est a 45 lieues de Paris que les deux courriers se rencontreront , ce qui est sise, à vérifier.

802, On voit que si on donnoit des questions analogues y. on seroit obligé de recommencer a chaque fois k mettre la question en équation , puis de résoudre cette équation ; oor évite cet inconvénient en représentant par des lettres les données de la question.

Soit par exemple a la distancée des points de départ , ^' la vitesse par heure du premier courrier , i^' celle du second , t le nombre d'heures que le premier courrier part avant le second , a: la distance au point de départ du premier courrier 5 le nombre d'hçùres que le premier courrier est en marche

sera exprimé par i' , le nombrç

d'heure de marche du second ï**^ ^^^ ^ sera exprimé par ^ ^ on

aura donc i ==. t +^,e . d'où x =. KIULL^.

, Discussion de ce problême-.

803. Il peuty avoir trois cas j 1^. que Fonait^''^^» f ^2*». f^'^=»f^^ 30. f^' < ^.

1^. Si ^' ^ ^, la valeur de.j: sera positive tant que f^'t

sera plus grand que a. Cependant elle ne sera admissible qu'autant que ^t sera aussi plus grand que a , sans quoi le premier courrier n'auroit pas encore passé par Dreux quand le second se mettra en route ; et comme ils se dirigent l'un et l'autre sur Brest , et que celui qui est derrière a la moindre vitesse, ils ne peuvent donc se renco^itrer. Si p» if™ a, cette valeur se change en .r = ill^lliil2 = p^=a. C'est-a-dîre, que

le point de rencontre est a Dreux même , ce qui est ésvident. Si ^'f = tt , on aura j; = o ; ce qui sembleroit donner le point de départ du premier courrier pour point de rencontre ,, ce qui est absurde. Mais il faut faire attention que , puisque ^'^ =s tf , on a i^t -^ a f puisque f^' ^ \^ , ainsi d'après ce

qui précède les deux courriers ne peuvent se rencontrer s'ils vont , comme on le suppose ici , dans le même sens. Pour qu'il y ait lieu k une rencontre , il faut donc que le second courrier vienne k la rencontre du premier : pour rendre la formule applicable a ce cas , il faut y faire j^' négatif, Cje qui

sSo Cours de Mathématiques.

donne x = ^\*\fra) ^ valeur qui , dans le cas de ^'i = a y se rédiùt a X «« V'*'J ou -"-î:. Cette formule x = ^iÇîl^^ s'applî^^^ roit aussi au cas de i>'t ^ a , les deux courriers aHant en sens contraire.

20. Si *''=»*', on aura x =« tlîC^ = r('''f-^K Pour interprêter cette valeur, remontons a son origine : x = ^.'^

on aura

satisfaite quel que soit x. La valeur de x est donc alors indéterminée ; et en effet , puisque ^' = ^'' çt que ^^f ==> fl , on aura ff «-a. Cest-a-dire, qu au bout du temps f , le premier courrier se ti^uvoit précisément au point dj départ du second; donc puisqu'ils ont la même vitesse , ils continueront d'aller ensemLle pendant toute la route. Si i^'t ^ a , on a =

— çf Ça — t^^t).y équation absurde; ainsi il n'y a pas de poidt de rencontre quand les deux courriers vont dans le Hicme sens : pour qu'il y en ait un , if faut qu'ds aillent en sens contraire , et alors le point de rencontre est donné par Ja formule ar«=:*:d5, qui montre que ce point est précisément le

milieu de la distance du point où étoit Ip premier quand le second s'est mis en route , au point du départ du second. . 30, Si p»' ^' if , la formule donne x :i= ^^"izli^K Si on a ^ ;> A

la valeiu? de x est positive ; m«iis elle ne résoudfei le problème dans le cas où les deux courriers vont dans le même sens , qu'autant que Ton aura aussi tf >► ^'f ; car si a ^ f'^, on

aura x <^ ^'±ï\^\ <^ f.'f , ce qui est absurde , puisque le premier courrier a déjà fait vt quand le second se met en route. Dans ce cas , il faut que le second couriier vienne a la rencontre ^u premier , et alors on retrouve la formule précédente X =a ^^"""^^ en faisant v^' négatif.

