IV. — Nntaiion solaire et lunaire en ascension droite

et en déclinaison.

En n'ayant éga'd qu'aux termes en Q, c'est-à-dire en posant

Afa) = 9', 223 1 cosQ,

(') Voici du reste une démonstration directe de ces formules, fondée. sur des considérations purement géométriques.

En conservant les mêmes dénominations que dans le texte, on a, par les principes (le la Trigonométrie sphérique,

(i) sinOd = sinwcosX sin4^+ cos<i> sinX,

^ a tangX sinu + sin-Ç cosfo

(7) UngA> = — -^= .

cos-^

Considérons d'abord la première de ces équations. L'effet de la nutation, nous l'avons dit, est de produire une petite augmentation dans la longitude de chaque étoile et de faire varier un peu l'obliquité w de l'écliptique. Comme ces variations sont suppofées fort petites, nous pourrons les calculer séparément et les ajouter ensemble. Supposons donc, en premier lieu, que l'obliquité w ne change pas, et appelons -Ç! ce que devient ^ par l'effet de la nutation ; soit, d'ailleurs, CD' la nouvelle valeur de CD qui en résulte : nous aurons

sinCD' -— sinu cosX sin4^' ~\- cosu sinX,

équation qui, étant combinée avec celle (i), donne

sinCJ^'— sinCD - sinwcosX(sin4^— sin4il) on

5ini((D'- CD) cosi((D'-f- (D) ^ sine» cosX[sin|(41' O cosi(<l-f- 4L)J.

1^ différence des longiludcs, ^" "C' 'C' ^^^ ^^ ^"^ nous avons appelé la nutation en longitude et désigné par A^; CD'— (D est la nutation en déclinaison, que nous avons représentée par d(X>'j ainsi

sin cosnw -1- -- — I = sina> cosX sin — ^ cosi 4^.^ — r^j*

Comme les arcs c/cD et A^ sont très petits, on peut substituer le rapport de ces arcs à celui de leurs sinus, et, en se bornant aux premières puissances de ces variations.

ce qui est bien suffisant lorsqu'on s^en tient aux centièmes de seconde, on obtient, pour la natation lunaire en ascension droite et en déclinaison, co ayant toujours la valeur que nous lui avons supposée,

IdA^ = — 9*, 223 1 cosrl> tangCD cosQ — (i5', 8148 -4- 6", 865o siiie,lo tangCD) sinQ, d(\^ =-h 9', 223i sinXcosQ — 6', 865o cos nli sinQ.

Quant à la natation solaire, qui dépend de la longitude du Soleil O, elle est déterminée en prenant simplement

Aa) = o', 5509COS2O.

A^= — I*, 2692 sin2 0.

on aura

^ A-(l sinw cosX cos^

rosCIfe)

Cette expression de d6t^ se simplifie encore par la considération du triangle sphé-

rique PllS {Jig. i), dans lequel II P S — 90» -f- «^ et PIIS — go»— 41- On en déduit en effet,

sinJ^S sinPnS cosCO cos^

sinlTS ~" sinllPS cosX ~ coso'V '

valeur qui, substituée dans l'expression de dOdf donne

{a) c/(© = A^ sino) cosA.

Occupons-nous actuellement de déterminer de,\o ou la nutation en ascension droite, et pour cela considérons la seconde des formules (i), savoir

. tangX sinw -4- sin4i* cosu)

taugJW. = ^^ ,

cos-^

■Çj représentant toujours ce que devient 41 par l'effet de la nutation; on aura, en appelant A/ la valeur de tX> correspondant à celle de 41' »

,, taneX sinw -f- sin4!*'cos(o tang^l,' = -r-^ ,

cos^l et par conséquent, en retranchant ces deux équations Tune de l'autre,

tange^'— tang«\> = — tangX sinfc)(cos41— cos41) -î- cosw sin(4^— 4^),

c'est-à-dire, en mettant pour cos41 — cos4^sa valeur trigonométrique,

sin ( Jio'— ft^) __ atangX sino) sinT(4!'-f- 4^ )sin4-(41[ — 4^ ) -*- sin(.C' — ^ ) cosia cos «\, cos ai»' r()s41<'«>s41'

*)X>' — oi* est la nutation en ascension di^oite que nous avons représentée par d-X*^

UKI'LACEMENT DES PLANS DE l'ÉQUATEUR ET DE l' ÉCLIPTIQUE. 5y

d'où résulle

(c/eV — — o', 5509 cos^l, tangO cosa© — ( i', 1 642 ~ o', 5o54 sin ^l, lang CD) sin 2 Q»

( dG^ = -4- o', 55o9^in cl. cos5iQ — o', 5o54 cosJl» sin a©.

