CHAPITRE VI

PRÉDICTION DES PHÉNOMÈNES RELATIFS AUX DISPARITIONS PÉRIODIQUES DE L'ANNEAU DE SATURNE.

I. — Disparition et réapparition de Tanneau de Saturne. Détermination des éléments qui fixent sa position.

La figure sous laquelle Tanneau de Saturne nous apparaît est celle d'une ellipse lumineuse dont le petit axe varie selon le degré d'obliquité sous lequel on l'examine, et qui s'aplatit de plus en plus jusqu'à disparaître entièrement à certaines époques. Cette disparition qui se reproduit deux fois durant la révolution de Saturne, c'est-à-dire à des intervalles de quinze ans, peut avoir lieu de trois manières différentes :

i** Lorsque le plan de Tanneau passe par le centre du Soleil, car alors l'anneau n'est plus éclairé que par sa tranche dont l'épaisseur est trop petite pour nous rendre perceptible la lumière qu'elle réfléchit.

2" Lorsque le plan de l'anneau passe par l'œil de l'observateur, puisqu'il ne voit alors l'anneau que par son épaisseur.

3" Enfin lorsque le plan de l'anneau passe entre le Soleil et la Terre, car alors la surface éclairée n'est pas tournée vers nous et devient par conséquent invisible.

Soient

Qla longitude moyenne du nœud ascendant de l'anneau sur récliptique

à rinstant t ; N la longitude moyenne du nœud ascendant de Tanneau sur Téquateur ; i rinclinaison moyenne du plan de l'anneau sur l'écliptique ; I l'inclinaison moyenne du plan de l'anneau sur réqualeur; 0) Tobliquité de l'écliptique ; a. l'ascension droite géocenlrique de Saturne ;

3o4 TROISIEME PARTIK. — CHAPITRE VI.

8 sa déclinaison gcocentrique ;

X la longitude hélîocentrique de Saturne;

P sa latitude hcliocentrique ;

a le grand axe de Fanneau à la moyenne distance de la planète;

A la distance de la Terre à Saturne ;

r la moyenne dislance du Soleil à Saturne ;

p l'angle de position de la partie inférieure de Fanneau ou l'inclinaison du

demi-petit axe nord de l'anneau sur le cercle de déclinaison : cet angle

est positif à Xest et négatif à \ ouest; a! la grandeur apparente du grand axe de l'anneau extérieur; b' la grandeur apparente du demi-petit axe de cet anneau ; a", 6' les mêmes angles qui se rapportent à l'anneau intérieur; /, /' les hauteurs de la Terre et du Soleil au-dessous du plan de Panneau

vu de Saturne. Ces angles sont positifs au nord et négatifs au sud.

Dans le triangle sphérique PST formé parle pôle S de l'anneau, celui P de Téquateur et le lieu T de la Terre vu de Saturne, on a SPT = a — N— 90", PT^9o"-{-8, ST = 9o"— /, VTS=p, PS = I ; on a par suite

/ cos/sin/> = sini cos(a — N), (1) .' cos/cos/> = cosi coso -H sini sino sin(a — N),

( sin/ = sin I coso sin(a — N) — cosisino,

expressions dans lesquelles I et N sont données par les relations

suivantes :

Isin I sin N = sin i sin Q, sini cosN = cosi sinto -f- sinicosco cosQ, cosi =cosecos(o — sine sin oj cosQ.

On a aussi (3) sin/'= sini cospsin(X — Q) — cosi sin p.

Quant aux valeurs de i et de Q, on a, d'après Bessel [Astron. iVrtc/i..n«274),

( Q = 166° 53' 8',9-J- 46''4G2(/ — 1800), ^^ I i = 28"io'4f,7— o'35o(r— 1800).

Les autres éléments a', è', «", b" qui, avec /?, / et l , fixent la position deTanneau, se déterminent à Taide des relations suivantes :

(5) a=^y b'^a's'inl, ~=o,665, ~=o,665,

DISPARITIONS PÉRIODIQUES DE L*ANNEAU DE SATURNE. 3o5

relations dans lesquelles

(6) r = 9,54301, a = 39',3o8, logar = 2,57416.