On pourvoit faire encore un grand nombre dobserrations sur ce problême , mais elles nous meneroient trop loin. Celles qui précèdent suffisent pour montrer que, lorsque l'on a résolu un problème algébriquement, il faut avoir soin de vérifier si la valenr trouvée pour l'inconnue satisfait réellement à la ques,tion , et si celle-ci ne renfermoît point quelque condition que l'équation n'exprime pas , en sorte que les valeurs des inconnucà qui satisfont aux équations ne satisfont pas toujours k la

CoirnS DE MatHÉM ATIQUEI. 2S1

question proposée clle-mcmc, H y a ici par exemple luic rcl;iiioa nécessaire entre les données du problème que réquuliorv (lu problème n'exprime point , c'est celle de ci ^ a lorsqiio V ^i'' , et de l'i ^ fl si f >. i-'. Nous ne nous arrêterons pas à examiner quelle modification il faudroit faire a Véuoncé poiir rendre adimssiblcs toutes les valeurs positives de x-

Exemple CXCIX. Connaissant la. somme de diitix itombres 'Vt kur différence , Imufer chacun d'eux.

Soit a la somme , b la différence , jc le plus grand , y le plus petit i oixaavax-i-y=^a eXx—j=^h; ajoutant, 2x^=a-^b, «'où x = 2ï!L; reuanchant, 2^ = a — b , d'où^j- =. ^,

Ainsi le pUis ffrand nombre e'gale la moitié' de la somme + la moitié' de la différence, et le plus petit e'gale la moitié de la somme — la moitié' de la di^fference.

Ce problème se résoudroit bien {acilemeni en prenant uncseule iuconnue.

Exemple CC. On demande deux nombres qui nient les proprie'te's suivantes : que le premier avec la moitié' du. second soit e'gal à 30 , et de plus t/ue îe.second avec le tiers du premier soit aussi égal à ao.

. Soit X le premier el j le second , on aura x-i-Ly=^iio et y -f- i. a: =3 ao , d'où, par l'uue dj2sïnéthodes( 6a8 etsuiv.)»©" tirera 37=12 ct 7'=i6.

Exemple CCI. On demande deux nombres tels que la moitié du premier avec un tiers du second fasse 3a ; et outre cela , iju'un fjuart du premier avec un cinquième du second fasse 18.

Soit 3: le premier el y le second , ou aura L ar + '-^ •= 3» , et î. a: + i^ «=■ 1 8 , d'où l'on tirepa x => 24 et ^ = 60.

ExEMP. CCII. Pierre dit à Paul. Hj a sept ans que j'étois trois fois plus tige que vous , et dans sept ans j'aurai précisément le double de votre âge. Je demande Vâge actuel de tun .€< de l'autre.

Soit X l'âge de Pierre et y celui de Paul ; il y a 7 ans Pierje av^t X — 7 et Paul y — -j ; dans j ans Pierre aura j: -|- 7 fit Paul J' + 7 , donc d'après les conditions du problème :r — 7 ■=> 3x(y — 7)pl-'^-l"7=3x(^ + 7), d'où x =4î)'^tJ = ai.

ExEMP. CCllI. Cn maquignon adeux chevaux A et h, dont on

Ende le prix ; il a aussi deux selles , une estimée douze Vautre deux : or , s'il met la meilleure selle sur A et ht

281 CouR& DE Mathématiques.*

moins bonne sur J^ , le prix de A sera double de celui de B ; viais s'il met la meilleure selle sur B et la moins bonne sur A , le prix de B sera alors triple de celui de A :je demande le prix de chaque chet^aL

Soit X le prix de ^ , y celui de B ; par la première condition , on aura ar-|-i2=2 (^+2), et par la seconde, j^+i2=3(x+ 2), Doù x=^^etj ^^6.

ExEMP. CCIV. Trouf^er une fraction telle que, si ton ajoute une unité' au numérateur, elle donne un tiers ; mais que si ton ajoute cette unité au dénominateur , elle, donne un quart.

Soit f cette fraction , on aura ^ti «=a !. et ^ = ^ ; d'où j?=4

et j" «= 1 5.

Exemple CCV. Quelqu'un, achète une certaine quantité de pommes et de poires pour 3o^ , et paie les poires à raison de quatre pour un sou , et les pommes à raison de cinq pour un sou^ ; ensuite il cède à son voisin la moitié de ses pommes et le tiers de ses poires pour i3*, ce qui étoit le prix quelles lui coûtdentx je demande combien il en a^oit acheté de chaque sorte ?

