VII. — Détermination des lieux pour lesquels s'accomplissent
les principales phases du phénomène.
Lorsque la Lune passe au devant du disque du Soleil, elle emporte avec elle, à^ occident en orient, ses deux cônes d'ombre et de pénombre dont les extrémités parcourent alors successivement différentes régions de la surface terrestre, et y laissent la trace de certaines lignes dont nous aurons bientôt à nous occuper. Bornons-nous pour le moment à déterminer la longitude et la latitude des lieux qui voient commencer ou finir Téclipse totale, Téclipse générale ou Téclipse centrale, c'est-à-dire la position des lieux pour lesquels ont lieu les premiers et derniers contacts tangentiels des cônes d'ombre et de pénombre avec la Terre, ainsi que ceux de Taxe commun des deux cônes.
Désignons par U la parallaxe horizontale de la Lune et par p celle du Soleil. Les positions apparentes de ces astres au moment d'une éclipse de Soleil sont très rapprochées et la parallaxe solaire a une très petite valeur; on peut donc considérer le Soleil dans sa position vraie et attribuer à la Lune tout TefTet de la différence 11 — p des parallaxes. Soit p le rayon de la Terre correspondant à un point quelconque de sa surface, en sorte que p(II — p) représente la parallaxe qui convient à ce point. Comme, dans ce qui va suivre, nous aurons à considérer cette parallaxe relative pour un lieu inconnu, nous pourrons prendre d'abord pour p la valeur qu'a ce rayon à la latitude moyenne de 45°, sauf à recommencer les calculs avec le rayon correspondant au lieu ainsi déterminé, si les latitudes obtenues diffèrent beaucoup de celle de 45"*, pour laquelle nous prenons p (•). Ainsi nous écrirons généaalemcnt
(•) La Table IX, que nous donnons à la fin de ce Volume, facilite ce calcul en f«»urnissant pour chaque degré de latitude géocentrique / la valeur de p correspondanlc.
2o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Cela posé, soient P [fig* ap) le pôle nord de la sphère céleste, NN' l'orbite relative de la Lune, S la position du Soleil supposée fixe, SS| = n la perpendiculaire menée du centre S àPorbite relative ou la plus courte distance des centres des deux astres, C le point où se trouve la Lune au moment de la conjonction en ascension droite, et CS la différence des déclinaisons à ce moment, différence que nous désignerons par d. Supposons que L et L' représentent les positions de la Lune lorsque la distance des centres, au moment du premier et du dernier contact, est égale à une certaine valeur
Fig. 29.
que nous représenterons par A', et soit à ce moment LS = L'S = A la distance vraie correspondante. Appelons de plus Z et 2! les zéniths des deux lieux de la Terre qui, au moment des contacts, voient les centres des deux astres à la distance A', zéniths qui doivent être respectivement dans le prolongement des arcs SL et SL' pour que le plus grand effet de la parallaxe II puisse se produire. En désignant toujours par p la parallaxe horizontale du Soleil et par d son demi-diamètre, on aura pour le contact de Tun ou de l'autre bord du disque de la Lune avec le bord le plus rapproché du Soleil
ZS = (9o*'-/i)-i-rf,
et, pour le contact de l'un ou de l'autre bord du disque de la Lune avec le bord le plus éloigné du Soleil,
ZS = (90**— />) — c?.
Au moment du contact des deux centres, on aura
ZS = 90** — p.
Maintenant, comme au moment des différents contacts ZS dif-
fère très peu de 90**, on voit que la phase commencera avec le lever du Soleil et finira avec le coucher de cet astre. Et il est évident que pour ces instants le demi-diamètre apparent de la Lune ne différera pas sensiblement de son demi-diamètre horizontal et qu'ainsi il sera toujours permis de confondre le premier de ces éléments avec le second.
La distance vraie SL des centres étant représentée par A, et celle apparente par A', on a, entre ces quantités et la parallaxe horizontale relative de la Lune, que nous avons désignée par P', la relation
en estimant comme positives les distances comptées de S vers L.
