MOUVEMENT DES APSIDES

circonstances , la situation du grand et du petit axe de l'ellipse demeurera pendant long-temps à-peu-près la même , quoique la résistance de l'air et la raideur du fd en diminuent peu à peu les dimensions et l'excentricité. Mais si l'irapulsion communiquée au poids est assez considérable pour l'éloigner de ia verticale d'un angle de 15 à 20% cette permanence de situation de l'ellipse ne subsistera plus. On en verra l'axe changer de position à chaque révolution du poids , et s'avancer dans le même sens que le mouvement de celui-ci , par une progression uniforme et régulière , qui finira par renverser entièrement sa situation , en faisant coïncider la direction des plus longues excursions avec celle suivant laquelle les plus courtes avaient eu lieu antérieurement ; et ainsi de suite autour de tout le cercle; reproduisant, en un mot, entièrement à l'œil le mouvement des apsides de l'orbite de la lune.

570. Si maintenant nous recherchons la cause de cette progression des apsides , il ne nous sera pas difacile de la trouver. Lorsqu'un poids est suspendu par un fil métallique , et qu'on l'écarté de la ligne verticale , il est sollicité vers le point le plus bas ( ou plutôt dans une direction à chaque instant perpendiculaire au fil ) par une force qui varie comme le sinus de l'angle formé par le fil et la perpendiculaire. Or, les sinus d'arcs très petits sont à-peu-près dans la proportion des arcs eux-mêmes j et cette proportion est d'autant plus exacte , que les arcs sont plus petits. Si donc les déviations de la direction verticale sont si petites que nous puissions négliger la courbure de la surface sphérique dans laquelle le poids se meut , et que nous regardions la courbe décrite comme se confondant avec sa projection sur un plan horizontal , il se mouvra alors sous les mêmes circonstances que si c'était un corps tournant attiré au centre par une force qui varierait directement comme la distance ; et , dans ce cas , la courbe décrite serait une ellipse qui aurait son centre d'attraction , non au foyer , mais au centre , et les apsides de cette ellipse demeureraient fixes. Mais si les excursions de ce poids hors de la ligne verticale sont considérables , la force qui le sollicite vers le centre s'écartera, dans sa loi, de la raison simple des distances, car la force varie comme le sinits, tandis que les distances varient comme les arcs. Or, quoique le sinus s'accroisse à mesure que s'accroît rarc,il ne s'accroît pas aussi vite. Aussitôt que l'arc a acquis une grandeur sensible , le sinus commence à être moins grand que ne pourrait le comporter une exacte proportionnalité numérique ; et, par conséquent, la force qui sollicite le poids vers son centre ou point de repos , se trouve, à de grandes distances , dans une proportion pareille , un peu plus petite^ que celle qui maintiendrait le corps dans son orbite elliptique précise. Elle n'aura donc plus, à ces grandes distances, la môme action sur le poids, en proportion de sa vitesse , qui la mettrait en état de hi faire dévier de sa direction rectiligne tangentielle pour lui faire suivre une courbe elliptique. La véritable ligne qu'il décrit sera moins courbe dans les points les plus éloignés que ne le veut la forme elliptique , comme dans la figure 75 ; et , par conséquent , son mouvement ne sera pas aussitôt ramené à angles droits avec le rayon ; il faudra une action plus longtemps continuée de la force centrale pour produire ce résultat ; et avant que cette condition s'accomplisse , il faudra que le mouvement angulaire ait parcouru plus d'un quart de sa révolution autour du centre. Mais ceci n'est que la paraphrase d'un fait qui se résume plus laconiquement en ces mots : les apsides de son orbite sont j)r agressifs.

571 . Or, c'est ce qui a lieu , en changeant les circonstances , pour les mouvemens lunaire et planétaires. L'action du soleil sur la lune , par exemple , comme nous avons vu , outre la force tangentielle , dont nous ne considérons point à présent les effets , produit une force radiale dont la loi n'est point celle de la gravitation directe de la terre. Ainsi , lorsqu'elle se combine avec l'attraction de la terre , elle fait suivre à la lune une orbite qui s'écarte de rellipse , étant ou trop

m TRAITÉ D'ASTRONOMIE. - PROGRESSION DE L'APOGÉE LUNAIRE. CHAPITRE XI.