Soit X le nombre des pommes ^ y celui des poires , on au» -f -f :l=3o et *: + X^ i3, d'où a: « 72 et r =60.

Exemple CCVI. Un lévrier voyant un lièvre éloigné de lui a la distance de 5o de ses propres sauts, le poursuit en faisant i sauts pour /\. sauts que le lièt^refait; et de plus, en faisant mitant de chemin en deux sauts que le lièvre en fait en trois : je demande lé nombre de sauts que chacun de ces animaux fera durant toute sa course ?

Soit\r U nombre des sauts du lévrier, et Y le nombre des sauts du lièvre , on aura x :y : : 3 : 4 - ^'où ^x = iy', puis x= So-^Tff r d'où X =» 45o et j^ =» 600.

Exemple CCVII. Un eabaretier a deux sortes de vins, dont les valeurs sont telles que , s'^il les mêle en raison de deuxit trois , c'^est-a-dire , s'il mêle deux pots du meilleur vin at^ec trois pots ^ du plus mauvais, le mélange vaudra m^ le pot, mais que 5*// les mêle en raison de sept à huit, c'est-à-dire, s'il mêle sept pots* de la meilleure sorte avec huit pots de la plus mauvaise , le mélange vaudra 22^- le pot : je demande le pris: de chaque sorte ? .

. Soit X le prix de la meilleure sorte , y celui de la plus mauvaise , on aura !£j"i2: = 21 et Jl^LtSr = 22 , d'où x = 3o*

et / = i5*.

Exemp. CCVIII. Il y a un certain nombre composé de deux caractères , qui est égal a q^iatre fois la somme de ces caracr

Cours de Mathém a tiques^ a8î-

tèvcs pris sépai;ément et ajoutés ensemble ; et si U ce novihve ou ajoute id^ on aura une somme égale à eeUe qtte le premier nombre formeroit si on ïransposoii tes earaetères. Je dêinHmde ce nombre ?

Soit X les dixaînes et j les unîtéa , on a i ox ^j •« 4 (^-hr) et loor^'+j^ + iS «?■ laj^ + x; d où a: =*« 2 et j^ '=« 4- Aiosi ce nombre est al*

Exemple GCIa. Il y a un nombre composé de trois caractères qui j considérés chacun en eux-mêmes sont en progression arithmétique ; si ce nombre est dii^isé par ta somme de ses caractères considérés en eux-mêmes , cest-à-dire , sans at^oir égard à la place quils occupent dans le nombre cherché , le quotient sera 48 ; mais si ton soustrait de ce nombre cent quatre-t^ingt-dix-huit ;, les caractères seront transposés : je demande quel est ce nombre ?

Soit X le çhîJBFre des centaines , j celui des dixaînes , z celui des unités, on aura X'^z^=i2.y , -I22£±i^±4 =» 4^ ^t et 100 x

+ iqy+j&— 198= 100-2?+ loy-^x y d'aua;==»47 ^" = 3, ;s «= 2 ; ainsi ce nombre est 432.

Exemple CCX. Trois hommes K, H et C parloient de leur argent , Adit àlR et à Cj donnezrmoi la moitié de votre argent , et /aurai la somme d; B dit' à A et àCj donnez-moi le tiers de "votre argent , et f aurai aussi la somme d ; C dit à A et à B ^ donnez-moi le quart de "votre argent , et j'aurai pareillement la somme d : combien d'argent chacun £eux ai'oit - il ?

Soit X l'argent de ^ , j^ celui de jB , ^ celui de C, on aura ^ +:>^.ti ^ ^ ^ + £tf = ^ z^ £tr ==, d. D'où x^±d,

r = ii ^ et Z = ii ^.

Exemple CCXI, Trois hommes A, B et C parloient de leur argent ; A dit à Bet àCj donnez-moi ei de "votre fonds , entre vous deux , et j'aurai le double de ce que vous aurez gardé; B dit à A et à C , donnez-moi e de votre fonds , et i* aurai trois fois autant que vous aurez gardé ; C dit a A et à B , ^donnez-moi e de votre fonds , et f aurai quatre fois autant que vous aurez gardé: combien a^oit thaciin d'eux ?

Soit X l'argent de ^, j celui de 5 et ^ celui de 67, on aura .T + e = 2(j + z— ^), 7 + <?«»3 (a:+z— e), ^ + e = 4(j+x— e).D'oùx=« Are, j^«== ËL^ et z^^^r^e.

