PAR LA LUNE
I. — Calcul des phases d'une occultation d'étoile ou de planète.
Première approximation.
Lorsque la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, vient à nous cacher certains astres, étoiles ou planètes, situés sur laiono que son disque parcourt, on dit qu'il v a éclipse ou oceultalionik ces astres par la Lune ( * ). Il v a appulse lorsque l'astre ne fait seulement que raser le bord du disque lunaire.
Les occultations d'étoiles par la Lune offrent, comme les éclipses, un moyen précieux pour obtenir la longitude des lieux lerrrslre>. Aussi la Connaissance des Trmps fait-elle connaître toutes les données nécessaires au calcul et à l'observation de ces plnn«>inènes. Ainsi Ton trouve à la page 4^>^> (année 187.") j les position^ mo\ennes des étoiles de première à sixième grandeur ocruh<«"^ pour le i^*" janvier, et aux pages 474 ^^ suivantes le Tableau df'^ occultations ou appulses des étoiles ou des planètes jusqu'à lj sixième grandeur inclusivement, visibles à Paris. On trouve nilni aux pages 4*^7 <*l suivantes les éléments nécessaires au calcul «K* roccultation dans un lieu qu<'lconque, éléments qui sont les deu\ latitudes extrêmes entre lesquelles le phénomène de l'occullation
iM Comme la plus çrantio >alcur du dcmi-diamrlrr lunaire est 1^4'''. 'l'"'
rello «le la parallaxe est iu' j\' cl que la plus prande inriinaison de l'orbil^* «^
*"'7^r» on voit que les étoiles dont la latitude est moindre que la s<»mnie d»' •••'*
.très ou ♦^kS'ii', sont les s«'ule< pour lesquelles il pui>*se y a\oir oceullali«^o. I***
« e nombre, sool évidemment les planète^, tant inférieures que supérieun^.
est observable, et les valeurs de certaines quantités A,/?, 9, />', q' dont la signification va être donnée dans Texposé que nous allons présenter de la théorie des occultations diaprés Bessel. Soient
A et D Fascension droite et la déclinaison apparente de Tétoilc occultée; 2 et 0 Tascension droite et la déclinaison vraie de la Lune; % et 0' son ascension droite et sa déclinaison apparente; T. la parallaxe horizontale équatoriale ; p le demi-diamètre horizontal ; p' le demi-diamètre apparent ; |x le temps sidéral ;
/• la distance du lieu d'observation au centre de la Terre ; ^ la latitude de ce lieu ; 5' cette latitude corrigée de reflet dû à Tellipticlté de la Terre.
Admettons que S représente la distance angulaire de IVuoile P au centre L de la Lune, mesurée sur l'arc de grand cercle qui passe par ces points, et abaissons du pôle P le cercle de déclinaison P'P. L'angle à l'étoile où PPL, étant compté de 0° à 36o', sera compris entre o** et 180* si a'<; A, et entre 180** et 36o® si a'>> A; et, en considérant le triangle sphérique PPL, on aura
sinS sinP = — coso'sin(a' — A),
sinZcosP = sino'cosD — cos8' sinD ces (a' — A ).
On a d'ailleurs, pour exprimer le lieu apparent de la Lune en fonction .de son lieu vrai,
Acoso' sina'=: coso sina — rcos?5'sinr sinu, A ces 0' CCS a' = cos 8 ces a — /• cos ^' sin t. cos a,
A étant la distance du centre de la Lune au lieu d'observation. Substituant, on a donc
Asinl sinP — — coso sin (a — A)-:- r coso' sin 7: sin(|x — A ), A sin £ cos P -■- sin 0 cos D — coso sinD cos(a — A)
-- /•sinr[sin<p'cosD — coso' sinD co?(;x — A).
Si Ton observe maintenant qu'au moment d'une immersion et
d'une émersîon
2 = p' et Asinp'=sinp,
d'où
A sin£ = sinp,
on en conclura
/ sinpsin P — — cososin(a— A) -h rcos^'sini: sin(îJL — A),
(2) } sinpcosP= sinScosD — coso sinD cos(a — A)
\ — r sin 7c [sin ?p' cos D — cos <p' sin D cos( [a — A )].
Posons
sînp = Arsinir,
k étant une constante donnée par les Tables lunaires, constante dont la valeur est égale, d'après les Tables deHansen, à 0,27290, et divisons tout par sin??; alors
, . ros8sin(a — A) , . , ..
A-sinP = r-^ --{- rcosç sin(uL — A),
sinTc *
(3) < , ^ sin 8 cos D — cos 8 sin D cos (a — A) ' A:cosP= ;
sinr
— rsinç'cosD — costp'sinD cos({jl — A),
équations qui, étant élevées au carré, puis ajoutées ensemble, donnent
., fcoso sin(a — A) , . 1*
^ = 7ï^ -' — rcos(p sin(|x — A)
| sm ih j
sino cosD — coso sinD cos fat — A)
sinT
iî — r[sin«:p'cosD — coscp' sinD cos (;x — A)] [ .