courbe on trop peu , à partir du périgée, pour l'amener à un apogée éloigné exactement de 180° du pengée. Trop courhe, si la force composée ainsi produite décroît dans une proportion plus lente que le rapport inverse des carrés des distances (c est-a-dire, est trop forte dans les distances éloignées; trop peu courhe, si la lorce combinée décroît plus vite que la gravité ou plus rapidement que le rapport inverse des carrés, et est par conséquent trop faible à la plus grande distance. Dans le premier cas (fig, 7.^) , la courbure étant excessive, amènera la lune a son apogée plus tôt que cela n'aurait lieu dans une orbite eUiptique : dans le second ( fag. T5 ) , la courbure est insuffisante , et l'amènera , par conséquent , plus tard à un apogée. Ainsi , dans la première circonstance , la ligne des apsides rétrogradera; dans la seconde, elle avancera.

572. Ces deux cas se manifestent dans différentes configurations du soleil et de la lune. Dans les syzygies , l'effet de l'attraction du soleil est d'affaiblir la pravitation de la terre par une force, dont la loi de variation , au lieu d'être en raison inverse du carré de la distance , suit la raison directe de la distance: tandis que , dans les quadratures , le contraire a lieu, tout Teffet de la force perturbatrice radiale se réunissant à la gravitation terrestre, mais la portion ajoutée se trouvant toujours , comme dans le premier cas, en raison directe de la distance. Le mouvement de la lune s'opérera donc dans une ellipse dont les apsides sont dans la première de ces situations , dans un état d'avance, et , dans la dernière dans un état de rétrogradation. Mais, comme nous l'avons déjà vu (art. 556) ' 1 effet moyen provenant de la réaction de ces valeurs temporaires de la force perturbatrice, donne la prépondérance à la puissance soustractive ou affaiblis ^ santé. L'apogée lunaire avancera donc dans une révolution moyenne.

575. Le raisonnement ci-dessus rend un compte général assez satisfaisant de l'avance de l'apogée lunaire; mais ce n'est pas sans beaucoup de difficulté qu'on peut en iaire usage pour déterminer numériquement la rapidité d'un pareil mouvement; encore ne peut-on découvrir pour cette vitesse que la moitié de celle que donne 1 observation; l'autre moitié est due à la force tangentielle. Il est évident qu un accroissement de vitesse dans la lune aura pour effet de diminuer la courbure de son orbite, comme le ferait le décroissement de la force centrale, et tîice vmrt. Ur, 1 effet direct de la force tangentielle est de produire une oscillation dans la vitesse de la lune au-dessus et au-dessous de la valeur elliptique de cette vitesse, et, par conséquent, de faire alternativement avancer et rétrograder l'apogée. Il en résulterait une compensation à chaque révolution synodique , si l'apogée était invanaUe. Mais tel n'est point le cas; l'action de la force radiale fait avancer rapidement 1 apogée, comme on l'a expliqué ci-dessus. Il reste donc une partie non compensée de l'action de la force tangentielle ( selon le raisonnement déjà si souvent employé dans ce chapitre) , et cette portion est tellement répartie sur l'orbite, qu elle concourt avec la première cause, et en double presque l'effet. C'est Ja ce qu entendent les géomètres lorsqu'ils disent que cette partie du mouvement de 1 apogée est due au carré de la force perturbatrice. La perturbation de l'apogee duc à la force tangentielle se compenserait, sans le mouvement que la force radiale a déjà imprimé à l'apogée ; en sorte que nous avons ici la réaction d'une perturbation sur une autre perturbation.

574. L'effet aussi curieux que compliqué de la perturbation , que l'on vient de décrire dans l'article précédent , a suscité plus d'embarras aux géomètres qu'aucune autre partie de la théorie lunaire. Newton lui-même avait réussi à découvrir cette partie du mouvement de l'apogée qui est due à l'action directe de la lorce radiale; mais ne trouvant pour sa valeur que la moitié de ce qu'assigne 1 observation, il paraît avoir abandonné ce sujet en désespoir de cause. Pendant long-temps ses successeurs n'obtinrent pas plus de succès en se livrant aux mcmes recherchés. Au contraire , le résultat de Newton sembla même se vériOef

EXCENTRICITÉS ET PÉRIHÉLIES.

dans tous ses détails , et l'étude assidue à laquelle on se livra à cet égard sans succès , commença à faire douter fortement que cette circonstance des mouvemens lunaires pût s'expliquer le moins du monde par la loi newtonienne sur la gravitation. Le doute, toutefois, fut levé, presque à l'instant où il prit naissance, par le même géomètre , Clairaut , qui , le premier, lui avait donné cours , et qui répara glorieusement l'eireur de son hésitation momentanée , en démontrant le par&it accord de la théorie avec l'observation , lorsque l'on a soin de prendre en considération l'effet de la force tangentielle. L'apogée lunaire opère sa révolution , comme nous l'avons déjà dit ( art. 360 ) , dans environ neuf ans.