Celle nulallon est très faible, et ce n'est que lorsqu'on veut obtenir une très grande précision qu'il est nécessaire d'y avoir égard.

et, comme elle est extrêmement petite, ainsi que 41'— -C» on peut se borner aux premières puissances de ces quantités et, par suite, substituer aux rapports des *inus relui des arcs; si, de plus, on pose 4^= ^, Jlo — X', on aura

, A^ cos*«»A'(— tangX sino) sin-t^-h coso))

cos»4^

ou, en mettant pour cos41 sa valeur ci-dessus,

. 1 A-C ( — sinX cosX sinw sin-Q -f- cos'X cosw)

cosHO

Mais, d'après la première des équations (i),

sinw cosX sin4^— sinCÔ — cosw sinX;

donc

,, A-Ç (— sinX sinCD -4- cosw) ««yv» =r .

cos»(V) Maintenant, si pour éliminer X on remplace sinX par sa valeur

coso) sinCO — sinto cosCD sin(Jl>, déduite du triangle sphérique II PS, on aura enfin

, . a4^ f— sinCD(cosw sin(0 — sino) cosCÎ) sin<vi>) -+- costo |

cos*Ot)

A-Ç (— costo sin*(D -f- sinw sin CD cosCÎ) sin«vi> ■+- cosw)

"" cos*(Jt)

.. fcosw^k— sin^CD) , /TN • a 1

~ A-T h sin w tanc Cfc) sm X

ou

(b) é/ei> --=: A41(cosw -+- sin W tangCD sinr^.).

Dans ce qui précède, nous avons admis que l'obliquité w restait constante lorsque -^ venait à varier par l'effet de la nutation. Nous allons maintenant faire la supposition inverse, c'est-à-dire regarder 41 comme constant lorsque w varie, cl cherclier, dans ce cas, quelles sont les variations qui en résultent pour tK> et CD.

Reprenons les formules (i), lesquelles, en posant

- sin41

tanc 6 ^ -h: »

^ tangX

On rend les formules (2) calculables par logarithmes en les écrivant de cette manière,

dfXy = — 9', 333 1 coso^l) tangod cosQ

r (i5',8i48-^6',865osiiiA>tang(E))l . ^ L costtl. tangCDcosJ^ J

... » o • • of 6%865ocosal,sinQl

dOù = -+- g ,223i sinX cosy i - - -. — — ; — r ^ I >

^ L 9 ,29.3 1 sinftl> cos^J

peuvent s'écrire

sinCÔ r- sinX cos(9 — co),

igJU - <^a"g-(Ls'"(Q — *^)

tant

sino

Si Ton suppose que a> se change en a> + Au) par l'effet de la nutation, -Q et X restant les mêmes^ l'angle 0 ne variera pas, mais i\> et (D se changeront respectivement en X' et (£)', et, en ne considérant que la valeur de sinCD, on aura

. ,p., sinXcos(0 -w— Ao))

sin CW) — ^ ;

coso

cette valeur, combinée avec celle de sin(£), donne

. ^t\. • ..-A sinX[cos(e — w — Aw) -cos(e — w)] smCO -smCQ) ^ 1^^;;^^

ou

. . sin Au . A Aw\ sin A sm ( 6 — w ]

sini((D'-(î))cosi((î)'4-CD)= \: ^,

et, substituant dans cette dernière r à la place de — ^ — ; -t puis

A(i) " sin Ad)

posant (D = (Q'j X --- tl>' et A(i> = o, on obtient

(^. ,^).. Au. sin). sin (9-0.)

