DÉTERMINATION DU GRAND AXE DE L'ORBITE D'UNE PLANÈTE

donc inaltérables par le laps du temps. La longueur de l'année sidérale , par exemple, déduite, pour le temps où nous sommes , d'observations qui embrassent mille révolutions de la terre autour du soleil (telle, enfin, que nous la possédons) est la même que celle qui ( si nous pouvons transporter notre imagination aussi loin ) doit résulter d'une comparaison semblable d'observations faites il y a un million d'années.

56i. Ce théorème est ajuste titre regardé comme le plus important, sous ce seul rapport , de tous ceux qui ont jusqu'ici récompensé les recherches des mathématiciens. Nous nous efforcerons, par conséquent, de ne rien laisser à désirer à nos lecteurs quant à la clarté du principe sur lequel en repose la démonstration ; et quoique l'application complète de ce principe ne puisse se faire d'une manière satisfaisante sans entrer dans des détails de calcul incompatibles avec notre plan , il nous sera facile de les conduire au point où l'on doit aborder ces détails , et de leur donner un aperçu général qui ne laisse aucun doute sur les résultats qu'amènerait un travail complet.

565. C'est une propriété du mouvement elliptique , opéré sous l'influence de la gravitation , et en conformité des lois de Kepler, que si la vitesse avec laquelle une planète se meut , à un point quelconque de son orbite , est donnée , ainsi que la distance de ce point au soleil , le grand axe de l'orbite est par-là même donné aussi. Peu importe dans quel sens la planète se meut en ce moment. Cela fera varier l'excentricité et la position de son ellipse, mais non sa longueur. Cette propriété du mouvement elliptique a été démontrée par Newton , et est une des conséquences les plus manifestes et les plus élémentaires de sa théorie. Considérons maintenant une planète qui décrit un arc indéfiniment petit de son orbite autour du soleil , sous l'action combinée de ce dernier et de la puissance perturbatrice d'une autre planète. Cet arc aura une certaine courbure et une certaine direction , et , par conséquent , peut être considéré comme l'arc d'une certaine ellipse décrite autour du soleil comme foyer , par cette raison simple que , quelles que soient la courbure et la direction de l'arc dont il s'agit , on peut toujours déterminer une ellipse dont le foyer est le soleil , et qui coïncide avec cet arc dans toute l'étendue de celui-ci ( supposé indéfiniment petit ) entre ses points extrêmes. Ceci est du ressort de la géométrie pure : il ne s'ensuit pas , toutefois , que l'ellipse, ainsi déterminée pour un instant du mouvement de la planète, doive avoir les mêmes élémens que celle obtenue d'après l'arc décrit dans l'instant qui précède ou dans le suivant. C'est ce qui aurait lieu si la force perturbatrice n'existait pas ; mais son action produit une variation dans les élémens d'un instant à l'autre, et l'ellipse , ainsi déterminée , est dans un état continuel de changement. Or, lorsque la planète aura atteint l'extrémité du petit arc dont il s'agit, la question desavoir si elle décrira l'instant d'après un autre arc d'ellipse ayant ou non le même grand axe, dépendra, non de la nouvelle direction imprimée à la planète par les forces agissantes , car l'axe , comme nous avons vu , est indépendant de cette direction ; non de son changement de distance au soleil , au moment où elle décrit le premier arc , car les élémens de cet arc sont calculés pour convenir à cet axe , de manière que le même axe doit appartenir à une des extrémités comme à l'autre } mais du changement de vitesse produit par l'action de la force perturbatrice. Nous disons par l'action de la force perturbatrice , parce que la force centrale résidant dans le foyer ne peut lui imprimer un changement de vitesse qui soit incompatible avec la permanence d'une ellipse dans laquelle la planète puisse à chaque instant se mouvoir en liberté autour de ce foyer.