Exemple GCXII. Quatre hommes A, B^ CetUy ayant chacun une différente somme d'argent, se mettent au jeu; A gagne à B la moitié de son argent , ensuite B gagne àCle tiers de

:^4 Cours de Mathématiques.

son argent , ensuite C geigne a D le quart de son argent , et ensuite D gagne à A la cinquième partie de ce qu'il at^oit (ï argent ; après quoi ils quittent le jeu , ayant ctiaain ^.Z francs. On demande chacune des sommes (Purgent a^^ec lesquelles k , B ^ C , D 5^ sont mis au jeu.

Soient x ^y y z y u respectivement l'argent Aq A , By Cet D, on aura|a:4-«^7=23,Lj + ^z =23, '^z H-^a=i23,

2 M + i X = 23 ; d'où a:==!io,j^ = 3o, ^ = 24, u =» 28.

ExE>ip. CCXIII. Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux ; Vâne se plaint de la sienne et dit au mulet : il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge , pour être plus charge' que toi du double de ce qui te resteroit ; le mulet repond ,, oui , mais si tu me donnais un quintal de la tienne , jaurois le triple de ce qui te resteroit. On demande combien de quintaux ilsportoient chacun?

Soit X la charge du mulet , y celle de l'âne , on auraj + 1

=3 2 ( X — I ) et :r + I. = 3 (j* — I ) , d'oïl a: == 2 1 etJ=»2L.'

Exemple CCXIV. Tràià personnes jouent ensemble j dans la premièx^ partie le- premier joueur perd , avec chacun des deux autres, autant que chacun d'eux ai^oit et argent sur lui ;^ dans ta second^ partie , c'est au second joueur que les deux autres gagnent autant chacun qu'ils ont déjà d! argent-; dans la troisième partie enfin ^ le premier et le second joueurs gagnent au troisième autant d'argent chacun qu'ils en avaient. Ils cessent alors de jouer , et it se trouve qu'ils ont tans une somme égale , savoir: 24 louis chacun. On demande avec combien d'argent chacun s'est mis au jeu ?

Soit a: l'enjeu du premier, j* celui du second, z celui du

troisième, on aura 4^ — 4t — •4^=*^4> ^y — ^"^ — 2z=24 et 7^ — X — 'y = 24 ; d'où x =3 Sg , j^ = 21 et z =? ï2.

Exemple GCXV.. Deux personnes doivent ngpistoles; eUeSi ont de l'argent toutes les deux, mai^ pas assez chacune pour pouvoir acquitter seule cette dette, commune ; le premier débiteur dit donc au second , si vous me donnez les deux tiers de votre argent , je paierai seul la dette sur le ohamp; le second lui réplique qu'il pourroit aussi acquitter seul la dette , si l'autre lui donnoit les trois quarts de son^argent. On demande combien ils ont Vun et l'autre?

Soit X l'argent du premier et 7 celui du second, on aura ^ +î/ = ^9 et J- + 1-^ = 29; d'où a: = 19!. et7 = i4;.

Exemple CCXVI. Un capitaine a trois compagnies : fune est dfi Suisses ,V autre estdeSouaffeSjlatroisièpie ejstdeSnkpins^

Couas DE Mathéntatiques. 2$5

Il veut donner un assaut avec une partie de ses troupes ', et il promet une recompense de 901 écus survie pied suivant:

Que chaque soldat de la compagnie qui montera à Passant, recevra un e'cu, ^t que le reste de l'argent sera distribue également. aux deux autres compagnies.

Or j il se troui^e que si les Suisses donnent l'assaut, chaque soldat des autres compagnies reçoit un demi-écu; que si les Souabesvont à Vas saut, chacun des autres reçoit un tiers d'écu, enfin que si les Saxons donnent l'assaut , chacun des autres reçoit un quart d'ecu» On demande de combien d'hommes étoit , chaque . compagnie ? , '

Soîtar le nombre des Suisses ^ ^ celui des SouaLes, z c^luî des Saxons , on aura S2!iî = i , esiirr = i , 2iii5 = ' : d'où

X c=» 265 > j^ *==* 583 et -5 «= 689.

Problèmes du second de&hé.