Examinons plus particulièrement les valeurs que prend cette relation aux différentes phases du phénomène :
1^* Lorsqu'un simple contact extérieur a d'abord lieu, on a
0 étant le demi-diamètre horizontal de la Lune; par conséquent,
2" Lorsque c'est un contact intérieur qui a d'abord lieu, A= 0 — d\ et suivant que 0 >- rf ou 0 <[ ^, une éclipse totale ou annulaire commence sur la Terre avec A'= 0 — rf ou 1'= d — o.
Soit 0 >> ^, une éclipse totale commence sur la Terre quand
Si 0 <; cl^ une éclipse annulaire commence sur la Terre quand
3" Enfin, lorsque le contact des centres a d'abord lieu,
donc, dans ce cas, une éclipse centrale commence sur la Terre
quand on a
Soient actuellement, pour l'époque de la conjonction en ascension droite,
D la déclinaison vraie de la Lune;
SuccBON . — ^sir. pnte, i \
210 TROISiâMB PABTIE. — CHAPITRE II.
a la différence des ascensions droites vraies du Soleil et de la Lune, ou l'ascension droite de la Lune moins celle du Soleil;
Di le mouvement relatif en déclinaison de la Lune, ou le mouvement en déclinaison de la Lune moins le mouvement en déclinaison du Soleil;
«i le mouvement relatif en ascension droite de la Lune;
f Tinclinaison de l'orbite relative NN' sur un parallèle passant par le point G ou l'angle GSSi ;
u> Tangle compris entre la distance des centres SL et la perpendiculaire SSi à l'orbite relative ou l'angle LSSf. Cet angle est toujours compté du côté nord de l'arc SSi, en sorte que, quand NN' tombe au-dessous du point S ou quand la différence des déclinaisons CS est négative, (o excède 90**.
En se reportant à X^fig, 27, où, d'après les notations qui précèdent,
L|/ = Di, L/ = aiCOsD, LiL/ = «,
on a d'abord, par le triangle L| L/,
tangi = ^—r- y mouv. horaire dans l'orbite LLi = —. — ^.•
" «iCosD sini
On a ensuite, parle triangle LSS| rectangle en Si,
SiS = n = d cosi, LSi = n tangi.
Connaissant ainsi la valeur de LS|, on aura le temps l pendani lequel cette portion d'orbite a été parcourue, ou celui écoulé entre le milieu de Téclipse générale et le temps de la conjonction en as cension droite, en posant
/t tan^ {' /zsîni
t = r : , n — r^r = ""ri — tangi.
mouv. horaire dans J orbite Dj °
Soit
-- - Tisin* c — 36oo X — =r — >
alors, pour la valeur de t exprimée en secondes, il viendra
t = c tangf*.
Maintenant, si l'on désigne par T^ le temps du milieu de l'éclipsé, il est clair qu'on aura
T,n = temps de la conjonction -^ t.
On a encore, par le triangle LSS« {^fig* 29), considéré comme recliligne,
cosa)=-> LSi = n tangco;
d'où l'on déduit; pour le temps t exprimé en secondes, temps pendant lequel la portion d'orbite LS« a été parcourue,
T = c tangb) ; on a ensuite :
Epoque du commencement de Téclipse. . T;,, — t Époque de la fin de Téclipse T,„ -h 1
Posons PSZ = a pour le commencement de la phase et PSZ'=:: h pour la fin, ces angles étant comptés du Nord vers l'Est. Nous au-
6 = (— t*)-ha),
et comme, dans ces deux cas, le Soleil est à l'horizon (ce qui rend les arcs ZS et Z'S très peu différents de 90*^), on en conclut, par les triangles PZS et P Z'S,
cosPZ = ces PSZ sinPS,
cosPZ' -zcosPSZ'sinPS,
•7DC langPSZ
tangZPS ^ - -^-^ ,
• „„„■/' p« tangPSZ'
c'est-à-dire que l'on a, en désignant par / et f les latitudes des zéniths, par h et h' les angles horaires du Soleil au commencement et à la fin de la phase, et par cD la déclinaison au moment de la
conjonction,
sin/= cosacosCD,
tansn = . — ;r- >
° sinCD
sin/'=: cos6cos(£), tan^6
tang/i' = —
sin(£)
Dans ces formules, les angles horaires h et h' sont comptés à partir du Soleil, dans la direction de l'Est, en sorte que les longi-
ai2 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE II.
