III. — Parallaxe de longitade et de latitude

Les calculs à Taide desquels on parvient à évaluer ces arcs sont les mêmes que ceux relatifs aux parallaxes d'ascension droite et de déclinaison ; seulement il se présente ici une difficulté qui tient à ce que la position de Técliptique change continuellement de place à l'égard de Thorizon. Il convient donc avant tout de déterminer cette position pour un instant quelconque^ et c'est ce qne Ton peut faire très simplement en cherchant le point de la voûte céleste qni se trouve actuellement au zénith, ou, ce qui revient au même, le point de l'écliptique qui est le plus élevé sur l'horizon, c'est-à-dire le nonagésime.

Soient donc {fig' 7)

n le pôle de l'écliptique ; P celui de l'équateur; Z le zénith du lieu dont la latitude est /; HR l'horizon; PZH le méridien ;

nP = Cl) l'angle qui mesure l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur.

Supposons en outre que a représente le lieu vrai de l'astre et à son lien apparenU Si par ces deux points on mène les cercles de

latitude Ub, Ub', yb sera la longitude vraie, yb' la longitude apparente, ab la latitude vraie, a' 6' la latitude apparente^ et les différences T^' — t6 = alla', aé — a!b' exprimeront respectivement

ce que nous avons appelé les parallaxes de longitude et de latitude, ou les angles (^ — J^) ^^ (^'— ^)-

Or, si l'on remarque que la longitude tN du point N ou du nonagésime est la même que celle du point Z qui est au zénith, et que sa hauteur sur Thorizon, ou Tare NM est le complément de ZN ou de la latitude du zénith, on voit que la position du point du ciel qui se trouve actuellement au zénith sera déterminée pour un instant quelconque, lorsqu'on connaîtra, pour le même instant, la longitude tN = n du nonagésime et sa hauteur sur rhorizon, ou l'arc NM = Ç. Cherchons donc ces deux coordonnées n et Ç. Soit pour cela s l'heure sidérale ou l'arc T/>i heure que nous supposerons connue; VsLVcpç sera le complément de s, car pçz=ifç — irp 1= go° — s, et l'on aura ZP II = 1 80° — ZP ç = go^-{-s. Dans le triangle PIIZ on connaîtra donc, outre le côté PII = co, celui ZP = 90 — /et l'angle compris ZP 11 = 90*» 4- 5; par suite, on aura, pour déterminer l'angle ZnP=r Tu — TN = 90" — n et lecôténZ = Ç,

C0S5 tang/i =: tang/sino) + cosa>sin5, cos î = cos a> sin / — sin o) cos / sin 5,

ou bien, en posant

(I) tangO =

tang/

/ sin(6-f-to)

\ tangn = tang. ^.^^ ,

(cosT = sin/ -,

cosO

COS(0 -H to)

4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

Ces coordonnées /i et ^ une fois déterminées, oh obtiendra les expressions de (.Ç' — JÇj) et de (X' — X) en remplaçant dans les formules (4), (5), (6), (il), (i2)et(i3) du paragraphe précédent l par 90° — Ç, (E) par X et substituant pour h la différence des longitudes ^ — /i. On aura ainsi, pour les formules relatives à la parallaxe en longitude, (3) ^^^sinnsin;

cosX

(4) d'où

pr__ P 4^tsin(41— n) ^ <i^tsin2(.Ç^— /i)

sin I 2 sin I

Relativement à la parallaxe de latitude (X' — X), on aurait

^^-/i-+-^jtang;

cos (6) cotx= —

cos

(7) '^1 = : ^sm(y — A),

(8) tang(V— X)= — ? ^-^^ V:»

d'où

(X'— X)= "^«^'"(X — ^) I TÎsin2(x — X)

sin r 2sinr

et ici, comme au paragraphe précédent, on pourra, dans les développements de (^ — 4L) et de (X' — X), s'en tenif aux premiers termes lorsqu'il s'agira des astres, tels que le Soleil et les planètes; mais, pour la Lune, dont la parallaxe peut atteindre 1°, il sera nécessaire d'avoir égard aux termes du second ordre et même à ceux du troisième.

IV. — Correction que rellipticité de la Terre apporte dans le calcal des parallaxes. Expression de la parallaxe horizontale équatoriale.