Exemple CCXVII. Quelqu'un achète un certain nombre de bœufs pour 80 louis , s'il en auoit acheté quatre de plus pour la même somme , il les auroit eus à meilleur marche d'un louis la pièce. Quel étoit le nombre de bœufs ?

Soit X le nombre des bœufs , le prix de chacun sera . -j- ;

s'il y en avoit 4 <lc pl^s , le prix de chacun seroit J 1 u > ainsi,

d'après les conditions de la question , "j => J 1 ' + i ; doii

80X+ 320 = 80 j: + a:*-f"4^ ou x^ -^^ ^x ^=^ 'i'io ^ don ( 655 ) ar = — 2 ± y 4+^20. Ce qui donner =— 2-p y 32^

et X s=, — 2 — y 324, ou j: = — 2+ 18 et ^ = — a— .18;

c est-a-dire , a: = 16 , ce qui est la réponse a la question , et

a: = — 20. En mettant une quantité négative — « a la place

de X dans l'équation du problême— = '^ . ' +1 , elle devient

So 80 8ô 80 80

— — = — ^-- j^ I ou — — = — 7 + I « ou enfin —

=» "^^ZIT — ^y équation qui cxprimeroit évidemment les conditions

de cette question-ci : on a acheté un certain nombre » de bœufs pour 80 louis f si on en a^^oit eu quatre de moins pour le même prix , chaque bœuf auroit coûté un louis de plus. On aura a = — :r = 20 et = — 18 ; en sorte que la valeur né~ gadvc précédente r- 20 , étant prise positivement , donne la

5i86 Covus Bfe MkitmÉmiir^qtfU6,

îK>lfit40n de la qiiGBtîon a^tueiie y solution d «Heurs (fa'A est facile de tpourer imin^iiialemeiit.

ExEitPtE CCXVIÏl. On demande le nombre qui, étant ajouté à sa racine carrtfè, vaut deux cent dix?

Soit X ce nombre, on aura x -^ \ x = 210, pius.y j: «E3 2IO — X, carrant a:==44ï^^ — 4^o x-J-o:* oux*^ — '^ix

«=^44100. [i3], doii a: «. 4». ±: y/(4^)* ^ [^x^

^ d: !ô. Ainsi il y a deux valeurs de j:^ toutes deux positives,

X =«s 225 , et X «» iy6.

Quoique ces deux valeurs soient toutes deux positives, et satisfassent l'une et l'autre a l'équation x^ — 4^^ ^ *=* — 44^> la valeur a:*=i96, est cependant la seule qui satis&sse à la question proposée. La raison en est que l'equatiofl [iS] est

le carré de ya: = 2io — x, et seroit également le- carré

de — y X =s. 210 — X , puisque le carré de + y x et de

— y/ X sont l'un et l'autre *r; Funê des racine» de Féçation [i3], doit donc donûer ia réponse a la question qui con-

duiroît a — y x = 21D — j: ou x — y x = 210 ; c'est-àdire , au cas où l'on proposeroit de trouver un nombre tel qu'en en retranchant sa racine carrée, le reste soit 2105 il «st clair que dans ce cas x doit être plus grand que 210, tandis que dans le précédent, il dev-oit être pins petit : ainsi la racine 196 étoît celle qui coavenoit a la première question, et aaS convient a la secondé. En général, lorsque l'on fait disparohre âes radicaux daass l'équatioiii d'uiu probité , on a une équatiot qui réfiulteroit également de l'évanouissement de ces radicaux pris avec toutes les valeurs dont ils 5ont susceptible^, pat conséquent, on ne doit admettre pour solution de la question proposée, ^ue (iefles des raciaes qui satisfont a l'équation immédiate du problême, avec la combinaison de tadicaux quélfe feiifenne. .

Exemple CCXIX. Un homme emploie une certaine soBum^ en marchandises , quH débite ensuite pour 24 louis, €t H gagne autant pour cent que les marchandises lui ont coûté, on demande ce qu'elles lui coûtent?