575. La même cause qui donne naissance au déplacement de la ligne des apsides de l'orbite troublée , produit un changement correspondant dans son excentricité. C'est ce que rend évident un coup-d'œil jeté sur les figures 74- et 75. Ainsi , dans la figure 74 , puisque le corps troublé , en passant de l'apside inférieur à l'apside supérieur , est sollicité par une force plus grande que celle qui le retiendrait dans une orbite elliptique , et qu'il est forcé de décrire une ligne trop courbe , son chemin ( aussi long-temps que ces circonstances existeront ) se trouvera constamment dans l'intérieur de l'ellipse , tel que l'indique la ligne pointée j et quand il sera arrivé à l'apside supérieur, sa distance sera moindre que dans l'ellipse non troublée, c'est-à-dire que l'excentricité de son orbite, évaluée d'après les distances relatives des deux apsides au foyer, sera diminuée , ou que l'orbite se sera rapprochée davantage de la forme circulaire. L'effet contraire aura lieu dans le cas de la figure 75. 11 existe donc entre le déplacement momentané du périhélie de l'orbite troublée , et la variation passagère de son excentricité , un rapport qui ressemble beaucoup à celui qui lie le changement d'inclinaison avec le mouvement des nœuds ; et , en effet , les théories rigoureuses que fournit la géométrie pour les deux cas , nous révèlent une étroite analogie entre eux, et conduisent à des résultats définitifs, absolument de la même nature. Le changement d'inclinaison est au mouvement du nœud ce qu'est la variation d'excentricité au mouvement du périhélie. Dans l'un et l'autre cas , la période de l'un est aussi la période de l'autre ; et tandis que les périhélies décrivent des angles considérables par un mouvement oscillatoire de va-et-vient , ou circulent dans d'immenses périodes autour du cercle entier , les excentricités croissent et décroissent par des changemens comparativement petits , et sont à la fin rétablies dans leurs grandeurs primitives. Comme, dans l'orbite lunaire, la rotation rapide des nœuds empêche que lu variation d'inclinaison ne s'accumule jusqu'à une valeur notable, de même, la révolution encore plus rapide de son apogée opère une prompte compensation dans les oscillations de son excentricité , et ne les laisse jamais s'élever à une quantité considérable ; tandis que les mêmes causes , en présentant rapidement l'orbite lunaire dans toutes les situations possibles à toutes les forces perturbatrî(;es,tant du soleil que des planètes, ou du renflement de la matière équatoriale terrestre , empêchent l'accumulation séculaire de petites variations , au moyen desquelles , dans le laps des siècles , son ellipticité pourrait s'accroître ou diminuer d'une manière sensible. Aussi , l'observation nous fait-elle voir que l'excentricité moyenne de l'orbite de la lune est la même aujourd'hui que dans les siècles les plus reculés de l'astronomie.

576. Les mouvemens des périhélies et les variations d'excentricité des orbites planétaires sont entrelacés et compliqués entre eux de la même manière et presque d'après les mêmes lois que les variations de leurs nœuds et de leurs inclinai'* sons. Ils réagissent tous entre eux, et à chaque réaction se manifestent des périodes respectives de compensation ; chaque période se propage ensuite dans tout le système , conformément au principe de l'article 526. De là naissent cycle* sur cycles , de la durée desquels on peut se faire une idée , en considérant quelle est la longueur d'une seule période de cette espèce dans le cas des deux princi-»

pales planètes , Jupiter et Saturne. Négligeant l'action des autres , l'effet de leur attraction mutuelle serait de produire une variation dansl'excentricité de l'orbite de Saturne, de 0.08409, son maximum , 0.0^M5 , son minimum , tandis que celle de Jupiter varierait entre les limites plus étroites de 0.06036 et 0.02606 , la plus grande excentricité de Jupiter correspondant à la plus petite de Saturne , et vice versû. La période dans laquelle ces changemens s'accomplissent serait de 70414 ans. Après un pareil exemple, on concevra facilement qu'il faut bien des millions d'années pour opérer la révolution entière du cycle combiné qui doit ramener tout le système à son état primitif , en tant qu'il s'agit des excentricités des orbites.

