I. ~ Aberration des étoiles en ascension droite

et en déclinaison.

On sait que la lumière nous vient du Soleil en 497*978, temps pendant lequel la Terre décrit, parallèlement à la direction de son mouvement, un petit arc dont la valeur, récemment déterminée par Struve, est de 20'', 44^^ (')* I' ^^ résulte que, lorsqu'un astre

est observé en A {/ig- 1 1 ), cet astre, au lieu d'être perçu suivant la direction AT, l'est réellement en AT', c'est-à-dii;ie suivant la diagonale du parallélogramme formé par le côté AT et l'arc TT' que

(' ) Strctb, Sur le coefficient constant de l'aberration. Elle a été déduite par ce grand astronome de robservation des lieux apparents d'un grand nombre d'étoiles. Voici un Tableau des valeurs de cette constante, qui ont été proposées à tliffcrcnles époques :

Delambre (par l'observation des satellites de JT) . 3o,a53

Besscl 30|Ooo

De Lindcnau 30,610

Brinckley 30,870

Bailly 30,36o

décrit la Terre en 497% 78. L'angle ATA', compris entre les côtés TA et TA', est ce qu'on nomme ïangle d^aberration, et l'on appelle constante de l'aberration l'arc TT'= 20", 4 45i, parcouru par la Terre en 8'"i8". Le mouvement de la Terre autour de son axe produit aussi une aberration semblable à la précédente et que l'on appelle aberration diurne ; mais, comme le mouvement de rotation de la Terre n'est que le -^ environ de son mouvement de translation, l'effet de cette aberration n'excède pas o", Sa pour des lieux situés sur l'équateur, où cet effet est le plus sensible, et par suile on peut, dans la plupart des cas, se dispenser d'y avoir égard.

Soit p le rayon vecteur de la Terre, que nous supposerons être aussi celui de la sphère céleste sur laquelle on projette les astres. Admettons que la vitesse de la lumière soit représentée par ce rayon vecteur, et soit ds l'arc que décrit la Terre en 497*^78, en

sorte que — = 20", 445 1.

En concevant le lieu de l'astre rapporté à trois coordonnées rectangulaires x^ y^ z ayant leur origine au centre de la Terre et dirigées, l'axe des x positifs vers l'équinoxe du printemps, l'axe des^' positifs vers le solstice d'été et l'axe des z vers le pôle de l'écliptique, on aura, X et (£) désignant les angles que forment respectivement la distance de l'astre à la Terre, et sa projection avec le plan xy de l'équateur (c'est-à-dire l'ascension droite et la déclinaison de l'étoile), on aura, disons-nous,

IX = pcos<A> cosOD, ^ = p sinXcosCD, .3 = p sinût),

d'où

et par suite

(2) rfX = — (arcÇ^ — ^d!r)cos*X.

Soient maintenant (^fig* 12)

tTT' l'orbile de la Terre supposée circulaire ;

T la position que cet astre occupe sur cette orbite;

tR l'équateur;

CALCUL DE LABERRATION.

TPuneUngenleàTTT'; ST une parallèle à cette tangente ;

X, Y, Z trois axes rectangulaires menés par le centre du Soleil et parallèles à ceux x, y^ z.

On aura, pour les cosinus des angles a, 6, y que forme avec les axes des X, Y, Z ou des x^ y, z la tangente à la courbe ou l'arc dsy

dx f ày

cosa=-T-> coso = ~-> c^^ï = :^ '

dz d$

et par suite, pour la valeur ci-dessus de e/X,

ds dA> = — (cosô — cosa tange^) cos^X,

équation qui, en y substituant pour x sa valeur (i), devient

dA> = ao% 445 1 ( cos 6 008 fX> — cos 9 sin «\> ) séc (D.

Occupons-nous de la détermination de d(S^, La troisième des équations (i), différentiée, puis divisée par dsy donne

dz rfo sin (D -4- 0 cos (D d(Vi

d'où Ton tire, en ayant égard aux équations (3),

(4) d(^ = 2o',445i (cosY — ^ sin(Dj sécCD.

On a d'ailleurs

p« = a7*-+-/'-4- 5' et pdp = xdx-î-ydy -h zdzj

en sorte que

dp X dx y dy z dz ds p ds p ds p ds

et, si dans cette expression de -^ on substitue pour -r-» ^» -j-

leurs valeurs (3), et pour x^y^ z leurs valeurs (i), puis qu'on porte la valeur qui en résulte dans l'expression ci-dessus de rfcD, on obtient

(B) d(Q = — [cosYCosdO — sin(D(cosJioCOsa-+- cos6sin-i>)].

Ces formules (A) et (B) expriment les variations survenues dans Tascension droite et la déclinaison par reflet de l'aberration ; elles renferment les angles a, 6, y que nous y avons introduits par leurs cosinus, mais rien n'est plus facile que de les en éliminer.

En eflet, considérons le triangle sphérique tRT' (Jig» 12), dans lequel

YR-90^ YT'=rST'=a, RT'=rSR = 6, TyR = w;

on a y par ce triangle,

(a) cos6 = sinacoso).

On a ensuite, en considérant le triangle que forment les points y y T' et celui où l'axe des z vient rencontrer la sphère céleste,

(b) cosY = sinacosti).