Soit X le prix d'achat, le gain sera 24 — x^, pnisquïï est de X p°/o , on a donc x : ^ly — x \: xoo-.x, d'an x^ =■ 24^

— iDo x^ puis x^ + 100 X =^ 24^0 , ce qui donne a: =i=i — 5o

± y 25oo + 2400 ; aîn^i x= — 5o -f- 70 et j? = — !>o

— 70 ou a; == 20 et x = — 120. La première valeur est ceDc

Cours de Mathématiques. 287

qui résout la question ; si on veut savoir a quel énoncé conviendroit la valeur négative, il faut faire ^ = ^-4 «, ce qui changera la proportion en — « : 24 + " • * ^^^ • — « ou , en changeant les signes des deux extrêmes, ce. qui est permis, « : 24+ a :; 100 : «; ce qui convient a cette question : Un homme em-ploie une somme « en marchandises, il les reyend 24 louis de^plus que le double du prix Jt achat, et gagne pVo autant comme elles lui coûtent : on demande le prix d'achat? en résolvant directement la question, on trouvera ^20 louis, cest-k-dire, la solution négative du précédent, prise positivement.

Exemple CCXX. Deux voyageurs A çt B, partent en même temps de deux endroits Ç ^t D , A de C pour D 5 et Ê. de P pour G y après s'être rencontrés, ils calculent le chemin qu'ils ont fait , et il se trout^e que le chemin de A surpassa de trente lieues celui de B , et qu'à proportion de la diUgence qu'ils faisaient , A comptoit gagner D en quatre jours , et que B comptoit gagner C en neuf jours : on demande la distance entre C et Dl

Soit X cette distance, y le chemin fait par j4, z, celui de B, on aura a: «=• j^ -f- z-' Ainsi la question se réduit a trouver y et z. Oii a d'abord j^ — -zr ==» 3o. De plus , il reste z a parcourir a A ; puisqu'il le parcourt en 4 jours, il fait donc par jour r ; il reste y à parcourir di B, puisqu'il

le parcourt eh 9 jours , il fait donc par jour ^ ; mais les

espaces y: çX z parcourus dans le même temps par A et par B , sont entreux comme les vitesses de ^ et de jS^ c'est-a-

dire, :: - : - ; amsi riz:: -. : -^j dou — ==• t Puis

^ = - : combinant avec ^ — ^ = 3o, oh aura / =s 90 et

z =» 60, et par conséquent, x = i5o.

Exemple CCXXI. Deux voyageurs A et "R y partent de deux endroits C» et jy en même temps , A de Cy dans le dessein de passer par D , et B de D , dans le dessein d'aller du même côté. A atteint B, et par le calcul de leur chemin , il se troupe qu'ils apoient Jait ensemble trente lieues , que A apoit passé par D depuis 4 jours , et que B , à proportion du chemin qu'il apoit fait, se troupoit à la distance de neuf journées de C. On demanda la distance entre les deux endroits G et H,

288 Cours de Mathém a tiques.

En conservant les dénominations . précédentes , on a x = V — z et r + -2^ "" 3o. En raisonnant comme, ci-dessus,

on trouve encore = "" , d'où ^ =» - , puis j^ «a i8 et

z == 12. Ce qui donne i: =a 6.

Exemple CCXXII. Vn voyageur A part d'un certain endroit, et fait un mille le premier jour, deux milles le second, trois milles le troisième , quatre le quatrième , etc. et cimj fours après , tin autre a^oyageur B part du mém;e endroit, et va du même côte', faisant douze milles par jour : on demande combien de jours A doit être en chemin, et combien de milles il doit faite açHint d'être atteint par . B.

Soit X le nombre de jours que u4 est en route , il fait successivement chacjue jour i, 2, 3 x milles : la somme

des termes de ces x termes en progression arithmétique, est îi(f:tL>, c'est le chemin fait par ji : B partant 5 Jours après,

sera donc x — 5 jours en route, il fera donc a raison de 12 milles par jour, 12 x (a: — 5). Or, au point de rencontre de i^ et de ^, ils ont parcouru le même chemin , absi ^(^tO= ixt )^ (x — 5) ou x^ + ^= 24^ — 120, d'où X

.t= + L^ dr \/,(*^y — 120 = + ^ zt 7 ; amsi :c =r i5 et x

»- 8; ils se rencontreront donc deux fois : la première au bout de 8 jours, et la seconde au bout de i5 jours^ parce que la vitesse croissante du premier le fera ratrapper le second, la rencontre se fera à 36 milles la première fois et a 120 milles la seconde , ce que l'on trouve en mettant pour x sa valeur dans iQL xÇx-^ 5).

ExEMP. CCXXIII. On demande de partager lenonihre dix en deux parties , qui soient telles que le produit de leur multiplication , ajouté a la somme de leurs carrés , fasse soixante-seize.