Ces équations sont rigoureuses ; mais, comme pour l'objet qvm ^ nous avons en vue une très grande précision n'est pas nécessair^^, on peut supposer
;' cos 8 sin (a — A) 7. — A >
: = coso = p.
sinir ir ^'
<;in8ro<5n — coso sinD ro«( a — \) 8 — D
sin?:
(') Depuis quelques années, les rédacteurs de la Connaissance des Temps emploient les valeurs rigoureuses de p cl de g. Les Tables \lll, \IV cl \V, que do«» donnons à la fin de l'Ouvrage, abrègent un peu le calcul de ces quantités.
Dès lors, et ca posant
il vient
( rcos«p'sin(|jL — \) = Uj r sin <p' cos D — r cos çp' sin D cos( |jl — A ) = r ,
Supposons maintenant qiie a, o, tc et [x soient connus à une époque T, temps moyen de Paris, et assez rapprochée du temps (T -+- 1) de rimmersion ou de Témersion pour que l'on puisse exprimer le second membre de Téquation (4) en séries rapidement convergentes suivant les puissances de t; alors, pour le temps T -h ^,
p deviendra/?-:-/?'
et, en négligeant les termes en t^ et ceux des ordres suivants, on
aura
cos$
COS $ variât, horaires
a8 variât, horaire ô
U = r cos<p' sin( fx' — A ),
v = rsin?p'cosD — rcos<p'sinD cos(fjL'— A),
u' = r cos ?p' cos (fx' — A) -^ >
i;' == rcos©'sin(|jL' — A)sinD -^>
expressions dans lesquelles [x' désigne Theure sidérale qui se rap-
'2^0 TROISIÂMB PARTIE. — CHAPITRE 111.
porte au temps T et où
En représentant par ± h Tangle horaire à Paris de Fétoile, à l*instant T de la conjonction vraie en ascension droite, positif >i Taslre est dans TOuest, négatif si l'astre est dans TEst; et par zi^ la longitude du lieu considéré, positive si le lieu est à i*£st et nvgative s'il est à TOuest, on aura
En posant donc
I « = rcos«p'sin(A - -(^), (m < b = rcosç^'cosih — .{* ).
c — rsino'cosD,
les valeurs de w, i/', i\ r' qui précèdent pourront s'écrire
un
J i» = c — ù sin D,
\ i'' = aX sinD.
louant aux valeurs de rcosç' et de /sintp' qui entrent dans l expressions de ^7, />, r, elles seront déterminées à l'aidr des rel lions suivantes, qui ont lieu dans Tellipse :
(' I Kn offel. ~- clant la variation do l'angle horaire en i^ de lemps m<»}en. * • *' .1. «Ml u*iii|>H,
«•t «Il .M <
Miilli|»liaiU ro nombre par >in T ^k>m le divisant par >o6j*i:»). afin de rcduin- '-^^' •Ml |mrtiv ii:i r.i>on, on obtient
log -^- -,,.,101»».
lesquelles, en y supposant sinQ == e sin'^, prennent la forme
(i3) rcoso = i> rsino= tan^Q.
€ est rexcenlricité du méridien terrestre, et Ton a
(i — e)* (M) loge = 8, 91220531, log = 1,08^8864.
Les valeurs de/?, q, p\ q' étant connues, Téquation (4) devient
et si, pour résoudre cette équation par rapport à /, on pose
p — u = m sin M,
\ q — V = m cos M ,
P ■ - U — n sin iN,
q' — v' = n co3>,
formules dans lesquelles m et n doivent être pris positivement,
on aura
k' = ( m sin M -f- n si n \ / )' -f- ( m cos M -4- n cos N / )* = //|2(sin-M -f- cos2 M^ ^ /e2/i(sin-N -^ cos^N )
-f- 2mn/(sinM sin M -h cos M cosN) = m^ -{- 2 nint cos( M — N ) -h n^ /*,
c est-à-dire
A-ï = m2| sin*( M -- N) -+- cos«(M — \)] -4- imut cos{M — N) -+- /i«f*,
ou bien
A* = m* sin« ( M — N ) -h [ ni cos( M — N ) 4- /i/ ]«.
Posons (16) cos-'/^ ^sin(M — N), (logA = 9, fifiocj).
Par la substitution de cette valeur, l'expression précédente de k^
deviendra
A> = A-2 cosî^/ ^ [ ^ eo K M — N ) -\- /i/]«
Ou
[mcos(M — N)4- /irj«= AHi — cosï4/) = Aîsin»^,
^t, en extrayant la racine carrée, on aura
mcos(M — N) 4- /i^ =qr A* sin^j^, SoccooN. — j4str, prat, 1 7
a58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111.
c'est-à-dire
(17) t = cos(M — N)qi -sin^,
le signe supérieur devant être pris pour Timmersion et le signe inférieur pourTémersion, pourvu que A <C i8o**.