566. Ainsi nous voyons que la variation momentanée du grand axe ne dépend que de la déviation passagère de la loi de la vitesse elliptique que produit la force perturbatrice , sans le moindre égard à la ditection imprimée à cette ti*

tesse par la force perturbatrice , ou à la distance au soleil à laquelle la planète peut se trouver en conséquence de la variation des autres élémens de son orbite; et comme ce cas se reproduit à chaque instant de son mouvement , il en résulte que , après un laps de temps quelconque , la quantité du changement que l'axe peut avoir subie sera déterminée par la déviation totale de la vitesse elliptique originaire produite par la force perturbatrice , sans égard aux variations qui peuvent être dues à l'action de cette force dans les autres élémens , autant du moins que la vitesse n'en saurait être affectée. C'est ici que l'évaluation exacte de l'effet doit être confiée aux calculs du géomètre. lï ne nous sera pas difficile , toutefois , d'apercevoir que ces calculs ne peuvent qu'aboutir à démontrer la nature périodique et la compensation finale do toutes les variations dont l'axe est ainsi susceptible , en réfléchissant que la circulation de deux planètes autour du soleil , dans le même sens et dans des périodes incommensurables , leur assure toutes les positions entre elles de proximité et d'cloignement, et toutes les variétés d'intensité d'action mutuelle qui en sont la conséquence. Ainsi , quelque vitesse que l'action perturbatrice de l'une puisse imprimer à l'autre , dans une situation donnée , cette vitesse sera immanquablement détruite dans une autre situation par cette force perturbatrice, en vertu du seul effet de changement de configuration.

567. On voit donc que les variations dans les grands axes des orbites planétaires dépendent entièrement des cycles de configuration , comme la grande inégalité de Jupiter et de- Saturne , ou la longue inégalité de la Terre et de Vénus , ci-dessus expliquées , inégalités que l'on peut aussi attribuer à de pareilles variations périodiques dans les axes de leurs orbites. En effet, le mode suivant lequel nous avons vu ces inégalités prendre naissance , d'après l'accumulation des actions imparfaitement compensées de la force tangeiitielle , les soumet directement au raisonnement ci-dessus , puisque l'efficacité de cette force s'exerce presque entièrement sur la vitesse de la planète troublée , dont le mouvement est presque toujours dirigé dans le même sens que la vitesse , ou en sens contraire.

568. Considérons maintenant l'effet de la perturbation sur l'excentricité et la situation de l'axe de l'orbite troublée dans son plan. Ce changement de position ( comme nous l'avons observé à l'art. 51 8 ) a réellement lieu , quoique très lentement, dans l'axe de l'orbite de la terre, et beaucoup plus rapidement dans celui de la lune (art. 560) ; et c'est à expliquer ces mouvemens que nous devons maintenant nous attacher.

569. On peut se rendre raison du mouvement des apsides des orbites lunaire et planétaires au moyen d'une expérience mécanique assez élégante, qui est d'ailleurs fort propre à donner xme idée de la manière dont s'opère le mouvement dans une orbite sous l'influence des forces centrales , variables suivant la situation du corps en circulation. Suspendons un poids de plomb avec un fil d'archal ou de fer à un crochet à la base inférieure d'une poutre solide, de manière à ce qu'il puisse se mouvoir librement en tous sens autour de la verticale, et que, lorsqu'il est en état de repos , il effleure tout juste le plancher de la cha'mbre, ou une table placée à 10 ou 12 pieds au-dessous du crochet. Le point de support sera bien garanti du va-ct-vient par suite de l'oscillation du poids , qui doit être assez pesant pour tenir le fil aussi tendu que possible , avec la certitude qu'il ne cassera pas. Maintenant , que l'on imprime un fort léger mouvement au poids, non en le faisant simplement dévier de la verticale pour l'abandonner ensuite à son impulsion, mais en le poussant tant soit peu de côté. On le verra décrire une ellipse régulière autour du point de repos comme centre. Si le poids est pesant, et qu'on lui ait attaché un crayon dont la pointe soit exactement dans la direction du fil , l'ellipse peut être transportée au papier tendu convenablement pour recevoir la trace de ce crayon. Dans ces