Soit X lune des parties , l'autre sera 10 — x; le pfoiàuit sera 10 x — x^ , ainsi Ion aura 10 x^-x^+x^-^-iio-^xf = 76 ou x^ — 10 j:=a.^24, cFoù X = 5 i I, ainsi ar=6 et a: ==a 4. Ce sont les deux parties cherchées.

Exemple CCXXIV. Troui>er quatre nombres en progression géométrique, tels que la somme des deux termes moyens soit dix-huit, et celle des extrêmes vingt et sept.

Soit X le premier terme , j le second , la raison sera ^ ,

"" ainsi

Cours de MATHÉMATiQu£s« 289

aiosi les tennis consécutifs seront -s* x' : r : ^ : ^. Les coa-

ditions du problême donnerpat y + ■=■ 18 çt ^ +"^^'=^

ai ; la première donne a? =« -7; ; / substituait dans la

seconde, elle devient y^ — 18 j^ =* — 72 , d'où j^ «=» 9 dr y 81 — 7a="9it3j ainsi j^= 12 bu y =6, ce qui donne

^1 substituant dans x =■ -^rrï^ , 0:^=324 ou x =« 3 ; ainsi

(a progression est -fr 24 : la : 6 : 3 ou -ff 3 ^: 6 : 12 : 24. U

est évident ^e la seconde n est autre chose ^ue la première

renversée,

ExEKP. CCXXV. Trouver trois nombres en proportion géame'trique continue, dont la somme soit dix-^euf, et la somme de leurs carrés cent trente-trois.

Soit X le premier et;y le dernier y x y sera le second ;

ainsi on a a: + y xy 4- J" ■=» 19 , et ;r* + xy +j^* *=» i33. Carrant la première éqiiation , on a o:^ + xy + jr* -j,

^x\ xy*^ 'ky yxy+ 2 xy =» 36i, mettant pour or* + xy •+-j^*, sa valeur i33, on a i33 +a\/ a:j^ (or+j^+y jyr) =5 36i , ou en mettant pour x-^y + y^yy sa valeur 19, il vient i33 +38\/arj=«36i, d'où y^:c^=6; substituant dans

X +y + V ^/==a 19, on a x-^-y = i3; mais y j:y =6, donne j^ == ??; donc a: + 1? «= i3 ou :tr^ -J- 36 = i3 x , d'où

X =^ + î^ :t: y/i^ — 36 =- + ^ rt 5. , ainsi x=9oua: = 4;

par conséquent j" =■ 4 o^^=='9 • ^^^^^ l^s deux cas y orj^ ■=a 6. On a donc -H- 4 • ^ • 9 ou -^ 9 ; 6 : 4> la seconde n'est autre chose que la première renversée.

Exemple CCXXVI. Trouver deux nombres qui, ajoutés ensemble ou multipliés Vun par Vautre, donnent la même somme , laquelle, ajoutée à la somme de leurs carrés, soit égale à douze.

Soit X le premier et ^ le second, on aura x -^y '^xy, puis x^ -hy^ 4" ^X =» 12; carrant la première équation, on à x^ + y^ -\^7l xy ^== x^y^, mettant pour x* +y^ + xy, sa valeur 12, on a 12 + xy '=^ x^ y^ , faisant pour un mo-

Arithmétique. T

âgO COUHS DE Mi^THélCATXQ^ES^»

ment xy =» w^ nous aui'ons w*^ «== m + 12, d'où i* «=» 4? ^^ ne prenant que la valeur positive ; ainsi xy =^ 4> doù^ »i ,

substituant dans or +^ «-■ j: j ^ il vient j:^ + 4 =» 4 ^ > ^'^.^ a: =» 2 , et par conséquent j^ =» 2.

Exemple CCXXVII. Trouver sur la ligne qui joint deux bougies , le point quelles éclairent également. En supposant ce principe de physique^ que les effets de la lumière sont en.^ raison inyerse du carré des distances,

^ •...^.,. iSpient ^ et jB les

/j P -D pf deux bougies , a leur,

'^ .. distance y x la distance

du point cherché, a la plus forte que nous supposerons être ^.Prenons l'intensité de la lumière B ,2l 1 de distance pour imité , et soit m l'intensité de la lumière ^ , a la même dis-^ tance; pour avoir l'effet de cette dernière a la distance x,

on dira x^ : i* : : m : un quatrième terme = — ^,, c'est l'intensité de la Ijunu^re A sur le point cherché C : pour avoir celle de la liunière B, on dira (a — xy : i : : i : un quatrième terme, qui sera l'intensité cherchée et. qui égale ^.