577. Le lieu du périhélie d'une planète a peu d'importance pour son bienêtre ; mais son excentricité en a beaucoup attendu que c'est de celle-ci ( les axes des orbites étant permanens ) que dépendent la température moyenne de sa surface , et les variations extrêmes auxquelles ses saisons peuvent être sujettes. Car on peut faire voir aisément que la quantité annuelle moyenne de lumière et de chaleur que le soleil communique à une planète est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelle au petit axe de l'ellipse qu'elle décrit. Ainsi, toute variation dans l'excentricité en changeant le petit axe, altérera la température moyenne de la surface. L'article 54 5 nous apprend comment une pareille variation influencera aussi les extrêmes de la température. Or il est naturel que l'on se demande si , dans le vaste cycle cité ci-dessus , dans lequel à une époque ou à une autre , des changemens dus à diverses causes , sont susceptibles de s'accumuler sur l'orbite d'une planète , il ne pourrait pas arriver que l'excentricité d'une planète quelconque , de la terre par exemple , devînt prodigieusement grande , de manière à détruire ces rapports qui la rendent habitable pour l'homme, ou à donner lieu au moins à de grands changemens dans son état physique. Les recherches des géomèti-es nous ont mis en état de répondre négativement. Lagrange a démontré qu'il y avait entre les masses, les axes des orbites, et les excentricités de chaque planète , un rapport semblable à celui que nous avons déjà établi à l'égard de leurs inchnaisons , savoir : que si la masse de chaque planète est multipliée par laracine carrée de l'axe de sonorhiie, et le produit par le carré de son excentricité, la somm.e de tous ces produits, étendue à tout le système, est invariable ; et , comme en point de fait , cette somme est extrêmement petite , elle restera toujours telle. Or, puisque les axes des orbites ne sont sujets à aucun changement séculaire , cela revient à dire qu'aucune orbite n'augmentera d'excentricité qu'aux dépens d'un fonds commun , dont la totalité est , et doit rester à jamais , extrêmement modique.

578. Nous avons parlé, dans notre avant- dernier article , de perturbations produites dans l'orbite lunaire par la protubérance de l'équateur terrestre. L'attraction d'une sphère est la même que si toute sa matière était condensée en un seul point à son centre ; mais tel n'est point le cas pour un sphéroïde. L'attraction d'une pareille masse n'est pas exactement dirigée vers son centre , et elle ne suit pas non plus rigoureusement la loi de la raison inverse des carrés des distances. Il en résultera une série de perturbations , d'une très petite valeur totale , mais cependant perceptible dans les mouvemens lunaires , dont le nœud et l'apogée de la lune se trouveront affectés. Une conséquence plus remarquable de cette cause , cependant , c'est une légère nutation de l'orbite de la lune , exactement analogue à celle que produit la lune dans le plan de l'équateur terrestre , par son action sur la même protubérance elliptique. Et , en général , on peut observer que dans les systèmes des planètes qui ont des satelHtes , la ligure elliptique de la planète primaire a de la tendance à faire coïncider les orbites des satellites avec son équateur , tendance qui , quoique légère dans le cas de la terre, devient cependant, lorsqu'il s'agit de Jupiter, dont l'ellipticité est très considérable , et

Masses déterminées par iës perturbations.