tudes des lieux qui volent commencer ou finir l'éclipsé seront déterminées en retranchant respectivement de ces angles le temps mojen de Paris (réduit en degré et minutes) qui convient au commencement et à la fin de la phase, et en observant que les différences positives indiquent des longitudes Est et les différences négatives des longitudes Ouest,
Nous allons présenter une application des formules qui précèdent à la détermination des lieux qui voient commencer et finir les diverses phases de l'éclipsé totale de Soleil du 16 avril
On déduit de la Connaissance des 7e/w/?5 les éléments suivants, exprimés en temps moyen de Paris :
18T4. 16 arrll.
h ni s
Temps de la conjonction en ascension droite 1 .26.2^,5
Ascension droite de la C ^t du O '•37.47>94
Déclinaison de la (£, au moment de la conjonction. ... 9. 1 3. 40,2 B
Déclinaison du Q au moment de la conjonction 10. io.5|,5 B
Mouvement horaire en ascension droite de la C^ 84.26,9
Mouvement horaire en ascension droite du © 2. 18,9
Mouvement horaire en déclinaison de la C 16. Î5, | B
Mouvement horaire en déclinaison du Q 53, 1 B
Parallaxe horizontale équatoriale de la (C 61. 12,8
Parallaxe horizontale équatoriale du Q 8)9
Demi-diamètre vrai de la (C 16.42,4
Demi-diamètre vrai du Q 1 5 . 57 , 8
On a ensuite
Calcul de d, ai, Di et P'.
Déclinaison de C- • • ' 9.13.40,2 Mouvement horaire en
Déclinaison du O- •• • -to. 10. 54,5 ascension droite de
Mouvement horaire en ascension droite du 0. 2.18,9
Mouvement horaire en , ^ Parallaxe horizontale éq..
déclinaison de la (C* -i-i6.55,4 de la C 61.12,8
Mouvement horahx en Parallaxe horizontale éq..
déclinaison du Q. • • ^" 'y^^i du Q 8,9
D; -H16. îij3 Parall. cquat.relat.de la C. 61. 3,9
PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LVNE ET DE SOLEIL. 2l3
logÔi'S' 3,5639i
log nombre constant . . 9,9992g
logP' 3,56323
Calcul de Tm (temps du milieu de V éclipse),
D; -- 16. 2,3 logDi 2,98331
ij 32. 8,0 logai 3,285ii
logcosD 9,99435
log tangi 9,70^^4
log cos i 9 , 95o56
log n 3,48640—
logn 3,48640—
logsin/ 9,65441
log nombre constant 3,5563o
6,69711 — — logD, 2, 9833 1
log c 3,71 38o
log tang i 9 ,7o385
log^ 3,41765
Cf 1 . 26 . 2 {
Temps du milieu de l'éclips^ T,„. 2. 10.00
Position des lieux qui voient commencer et finir V éclipse centrale
et heures de ces instants.
On doit prendre ici P' = 6(/58" ■= A; dès lors on a
lo-/i 3,18640—
lo-A 3,50324--
i'i 146**, 53' log cos tu.... 9,92*316 —
loglang(o... 9,81390 — / —26.49.24
loge 3,7i38o (0... 146. 55.00
b^gT 3,52770 a... —173.44.24
TROISIEME PABTIE.