Ces. deux intensités devant être égales, on a -^

racme carrée, on a . = it , dou

X (a — ar) '

a y m :Ç ssss — -n;: .

Or, m est toujours plus grand que i, puisque nous supposons que la lumière j4 est la plus forte , ainsi a: est toujours positif.

L'on a deux valeurs de x, savoir ; x = -: — \ et x '=^

' La première est plus petite que a et donne le

point C entre jÉ et B , la seconde est plus grande que a et

donne un point C^ situé au de-la de jB par rapport a ué.

Si y sur ce coDime diamètre ^ on décrivoit une circonférence de cercle) chacun des points de cette circonférence seroit autant éclairé par l'une des lumières que par Pautre , tous les points intérieurs seroicnt plus éclairés par la petite que par la grande 9 et

Cours DE Mathématiques. 2ftx

^es points extérieurs seroient plus éclairés par la grande qujtî |>ar ht petite.

Cette remarque pourroit servir à trouver suc un plan 1|^ ppîçt également éclairé par' un nombre quelconque de bougies.

Pour y parvei^ir 9 on chercberoit; sur la ligne qui joint l'une quel-çonque de ces bougies à chacune dçs autres^ Ijesdeux points qu'elles éclairent ég&lenient. On décriroit sur la distance de ces deux points prise pour diamètre une circonférence de cercle; si toutes ces circonférences do cercle se rencontrent en un même pointf ce point sera celui que Ton cherche ; mais al elles ne paient pas toutes par un même point j c'est une preuve qu^il n'en existe point qui jouisse de la propriété énoncée.

Elle peut aussi servir à trouver le point d'une droite ou d%ine courbe quelconque ^ située danjs le plan des deux bougies qu'elles éclairent également , en décrivant la circonférence déterminée par les deux points ci-dessus y les intersections avec la droite ou U. courbe donnée ^ donneront les points cjierchés 9 et s'il n'y en a pas j c'est qu'il n'existe pas de point qui jouisse de la propriété dont il s'agit.

Enfin si ^ sur cette même distance C C^ prise pour diamètre ^ on décrit une sphère, chacun des points de la surface sera autant éclairé par l'une des lumières que par l'autre; tout point intérieur sera plus éclairé par la plus petite que par la plus grande^ et ce sera le contraire pour tout point extérieur. Ceci mettra à lieu !*• de déterminer le point de l'espace également éclairé par un nombre quelconque de bougies , s'il en existe dans ce cas; Q,^, de déterminer les points d'une surface donnée également éclairés par deux bougies , en supposant que ces surfaces laissent un libre passage aux rayons de lumière.

Si les deux lumières sont égales, on a. 771 =a i , les valeurs de X se changent en a? = - et a: =» '*•

La première indique que le point cherché est le milieu de la droite , le second x^^ "^ montre que, pour avoir un second

Îioînt, il faudroit diviser a par zéro, opération impossible. 1 n'y a donc pas de second point sur la droite j4B égaleinent éclairé par les deux bougies. En remontant a l'origine

( y/ m — I ) X X = a y m de la seconde valeur, on voit

que l'on ^auroît eu y m — i «=» , et dans le cas de

m = î , on auroît o sa f^ , équation fausse , maïs dans la-

Ïielle l'erreur sera d'autant moindre que x sera plus grand, ette considération a fait regarder l'expression 2 de la valeur

de X comme étant le symbole dç Finfini.

agn Cours de Mathématiques.

Dans le cas actuel ^ là circonfërence de cercle se troaTe remplacée par une perpendiculaire élevée sur le milieu de ^B^ et la surface sphérique par un plan élevé perpendiculairement sur le milieu de la même ligne. Il est évident que des lumières égales disposées sur un même plan ne peuvent éclairer un point de ce plan également ^ à moins qu'elles ne soient sur une même circonférence de cercle ) dont ce point est le centre; et que des lumières égales dispersées dans IVspace ne peuvent éclairer également un même point , qu'autant qu'elles seront sur la surface d'une sphère I dont ce point sera le centre. \