surtout de Saturne , où l'ellipticité du corps est augmentée par l'attraction des anneaux, prédominalité sur toutes les causes extérieures et intérieures de perturbation, et produit et maintient une coïncidence presque exacte avec les plans en question. Tel est du moins le cas pour les satellites les plus rapprochés. Les plus éloignés sont, comparativement , moins affectés par cette cause , la différence des attractions entre une sphère et un sphéroïde diminuant avec beaucoup de rapidité selon que la distance s'accroît. Ainsi , tandis que les orbites de tous les six satellites intérieurs de Saturne sont presque exactement dans le plan de l'anneau et de l'équateur de la planète , celle du satellite extérieur , dont la distance à Saturne est entre soixante et soixante-dix diamètres de la planète , est considérablement inclinée à ce plan. D'un autre côté, cette distance considérable, tandis qu'elle permet au satellite de conserver son inclinaison , empêche , par une raison semblable , le double anneau et l'équateur de la planète , d'éprouver une perturbation sensible de sa part , ou de subir des mouvemens appréciables analogues à notre nutation et à notre précession. S'il en existe , ils doivent être beaucoup plus lents que ceux de notre terre ; car la masse de ce satellite ( quoique la plus considérable de son système ) est , autant que son volume apparent peut nous permettre d'en juger , une beaucoup plus petite fraction de celle de Saturne que la lune ne l'est de celle de la terre j tandis que la précession solaire , en raison de l'immense distance du soleil , doit être tout-à-fait inappréciable.

379. C'est au moyen des perturbations des planètes, découvertes par l'observation et comparées à la théorie , que nous arrivons à la connaissance des masses de ces planètes qui, n'ayant pas de satellites, se dérobent à tout autre moyen d'investigation à cet égard. Chaque planète produit une quantité de perturbation, dans les mouvemens de toutes les autres, proportionnée à sa masse, et au degré d'influence que lui donne sa situation dans le sy -tème sur leurs mouvemens. Le dernier élément est sujet à un calcul exact j le premier ne nous est connu que par ses résultats éprouvés. Toutefois, pour déterminer, par ce moyen , les masses des planètes , la théorie prête le plus grand secours à l'observation, en signalant les combinaisons les plus favorables pour dégager cette connaissance de la masse confuse des inégalités superposées qui affect(înt chaque lieu observé d'une planète; en indiquant les lois de chaque inégalité dans son accroissement et sa diminution périodiques ; et en faisant voir comment chaque inégalité particulière dépend , quant à sa valeur, de la masse qui la produit. (7 est ainsi que l'on a reconnu dernièrement que la masse de Jupiter lui-même ( employée par Laplace dans ses recherches, et intercalée dans toutes les tables planétaires), d'après les observations des perturbations qu'elle a produites dans les mouvemens des planètes ultrà-zodiacales , avait été insuffisamment déterminée , ou plutôt que l'on s'était considérablement mépris sur sa valeur, en se fiant trop aux travaux relatifs à ses satellites, auxquels Pond et d'autres astronomes s'étaient livrés depuis longtemps avec des instrumcns qui ne rcuili§§aicnt pas les qualités requises. L'on est arrivé aux mômes résultats , et l'on a obtenu à peu près la même masse , au moyen des perturbations produites par Jupiter sur la comète de Encke. L'erreur était d'une grande importance, en songeant que la masse de Jupiter est l'élément le plus puissant du système planétaire après celui du soleil. Il est donc satisfaisant d'avoir signalé ( et nous devons cela aux observations récentes du professeur Airy ) la cause de l'erreur; d'être remonté à sa source, de l'avoir trouvée dans l'insuffisance des mesures micrométriques des plus grandes élongations des satellites , et de l'avoir vue disparaître, lorsque des mesures prises avec beaucoup de soin , et avec des instrumens infiniment supérieurs , ont été substituées à celles dont on avait fait usage jusqu'alors.

580. De même que les perturbations des planètes nous conduisent à la connaissance de leurs masses , en les comparant avec celle du soleil ; ainsi les per-

m TRAITÉ D'ASTRON. - GRANDEURS APPARENTES DES ASTRES. CHAPITRE XII.

turbations des satellites de Jupiter, et celles des satellites de Saturne , nous conduiront un jour , sans aucun doute , à savoir quelle est la proportion de leurs masses avec leurs planètes primaires respectives. Le système des satellites de Jupiter a été traité avec la plus grande profondeur par Laplace; et c'est d'après sa théorie , comparée aux innombrables observations de leurs éclipses , que les masses qui leur ont été assignées à l'art. 463 ont été fixées. Il est peu de résultats de la théorie qui soient aussi surprenans que celui de voir ces petits atomes pesés dans la même balance que nous avons appliquée à la masse imposante du soleil , qui surpasse le plus petit d'entre eux dans l'énorme proportion de 65000000 à 1 !