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PRÉDICTION DBS OCCULTATIONS DBS ÉTOILBS ET DBS PLANETES. 267

i(, ti, te, P, V :

logmsinM 8,682i5

logmcosM 8,47276

(ç) — v — o,oîi97

log/w 8, 75^30

/>'— u -4- 0,42:16 log tangM 0.20989 -h

q— v' H- o, ia3i log sin M 9»9^985 —

\ 73-46' log'* s»nN 9162593 -+-

po-log n o, 35639 -4- logncosN 9>090^6 -h

*<^g ^* 9.43609 -h ]og tang N o ,53567 -+-

, A ,^ logsinN 9,98232 -f-

log - 9,79248h-

log m 8, 75280 -f-

cologX: 0,56891 -f-

log sin( M — N j 9.42599 -h

logcos<(^ 8,71220 -H N -+- 4^ 160.86

log sin^ 9.99934 ^ 270.00

n 36oo'. 3,5563o -4-

8,848i2iii

logm 8,75280 " =P 0-37. 9

co-log/i 0,35689-^- -o- /«^^

co5(M — N) 7.98398 • f, -0.29.43

qio''7"'26\ Avec ces valeurs de // et de /<., on obtient enfin

lanmentlon. Emenlon.

// —o. 29.^3 fc — o. 44*35

268 TROISIÂMB PARTIB. — CHAPITRE III.

III. — Détermination des angles de position des points de contact

par rapport an pôle et au zénith.

Pour se préparer à l'observation, il est nécessaire de conDaître les points du disque lunaire où doivent se faire l'immersion cl Téraersion: ils sont déterminés soit par Tangle que font entre eu\Ies grands cercles menés du centre de la Lune à l'étoile et aa pôle, angle désigné dans la Connaissance des Temps et les autres Ephémérides sous le nom ai an gle-pôle , soit par l'angle des grands cercles menés du centre de la Lune à l'étoile et au zénith, appelé angle^zénith. Occupons-nous donc de la détermination de ces angles.

Eu égard aux relations (i 3), les formules (3) du § Il peuvent

s'écrire

— A- sin P — m sin M -h N sin N t^

-- k cos P = ni cos M — N cos \ f ,

et, en substituant pour t sa valeur ci-dessus, on obtient

— k sin P = m sin M — m sin N cos( M — N ) zp sin ^^ sin N,

— AcosI* = m cos M H- mcosN cos(M — N) :*: «in«j^c<»sN.

Mais

sin M — sin\cos(M - \) — sin M — <inN' cos .M cosN - sin M <in*N sin M(i — sin2 \ ) - sin \ cos M cosN -: c()s\(sin M cos.N - *;in N c<>s.M ) - cos \ sin( M — \ ),

co« M - - cos M cos( M — \ ) ~ cos .M - cos \ cos M cos \ - sinN «in M cos \' >in N sin M cos \ - : cos .M (I — cos^ .\ ) -:- sin \ sin M co< .\ ^ sin N sin ( .M — N '.

Ainsi

m sin( M \ ) cos \ - / sin 'l sin \',

- m sin( M \ > sin \ .. k sin-vco^N: m si 11 (M - \ ) A \:o^'l.

sin P co-if .\ - '\, \,

cosp - - <in( \ : .^ \

X sinP

ÂcosP

(laillciirs

Donc

et, par conséquent,

J P = 270* — (N -f- 4^) pour l'immersion, \ p = 270** — (N — ^) pour l'émersion.

C'est la valeur de l'angle que, dans la Connaissance des Temps, on appelle angle-pôle (*).

Quant kV angle au zénith^ que nous désignerons par Q, il est évidemment égal à P augmenté de Tangle ^ , compris entre le cercle vertical et le cercle de déclinaison ; ainsi

Cet angle (C, que Ton nomme angle parallactique, est déterminé par la considération du triangle sphérique formé par le pôle, Fétoile et le zénith, lequel donne, en appelant H la hauteur de Uastre et c? la latitude du lieu pour lequel on calcule,

cos H sin fP = cos© sin A,

cosH cos$ = cosD sino — sinD coso cosA,

el, par suite,

K '^} tanga = . ,. ^.— r. , •

" tan;:ocosD — sinUcos/t

Les formules qui précèdent, appliquées à notre exemple (occultation de ÎI Bélier), donnent :

Immersion. Émenlon.

'V SS^Sg'.'tH" SMg'./to"

^ng.a'(TableXVlI)... 44. «8 43.48

(*) Lorsqu'il y a appulse, le point de la plus courte distance des centres est ^^oné par l'expression

P = 270*— N, si sin(M — N) est positif, P = 90 — N, si sin (M — N) est négatif.

IT. — Détermination des deux latitudes extrêmes entre lesquelles le phénomène de roccultation est obsenrable.

Il nous reste maintenant à déterminer les limites extrêmes de la latitude entre lesquelles le phénomène de roccultation peut êire observé.