Maintenant, i^ désignant la longitude héliocentrique de la Terre

ou l'angle PST, on a

a = 90°-f- Vy

et comme, eti appelant © la longitude du Soleil,

on en conclut

on a donc

Ces valeurs (c), jointes à celles (a) et (6), permettent d'efl*ectuer l'élimination que nous avons en vue. En eflet, par la substitution des valeurs (a) et (b) dans les équations (A) et (B), et eu égard à celles (c), on trouve

dtX> = — 2o*',445i (sine.l> sinQ-^ coscocos.i.1, cosO)séc(î), (a) { d(Q = — 2o',i^'Jï(coSfXsinQ — cosco siiial) cosO)sin(î)

— 20", 4451 sinci) cosQ cosCD,

CALCUL DE l'aberration. 65

formules qui ne renferment plus rien d'indéterminé. On les rend calculables par logarithmes, en les écrivant de la manière suivante

d'K, = — 20', 445i sinX sinO(i-+- cotX costocol©) séccD, rfcD = — 9.o%44^i sin(3b)cos&lisinO[i — (costo langX

— colcO sino) sécCO) cotO]^

car, en posant

tang^ = cot«.l> cosw

pour la première et

tang-y = coso) tang(tV> — cotCD sinco sécCD

pour la seconde, on obtient

.' d^\o = — 20*, 415 1 sinal. sinO(i-f- tangi}^ colQ) séc(£)

t ' ; - Jio , 4 i 5 1 sin -L : sec (0

• '-) . cos^

/ 7.0'. ii>r sin-l. séc(t) . , « „ , ^^ ' =^ : sinCiSo^-i- ^ -H O),

(f dii) = — 20', 445 1 sin(ôcoSel,sinQ(i — tangij^'cotO) /r , - • ,-x . sin(3 — il')

= — 20 ,44^1 sinCÔ coSaA> — ' ,,

/ 20%4r)i sinCDcosX . .^^ ,, ^, I = 77 sin(i8o°— il -i- O)*

Comme dans ces formules les coefficients de sin(i8o°4-^-f-0) et sin (180° — ij/' H- 0) représentent respectivement les maxima d'aberration en ascension droite et en déclinaison, on voit, 0 étant le seul élément qui y varie d'une manière sensible d'un jour à l'autre, que ces coefficients, ainsi que les arcs ^ et ^\ pourront être regardés comme constants pour une même étoile, ce qui facilitera extrêmement la mise en Table de ces formules.

II. — Cas où l'on tient compte de l'excentricité de l'orbite.

Les formules (a) qui précèdent ont été obtenues en négligeant les termes qui dépendent de l'excentricité e de l'orbite, c'est-à-dire en supposant cette orbite circulaire, ce qui peut suffire dans la généralité des cas, vu l'extrême petitesse de cette excentricité. Si l'on voulait cependant, pour des calculs plus précis, en tenir compte,

Sovauts.— y4sir. pra!. 5

voici par quelles considérations on serait conduit aux formuler complètes.

En désignant par çp Tangle que la tangente à l'orbite forme avec le grand axe de cette courbe et par x eiy les coordonnées hélioccnlriques de la Terre rapportées aux axes de cette orbite, on a

dy tango = 5^,

et, comme

(i* étant la longitude héliocentrique de la Terre et tîj la longitude héliocen trique du périhélie de Torbe terrestre), il en résulte

sin(f — m) do -^ o cosfr — m) dv

lanfiTo ^= •

^^ cos{v -rn) dp- psin{ç -Tn)dç

On a d'ailleurs d'où ainsi

e cos(i^ -

ne(i -

- e*) sin('f

--w)dv

iprtû

e -^ cosCf -

-ra>

— sin(p - - m)

Maintenant, si Ton suppose l'excentricité de l'orbite nulle, auquel cas

tang^p = — cot(i» — w)y

on aura

Mais,0| désignant la différence entre cette valeur et celle qui convient au cas d'une orbite elliptique, différence qui est toujours une très petite quantité, on a

? = 90**— t' — CD — o,, et par suite

tansG = — :

On a donc

e sinCi» — m)

tan^Oi= •

'^ • 1-^ ecos(v — w)

Comme la différence f 1 est du même ordre que l'excentricité Cj

CALCUL DE l'aberration. 67

on peut développer celte diflcrence suivant les puissances de e, et, en se bornant au premier ordre, on a

Mais

donc

a = 90*-f- i' — « sin((' — m).

Au lieu de i* et ïït, il est préférable d'introduire dans les calculs la longitude du Soleil Q et celle II du périgée, quantités qui sont immédiatement fournies par les Tables; dès lors, et en remarquant que r et m sont liés à 0 et II par les relations

r =0-180", ro=n — 180", on obtient

OL =-- Q - 90-- e s'miQ -II),

et telle est la valeur de Fangle a qui doit être substituée à celle du paragraphe précédent dans le cas que nous considérons. On en déduit, pour les valeurs de sina et cosa, analogues à celles (c) du même paragraphe, et qui servent à opérer dans les formules (A) et (B) l'élimination de cet angle,

sina = — cosQ — ^ sinOsin(0 — '')> CCS 2— sinQ -tfcosQsin(0 — H)»

par suite, on a

dX = — 20', i45i séc(D(cos(i)cosAcosO-^ sinAsinQ^

-- e coso) cos^l, cosn -+- e sin^V sinll,

'* ^ \ ddd = — 'Ào'jii5i sin(JD( — cos to si nXcosO -f- ces A» sinQ

— e COSO) sin Jl> cosll h- e cosX sinlI -:io',JJ5i cos(D(sin(ocos0-+- «sincocosll).

Ce sont les formules cherchées.