Pour les intervalles de temps ti et t^, compris entre T -h ^c[ les instants de l'immersion et de Témersion, on aura donc (en secondes de temps)
/ te ^ 36oo* — cos( M — N ) - 36o</ - sin 4*,
et par suite
^ Pour le temps de Timniersion. ... F = T --- 4^ — // ( Pour le temps de l'émcrsion . . . . E = T - ^— tg
Remarques, — S'il arrivait que cos*} fût plus grand que runilê ou, ce qui revient au même, si Ton trouvait
,- sin( M — N ) ^.' I,
cette circonstance indiquerait ou bien qu'il y a appufse, cVst-à-din* <|u<» la Lune passe près de rélnile sans la cacher, ou bien que r<)ccultation est de très iaihie durée (' * ). Toutefois une approximation coinplèle est nécessaire pour IcNcr le doute et décider si réelleinenl
-j- Mil (M - N )
V t plus ^land que i. Dans ce cas, Ton n'a qu'une seule époque à
< ' 1 1.0 inaxiii.uin de duicc d'une occultation d'cloilo par la Lune ré|M>nd au ra-*"»' les points (l'iiiiniersion et (rénicr*i«>n sont les extrémités d'un niéiiie dianièlrc lu* naire. Dr. comnie le iiio\eii iii«>u\en)ent de la I.une est de i.i'io'Jj* par jour iin»}<^o et sou diamètre apparout moyen de .îrio', on a celte proportion
I S" lu' .!"> ' » î*»
>l 10 JT
d'où l'un tire, pour la durée maximum de l'occultation,
JT 'i»i« ',o« ^en>iron L
calculer, qui est celle de la plus courte distance des centres donnée par l'expression
ta = cos( M -— ^ ).
Lorsque Tastre qui doit être occulté par la Lune est une planète, il faut, dans les formules qui précèdent, remplacer k par
k ± - et X par \ — o, 0000727 [Ji, a- étant le demi-diamètre de la
planète, tsi la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune, moins celte de la planète, et [x le mouvement horaire de la planète en ascension droite exprimé en secondes de temps, positif si le mouvement est direct, négatif s'il est rétrograde.
Quant au double signe qui affecte -> on peut remarquer que le
^igne positif se rapporte à l'immersion du premier bord et à Tcmersion du second, et le signe négatif k l'immersion du second bord et à l'émersion du^ premier.
Voici une application des formules qui précèdent au calcul de l'occultation de JJ Bélier le 9 janvier 1881, en faisant usage des Tables XIII-XV. Ces Tables, très ingénieuses, simplifient beaucoup le calcul des éléments /;, y, // et (/.
On déduit de la Connaissance des Temps pour Tépoque T (en beure ronde), temps moj'ende Paris, la plus voisine de la conjonction vraie en ascension droite,
I® A, ascension droite apparente de l'astre occulté ;
„,.,,,.. , ,, , , \ borralc -
A D, dcclinaison apparente de I astre occultr. . . . •
" ( australe —
3** a, ascension droite de la Lune;
,« N 1' 1- • 1 1 ¥ \ l>oréale -
i° 0, déclinaison de la Lune
( australe j" r, parallaxe horizontale équatoriale de la Lune.
Calcul des éléments.
9 janvier 1881.
d'asl. «Époque T)
b m 8 h m » li m s h m s li m g
3. 3.58,4^1 •^« *>• "^>^77 '^' 8.i3,o'|3 3.io.2o,rjoa 3. 12. -i8, 048 3. 8. 5,78 3. 8. 5. 78 3. 8. 5,78 3. 8. 5,78 3. 8. 5,78
Heure,
(a — A) sec.
(C — D) SCO.
o I II
la'
— 20.48.23,98 -i- 20. 54. 31,69 -i-2i. 0.33,33 -J-ai. 6.J'«.()'• — 20.06.17, 1 —20.36.17, I -T- 20. 36. 17, 1 — 20.36.1-, I
— i2o,io3 -^ 7*264 -f- 134,723 -- 26].I6^ 12. 6,88 — i8.i4»56 — 34.16,13 — 3o.ii.)
-T- 726,83 — 1094,56 — 1456, 13 -T- ii^ilS'
loj; CCS 0(1)
Table MU (2)
loî;(a-A)(3.
Table \1V(4)
los(o-l)) (6)
(!)-(:>) rr XoÇip
(3)-t-('4) = (ll»
î^inl)(7)
Table \V (8)
loglV = (lll) — (8;....
logN rIo};/> — (ll)-h(7).
I'* ililT. (\aleur de p) . .
q^ (IN )~ O >
I** diff. v^aloiir de </';..
9,971018 I, 176086 3 , 393363 5 , 56o6 jo 3,540467- 3,517896 2, 34788 > 0,022571 - 7,r^34oi3- 9,j^6'4 4.j 9.o2<jc)S9 iS 9,o3ooo7 7,523o>-
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