Ces limites appartiennent évidemment aux points extrêmes des lignes de simple contact nord et sud déterminées comme dans le cas d'une éclipse de Soleil, et peuvent être obtenues en parlant des relations que nous avons établies au § IX du Chapitre II. Il faut seulement remarquer ici que Tétoile n'ayant ni mouvement appréciable, ni parallaxe, ni demi>diamètrc, on peut prendre Pau lieu de P, o au lieu de A' et faire, en outre, cô = D', ce qui ap|)orte quelque simplification dans le calcul. On a de la sorte, et en a(lo|>tant les notations du § XV,

\ tanif « = -, n — <>cosi, cosVV = — rr — >

1 ' a, cusot) ' I*

(. „ rosW ^,

sin Z — , , M - ( — £ ; ^ w ; COSOi

on a ensuite,

<2) sin/- «iniOcMsZ : cns 0 ^in Z tos M,

et tout se réduit, dans le cas actuel, à cliorclier quelle est la \jlour de l'angle tu' qui rend / un nitt.riniufN ou un mininiuni. Soit '^ un arc délerniiné par la relation

< 5 I rosZ - vityz^ <iin\\ ;

en rapprochant cette é([uation do la précédente'

» i ) cusoj' >inZ -- cMsW,

on en conclut

K'i) sinio' sinZ -^ <in:i sin W,

car ces trois équations, élevées au carré, puis ajoutées ensemble, donnent pour somme l'unité.

On a d'ailleurs

sinû) cosZ --- «incO cosz, -inW ,

el, de plus,

sinZcosM = sinZ cos(i — u}') = cosicosW -■: sin isin^ sinW. Ainsi <6) sin/ = cos(£)cosicos\V-h sinW(sin(Ô coso zz cosCO sin i sin 9).

Désignons par h cl »} deux nouveaux arcs tels que

^ cosO cos^j; — sin CD,

( cosOsinij;-: ^ cos CJt) sin I ;

par la même raison que, tout à l'iieure, on pourra poser (8) sinO ^ cosCÔ cosf,

el l'expression précédente de sin/ deviendra alors (ij) sin/ = cosW sinO -♦- sinW cosO cos(o -f- ^).

Comme Fangle ^ -\- 'l est la seule variable que renferme celle équation, on voit que la plus grande valeur de / correspond au cas où © -|- «^ = o, et la plus petite valeur à celui où 'o -\- 'l --=z 180". Et il est évident d'ailleurs ([ue, pour ces valeurs,

sin/^-sin(0-^W),

«in/ — siiud — W).

Ainsi donc

{ Maximum (h; / 6 -4- \V

/ Minimum (ic / 6 — W

la valeur de W, dans le premier cas, devant être celle qui convient à la limite nord, et, dans le second cas, celle qui se rapporte à la limite sud.

D'après l'équation (3), cosZ doit avoir le même signe que cos'^, lequel doit être celui de 4- cos»} pour la limite nord ou de — cosç pour la latitude sud; car, dans le premier cas, cp-|- J/ = o et dans le second, cp -|- ^=: 180°. Mais par la relation (y), cos»]^ doit être de même signe que (O; par conséquent

i Pour la limite nord, cosZ a le même signe que -H CO, ^ ^ ( Pour la limite sud, cosZ a le même signe que — (D.

Et il suit évidemment de là que, lorsque la déclinaison (Q est négative, la limite extrême nord a l'étoile au-dessous de l'horizon,

27^ TROISIÈME PARTIE. — CUAPITEK lit.

puisqu'alors la distance zénithale Z excède 90**, et, par conséqaenl, cette limite doit être exclue. Par la même raison, la limite sud doit être rejetée quand (ô est positif.

Ainsi la seule limite extrême admissible est donnée par Ie> équations

langi= T) Ai=c;cosi,

(12) ' cosWi =: — jy— y /, = 6 - \Vi quand (Dest positif,

CCS Wi = — ~^ > /| = 6 — Wi quand (D est négatif.

Quant à l'autre limite en latitude, elle est évidemment Tun dp> deux lieux où la seconde ligne limite vient rencontrer les courbe> du lever et du coucher, et est déterminée, par conséquent, parle> formules

, cosWj= — 7?— > sin/f = rosCÔ co«<i, (i3) { * P *

le signe supérieur se rapportant, comme précédemment, au ca>

où (S> est positif, et le signe inférieur à celui où cO est négatif.

Les équations qui précèdent peuvent être mises sous la forme

suivante

lan" t = y Lit< \\ I r . - —,

"^ a, costO r I'

\ n — Ovoi^i\ sinO — coscO «"os/. /, r:^ \\ , — 0, sin /* r . ... coslO io>( \\ 2 - n,

en observant que ^^ 1, ^^ o, h et / doivenl cire pris avec le nu'iiu* signe que lO, et en convenant de prendre en outre le signe su|)trieur (juand eO est positif et le signe inférieur quand lO e>l n.'galil.

Lorsqu'il arrive que \\ , est imaginaire, /» est égal à t)<)° et J<? même nom que tO . Dans ce cas, roccultation est \ isible près du pôle de la Terre K»quel est alors tourné vers l'étoile. Quant c'est Wj q»' est imaginaire, /^ est égal à (jo' — lO et de nom différent avec v^^

Il reste à déterminer la position angulaire des points où l'immersion a lieu sur le disque de la Lune, ce qui peut évidemnienl se faire de la même manière que dans le cas d'une éclipse de So-

leil. Ainsi on a pour Timage directe

!A rimmersion : angle de position (180** — , i) — w A Témersion : angle de position (180* — i) -h w

et pour limage inverse

SA l'immersion : angle de position ( — i) — w A l'émersion : angle de position ( — i)-^ u)

tous ces angles étant comptés du Nord vers VEst,

Appliquons les formules qui précèdent à la recherche pour !J Bélier des limites en latitude de Toccultation.

On déduit de la Connaissance des Temps, pour Tcpoquc ii**47"'2i* de la conjonction en ascension droite, les données suivantes ;