cos(0cos6

c'est-à-dire

fû' <T^ — ^*^ tang«l> sinX tangO

cosUt) tang^

sin (6 — u)) ayant été remplacé par sa valeur — — .

tang^;^ Si l'on observe maintenant que

sinX tangO ■-- sin4^cosX, on aura

COsCk)

nÉPLÀCEMENT DES PLANS DE l'ÉGLIPTIQUE ET DE l'bQUATEUR. 5()

car, si l'on pose

i5',8i48 -4- 6',865osinX tangtO cot o ^^^ —

^ 9% 22ii cosri» tangck)

pour la première et

cotQ>'= — î— ï — ô

pour la seconde, on obtient

l rf,l, = — 2-î : 5— SIIl(ïp -T- Q),

1 SIIl<p ^

( dilE) = — ^ : ; 811l(Q — «p'),

formules auxquelles le calcul logarithmique s'applique immédiatement.

Pour les applications, il faut toujours faire en sorte que les coeflicients qui multiplient sin(ç "H Q) ^^ sin( Q — ç') dans les valeurs de éM> et e/(D soient positifs. Or, c'est à quoi il est aisé de parvenir en ajoutant aux arcs (f -i- Q ) et ( Q — ç') une demi-

et romme dans le triangle sphériquc n PS on a

cosX cos4^= cos<v^ cos(Ô, il viendra

{a') ((£)'-(£))- AwsinX.

Relativement à la variation di^X» de Tascension droite, on a

,, tang^ sin(0 — w — A(o) tang-vV) — î^-^ ^^ -i

d'où

,, • tangX sin(8 — « -- Au)) — sin(9 — w)

tan g -A» — tang'vio — :— ,

^ ^ sm 0

et, par suite,

3 tangX cosX cosX' sin — cos(8 — « \

sin(.i,'- .1.) - ^—^ ^^ ^

Par les mêmes raisons que précédemment, on peut écrire

. , , -j Aw tang^ros'ft^ cos(6 — (o) e\> -- - t,\) = a^Ao -~- ^= — ^^ ;

mais

l'i/Xt

smo

cos

sin

aam m^

cosO

6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

circonférence ou 1 80" ; ainsi Ton a

/ j. Q ,5123 1 cosX tan ffCÎ) . , ^ „ ^

l dX = ^ . ^— sin(i8o°-f- «p H- Qh

) ^/TN q", 223i sinX . / o , r>

f dQ = ^ : — -, sin(i8o«>— ©'-+-Q).

\ sin© ^

(fi)

1^05 = 5:1^ \ sin?p'

'^ et cp' sont ici supposés positifs; mais, s'ils étaient négatifs, il suffirait évidemment, pour conserver le signe positif à ces formules, d'ajouter aux arcs ç -h Q et Q — ç' une circonférence entière ou 36o°.

Les formules (4) sont susceptibles d'une transformation analogue à la précédente. Observons toutefois que l'on peut se dispenser d'y îivoir recours, en remarquant que ces équations, dont la forme est la même que celle des équations (2), ont des coefficients qui sont à peu près les o, o^S des premiers, en sorte qu'il suffit de multiplier par ce nombre les valeurs de la nutation lunaire en ascension el en déclinaison, pour avoir immédiatement celles qui se rapportent à la nutation solaire.

ainsi

On a d'ailleurs «*n sorte que

- Aw cos'pfl' smCD langJ[^

sin A tangtj sinX tangB — sin^^cosX, , . Ab> cos'JUsinCD

cosX cos4^ cosX cos^= cose.l> cosCD;

Mais

par conséquent,

(b') d'\> — — Afc) cos<A> tangCD.

En réunissant maintenant les variations (a) et (a'), (b) et {b') que nous venons de considérer séparément, on aura, pour l'expression des variations complètes e/A< et rf(£) qu'éprouvent les coordonnées ei» el CD par l'effet de la nutation, c'est-à-dire lorsque u et 41 varient simultanément,

dfXt = A-(l(cosci> + sinto sind) tangCD) — Aa> cos»'io tangCD, dCSd = A^sinw cos«t\> -+- Au sin^'io,

formules qui sont bien celles données dans le texte.

CALCUL DE LABERRATION.