Des mesures géodésiques entreprises en différents lieux de la surface de la Terre ont montré que notre globe avait la forme d'un

ellipsoïde de révolution autour de son petit axe ou de la ligne des pôles. Si donc A représente le demi-grand axe de l'ellipse raéridienne, B son demi-petit axe, e son excentricité et [x Taplatissement, on aura

et par suite

= 1 — /i — e*, e = /îi(x — [x-*.

Bessel a conclu, en 1841 y les éléments suivants, qui sont les plus exacts que nous possédions :

logA = 6,8046436, logB = 6,8031894, d'où

Iog|x = 3,5241069, loge = 2,91 22o5o.

Fig. 8.

Dans la théorie des parallaxes, il est souvent nécessaire de connaître l'angle CMX = i {fig* 8) que fait le rayon de la Terre CM avec la verticale MZ du lieu M, à la surface de la Terre. C'est cet angle qui, retranché de la latitude apparente ou astronomique /=MXN, donne la latitude vraie ou géocen trique MCA = /'. Voici comment on peut le déterminer.

Désignons par^r étales coordonnées du point M rapportées aux deux axes rectangulaires CA, CB passant par le centre de la Terre ;

4a PREMlèRE PARTIE. — CHAPITRE III.

nous aurons, d'après les propriétés de l'ellipse,

A«^t-+- B»x*= A«B«, tang/= -|^, lang/' = ^,

fy se 3v

et par suite

lang/ = ^ tang/.

En remarquant que i = / — /', nous aurons donc

, „ tang/ — -T-itanff/

tan«:/ — tanff/' ^ A» ^

tange = ^ =

^ i-htang/tang/' H« .,

^^ ** i-h — tang«/

(A«— B«)tang/ " (A*-+-B«)tang«/

(A«— B«)sm2/ "" 2A«--2(A«— B«)sin»/

rA«— BMsina/

(A«-i- B*)-+-(A«— B«)cos2/

c'est-à-dire

msina/

tangr = ,

i-h mcosil

expression dans laquelle

A«— B« 2fx — ML»

A» -j- B* 2 — - 2 fX H- |X«

Cette valeur de tangi se développe en série convergente, comme nous l'avons vu au § I, et donne

i = m sin 2 / — f m* sin 4 / -H . . . ; à Paris, on a

i = ii'46',4, /'= 48'»38'27',6.

Il existe d'ailleurs des Tables à l'aide desquelles on peut trouver / en fonction de /.

Cherchons actuellement l'expression du rayon terrestre R pour une latitude quelconque /• On a

on a d'ailleurs

A«j^«-f. B«ar«= A«B«, B*a?« lang»/ = A*/»,

relations qui deviennent, en remplaçant B^ par sa valeur A- (1 — p.)'^, ^«-4- (i — |jL)«ar« = A«(i — jjl)*, j^« = (i — |jL)*a:« tang»/.

Éliminant 0?' et j^^' entre ces deux équations, on obtient

x*= ;, r*= w(i — ï*)*tang*/;

par suite, on a

R«= —^ ^^[, + (i|x)*tang«/].

i-h^i— jjL)«tang»/^ V r/ t> j

Cette expression, étant développée en série, donne

R = A(i-- fjLsin*/-+-|(A*sîii«a/-4-...)> d*où

A — R = A(|jL8in«/ — |(A*sin«a/— ...);

c'est Texcès du rayon équatorial A sur tout autre rayon terrestre. La longueur du rayon R étant ainsi déterminée pour une latitude quelconque l^il est facile d'en conclure la parallaxe horizontale n, qui se rapporte à cette latitude. Il suflBt en effet, pour cela, de remplacer dans les formules du § I, savoir

8inII = -7 ou ll = —>

R par sa valeur A(i— [jisin*/4-| p^^sin^aZ-i-...). On obtient de la sorte

n = — (i — p.sin*/-f-| jJL*sin*a/-f-...),

ou à très peu près

n = ^(i — jjL«sin«0.

Lorsqu'on suppose Z= o, auquel cas l'observateur se trouve placé sous l'équateur, l'expression précédente se réduit à -; c'est l'expression de \di parallaxe équatoriale que donne la Connaissance des Temps pour le midi et le minuit de chaque jour. En désignant par H cette parallaxe, nous aurons donc

n = H(i — uLsin*/);