II. — Transformation logarithmique des formules qui précèdent.

On peut transformer les formules (i) et (2) en d'autres plus

commodes pour le calcul logarithmique. En effet, si Ton pose dans

les secondes

( ksino = sin i cosQ,

( k ces cp = ces t,

d'où

^ sin tcopQ

sin 9 et dans les premières

iXrsinQ = sini sin(a — N), ^A:cosQ = cosi,

d'où

, sin I sin (a — N)

sinQ on obtient

sinI sin N = sintsinQ, cos/sin/? = sinI cos(a — N),

sinI cosN = A:sin(«p-+- (o), ces / ces/? = A: ces (Q — 8), ' cosI = A:cos(^-+- (o), sin/ = A: sin (Q — 8);

par suite, on a

tangcp =tangtcosQ,

I * w tanff(o-4- (o) (j) \ cosN

., sin© ^

tangN = -T—. rtangO.

tang Q = tang I sin (a — N ), (^) , tang/ = tang (Q — 8) CCS/?,

cot(a — N) . tang/? = )— ^ sinQ.

°"^ cos(Q — o> ^

Comme vérification du calcul, on peut employer les relations suivantes :

(5) sin? sinicosQ sinQ sinTsinÇa — N)

sin(cp-t-(o) cosNsini' cos(Q — S)"" cos/cos/> ' SoucBOX. — Astr,prat, 20 '

3o6 TROISiéME PARTIE. — CHAPITRE VI.

obtenues par la division des équations

Arsintp = sînicosQ, ArsinQ = sînlsin(a — N),

sini cosN = A:sin(<p-t- w), cos/cos/? = A:cos(Q — S).

La valeur de /' fournie par l'équation (i) est l'un des éléments qui fixent la position de l'anneau de Saturne. On peut la déterminera l'aide de cette même équation (i) ou bien en faisant usage des relations suivantes, qui en sont une transformation bien simple :

sinâ /*"•«<?= cospsin(X-Q)'

. „ sinpsinfi — ç) sin / = — r-^^ 1-' .

Lorsque / et /' sont de même signe, la Terre voit la surface éclairée de Tanneau et cet anneau est visible; il est invisible lorsque / et /' sont de signes différents, car alors une des faces de l'anneau se trouve tournée vers la Terre et l'autre face vers le Soleil.

IIL — Application numérique.

Appliquons les formules qui précèdent au calcul, pour le g janvier 1881, des éléments/?, /, /', a', b', (f, b" ,

On déduit de la Connaissance des Temps j pour cette date,

ot = 21» 36' 1 3', 8 = 6° 22' 43', log A = 0,96346, 0) = 23*^27' 16';

on a, par suite,

log tangi 9,72880 -h

log cosQ 9i99o3o —

log tang<p 9w^9io —

lofcsino 9,66646-+-

, . ^ r\ Vi'x^-x tang(©-+-(o) 8,86458 —

logtangQ 9,33oo3— ^ '^ '

logcosN 9,77292 —

8iii(«>-Hœ) 8,86342-+- lûgtangl 9,09166-f-

-; taagN o, i33o7 —

DISPARITIONS PI^RIODIQUES DR l'aNNEAU DE SATURNE. Soy

a — N io4»45' 9*

logsinQ 9,07349-+-

*^^^*"Sl 9,09166-+- logcot(a — N) 9,42o5o-t-

logsin(a — N) 9,98545—

log tangQ 9,0771 1 — log cos(Q - 0) 9,98839 —

Q I73°ii'23"'

Q — a i66«48'4o' ^^g ^^^^P 8,5o56oH-

log tang(Q — ô) 9»36985 -h

log cosp 9,99978 —

log tang/ 9,36963

/ — i3°ii'

logar 2,57416 loga' 1,61070

log A 0,96346 logsin/ 9,358o6 —

loga' 1,61070 log 6' 0,96876 —

a'=4o',8oxo,665 = -h27',î3, 6' = — 9%3i X o, 665 = — 6', 19. Pour l'époque que dous avons choisie dans notre exemple, on a X = -T- 28^25' i5',o, p = — 2°28'38%4, À — Q =— i39°3o'37'; on a donc (équ. 6, § II)

logsin(A— Q) 9,81246— O r

9,8i2o5 — logsin? 8,63571 —

logsin(t — (p) 9,61537 H-

8,25io8 — logsinç 8,82270 -f

log tango 8,82366-1- , . ,, , „«„

^^ ^' /Qo,Q./Qr logsin/' 9,42838-

RÉSUMÉ DBS FORMULES CONTENUES DANS LES PARTIES II ET III. 3o9