I-'ig
Soient {/ig. 6)
P/Q le méridien du lieu ;
Z son zénith;
/ sa latitude;
P le pôle de l'équateur;
ZP^= h l'angle horaire vrai;
Z,Pa'= h' Tangle horaire apparent;
Pa^^A^po** — Uk) la distance polaire vraie;
V(f'z= /^'=zgo^ — dt)' la distance polaire apparente.
On a
ZPa' — ZPa — A— h — 1^ — paralluxc d'ascension droite, l'a - Pa= A'— A -. (JD — ©'-^ ACÛ ^^ parallaxe de déclinaison
Posons en outre Za = >3, distance zénithale vraie, et Zrt'=-5', distance zénithale apparente. Par la considération des triangles sphériques aPa', ZPa', on aura
sîna' PÎnaPa' sinZPa' __ sina' sinPa ~~ sin aa' sinZa' "" sinPZ'
équations qui, étant multipliées membre à membre, donnent
sin ZPa' __ sin/rPa' sin P a sin Z a' "' sin aa' sin PZ
ou
sinCA -f- AX) sinA.lU
cosCôsinV ""sinPcos/ ou bien encore, en observant que sinP = sin II sin 2',
sin^A-+-AX) __ sinAX
cosCDsin^s' "~ sin n sin V ces/' c'est-à-dire
sin(A-<- A.l.) sinA-l«
cosUb) sin n ces/
Maintenant on a, en développant, dans le premier membre de celte équation, la quantité sin(A + A»Vi), et divisant tout par
cosAiV,,
sinll ces /(sin A + ces A langAJl») = langAA>cos(D,
sinll ces/ sin /i
n) tanffAJlo= =; r— =; i r>
° cosCJk) — sinlI cos/cosA
formule qu'on rend propre au calcul logarithmique en posant
sinll cos/cosA
(■i) COS©= -rr ,
car alors il vien^
sinll ces /sin A sinll ces /sin A (}) langAJlo= -=- r =
® C0S(D(I — COSCp) /T. • • ?
^ ^ acosCDsin^ ^
Si Ton voulait avoir recours au développement en série, il suffirait de poser dans Téquation (i)
, sinll ces/ SOL'CHO?!. — j4str. prat, 3
on aurait alors
/ e V . Ai <^ sin A I • t 4^* • t
(5) tangAJ(o= — ^ 7 = <L sinA-f- — sinaA-i-. . .,
^ ' ^ i — ycos/t ^ 1
et, en prenant A«li sin i'^ au lieu de langA^, on obtiendrait
,^. . . <!;sinA ,- sin^A ,, sinSA
' sin r ^ 2 sin i ^3 sm i
série très convergente, à cause que l'arc ^ est très petit. Les mêmes triangles aPa' et ZPa' donnent encore
sinaPa' sinPa'a __ sinPa'Z sinPa'Z sinZPo'
sinaa' ~ sinPa ~~ sinPa sin(9o — /)"" sinZa'
relations d'où l'on déduit
^ , . ». sinflrt' sin(c)o — /)sinZPrt' sin P cos / sin A'
sinaPa = sin AX = . „ , . r> = — - — ? 7K — >
sin Z a sin P a sin^cosCD
c'est-à-dire en remarquant que —. — 7 = sin II,
//: I.- \ • *■ sînlIcos/sinA' , ^ • „ ? • i.r
(obis) sinA«^= = séc(D sinll cosf sinA .
^ coscô
Occupons-nous maintenant de déterminer A(D ou la parallaxe de déclinaison.
On a, par les deux triangles sphériques PZa et PZa',
„ sinCÎ^ — cos^sin/ sin CD' — cosVsin/
cosPZa = ; î = ; -, >
sin^ cos/ COS.S cos£
relation d'où l'on tire
sîn>5'(sin(D — cos^sin/) = sin^(sinCD' — cosVsin/), sin^ sin(D — sin/(sinVcos^ — cos^'sin^) = sin^ sin CD',
c'est-à-dire
sin>2' sin(£) — sin/sin(.s' — z) = sin^sinCD.
Mais
sin(V — z) = sinP = sinïl sin V;
donc
(a) sin^'(sin(£) — sin/sinll) = sin^ slnQ\
On a d'ailleurs
. ^„ cos (JD sin A cosCD' sin(A-+- AA.)
sin PZa = : = -. — ; — >
smz sinz
d'où
-,, sin z' cos CD sin h
sin^scosCD = — 7—7-7 ^ , . -
sin(A-^ AJlo)
Divisant réquation (a) par cette dernière, on obtient
, sin(D — sin n sin / . ^ , . . \
tang(£> = ^ . , sin(A -i- A^l»),
° cosûdsinA ^ '
expression qu'on peut mettre sous cette forme
sin/ sin n . sin^taneCD'
cosOt) ° sin(A-+-AA>)
Maintenant on a
^ ^, sinCÎ) sin(©' sinCDcosCD'— cosCDsinûD' langCD - tang(£) = ^^^ - ^3^ = cosCDcosCD-
sin (CD — CD') sinACD
cos (D cos (E)' ~ cos (E) cos CD"
additionnant cette équation avec la précédente, on obtient
sîn/sinll ^ /t^' sinA(D sinAtançîD'
cosdt) ° ~" cos (©cos®' sin(AH- AA>) '
ou
sin/ sin n ^ ^,\ sin A 1 sinA(D
=tang(D-ri- . ;;"\ 1
cosCD ^ L sin(A-i- Aj(o)J cosCDcos(£)'
Mais
sin/t sinCA-i-AX") — sin/t
sin(A + AA>) sin(A+AX)
AA> /, Ajio
2 sin cos ( h
sin(AH- A«^)
. ^ . /. AX\ sin A*l, cos ( h H l
sin(A-i- A^|,)cos
sin TT cos/ /, A«i.
cos (0 cos —
cos (a + :^)
On a donc
sin/ sin TT la ne CD' sin IT cos/ /, A.i>\ sinA(D
— cos ( A H ) -^ r^ -=ri y
cosoD ^ A A, V 2 / cosûOcosC©'
cosCDcos
36 PREMIÉilE PARTIE. — CHAPITRE III.
et par conséquent
sin CD' cos / cos lh-\ j
(7) sinACD = sinnl sin/cosO' — z —^
cos
On peut, dans cette expression de sinACD, écrire CD — ACD au lieu de dd' ; alors, en posant
cos (Ah j
cos(A) =
on. obtient
cos
sinACD = sinncosA(D[sin/cos(î) — cos/sinOdcos(A)]
-h sinll sinA(Jd[sin/sin(D + cos/ cos (3d cos (A)],
expression d'où Ton tire, en divisant par cos A(D,
tangACD =
I — sinlI [sin / sin (D H- cos/ cos CD cos (A)]
Mais, en considérant le triangle sphérique PZa (fig* 6), on a
sinaZ cosZaP = cosPZsinPa — sinPZcosPacosP, cosaZ = cosPZcosPa-+- sinPZsinPacosP,
et, par suite, en posant Pa = 90 — CD, PZ = 9o — /, P=(/i), nX := 90 — s, XaP= M,
cosscosM == sin/cos(D — cos / sin (D cos (A), sÎBc = sin/sin(D-4-cos/cosCDcos(A); on a donc
sinU cosECAçM
(8) langA(D=- . „ .
^ ^ I — sin n sm £
Il reste à délerminer les angles £ et M. Or, en menant dans le triangle sphérique PZa Tare ZD perpendiculaire sur Pa, on a
taiiçPD = tuiçPZcosP,
pais
siaaD UagM = lançZD = siiiPD laagP,
d'où
-, sinPD -^
tanc^M = . - . tancP.
° sinaD °
On a ensuite
tangZa = ou cotaZ = cotaD cosM.
^ cosM
Faisant PD = 8 et observant que aD = aP— 0 = 90** — (8 + (D),
on a donc
/ tangO =cot/cos(A),
' «« sin6 ...
(9) tangM=^^^^ç-p^tang(A),
^ tange = tang(6 -4- (D)cosM.
Comme
sinPD tangM __ cosPsinM cosPsinPZ sinaD ~~ tangP ~~ cosM sinP "~ cosM sinaZ
on a encore
sin6 cos(A)cos/
cos(^« -H (Jt)) ~ cosMcose
formule qui sert de vérification.
Si Ton voulait obtenir Aûd développé en série, il sufBrait de poser, dans la relation (7),
cos ( A -f- ^^^ ) col / (II) cotx = ^
cos
il viendrait alors
sinA(D = sin/sinll (cosOt)'— sinCÔ'cotx)
sinx sin/sinll . , ^,^ = -' sin(x — (0),
et, en prenant
sin/sinll sinx
on aurait, parce que (E)' = (D — AdO,
sin A(ô = T sin(x — CO -+- ACJD)
= xsin(x — 0D)cosA(î)-4- cost(x-- (D)sinA(D,
c'esl-à-dire, en divisant les deux membres par cosACD,
tang A(D = x sin(x — 00) -4- x cos(x — CD) tangAOE), d'où
(i3) tangA(0= "^^i"^/-®^
I — xcos(^;^ — (k))
Développant le second membre de cette expression et changeant tangACD en ACDsini"^ pour réduire en secondes, on aura donc
sini 2 sini isini
série dont le premier terme suilEt presque toujours pour les astres, tels que le Soleil, les planètes et les comètes; il est rare même que pour la Lune on conserve le troisième.
