I. — Des causes qui produisent ce phénomène
Effets généraux.
Sous rinfliience allraclive du Soleil et de la Lune, la mer éprouve un mouvement d'oscillation régulier, en vertu duquel ses cau\ s'élèvent et s'abaissent alternativement dans un intervalle d'environ i2*'i5°*. Ainsi, à* partir d'un certain moment, on voit, pendant ô^^iS"" environ, la mer s'élever et envahir graduellement les rivages qui la bordent; c'est le moment du Jlux ou duy7o/;puis, durant la même période de temps qu'elle a mis à monter, on la voit s'abaisser et abandonner peu à peu les lieux qu'elle avait inondés : c'est le reflux^ \e jusant ou la mer baissante. On donne le nom de liante nier, au maximum d'élévation des eaux du ù l'effet du flux, et celui de basse mer au maximum de dépression cause par reflet du reflux. L'oseillation entière du flux ou du reflux, ou plutôt l'amplitude de cette oseillalion, est ec qu'on désigne s<»u* le nom de marée ; et l'on a])])elle marée ioitde la diflereiuc (!«' niveau entre la haute mer et la basse mer, ou, pour parler plu-» exactement, la dilTérence entre la niovennc de deux pleines mor? consécutives et la basse mer Inferniédiaire.
Les plus grands géomètres des temps modernes. Descarl»-*. Newton, Daniel Bernoulli, Kuler, Maclaurin, d'Alenibert. sr >«»nl occupés du problème des marées, mais sans [)arvenir à en donn«'i tme solution satisfaisante. Kepler paraît être le premier qui ail cherché dans l'action attractive des astres re\])licalion (h'((Miirieux phénomène; mais il était réservé à Newton d'en faire connaître la vraie cause, en le rattachant au princi[)e de la gra\itali<'" universelle (pi'il venait de découvrir. La théorie de ce grand l'''*' mètre parut dans le Livre des Principes en i68j. Un peu pluslanl-
en 1740, Daniel Bernoulli, Euler et Maclaurin tentèrent, par difTérents moyens, d^avancer la solution de la question, mais sans cependant ajouter beaucoup à ce qu'avait dit Newton avant eux. EnGn, en 1774» Laplace, aidé des importantes découvertes que Ton venait de faire dans le calcul aux difTérenti elles partielles et dans la théorie du mouvement des fluides, reprit le problème des marées et parvint à le résoudre complètement dans le cas hypothétique d'une mer libre de toute part et également profonde. Bien que la théorie de Laplace soit loin de rendre compte exactement de tous les faits observés, on peut néanmoins la considérer comme un perfectionnement important apporté à la solution de ce problème, solution qui, de nos jours encore, revêt la forme analytique que lui a donnée l'illustre auteur de la Mécanique céleste.
Il n'entre point dans notre but de présenter ici une analyse, même sommaire, des recherches théoriques auxquelles a donné lieu le problème des marées considéré comme la manifestation du gprand principe de la gravitation universelle : une telle étude nous mènerait trop loin. Nous pouvons cependant, sans trop sortir des limites que nous nous sommes prescrites, montrer, par un calcul simple, comment l'action combinée du Soleil et de la Lune agit sur les eaux de la mer, dans le cas considéré par Laplace, et rendre ainsi compte, d'une manière élémentaire, des principales circonstances que présente le phénomène des marées.
Soient donc, en nous plaçant dans l'hypothèse émise par Laplace, T (Jig' 38) le centre de la Terre, A un point quelconque
Fig. 38.
de sa surface liquide, L le centre de la Lune, m sa masse, r le rayon de la Terre, et posons
TL = p, AL = p', ATL = 0, ALT = ç.
L'attraction exercée sur le point A sera
fm
et Ton aura, pour les composantes que cette force exerce parallèlement à TL et à TE,
fni ^ fm . ^
Cela posé, abaissons du point A, AB perpendiculaire sur TL, il est clair qu'on aura
^ p — TB 0 — rcosO
cos^ =
AB rsinO
sin!: = — r = r— y
et, en désignant par x et v les composantes parallèles à TL et à TE lie l*attraclion exercée par la Lune sur le point A, on trouvera
m fi 3 — rcosO)
/?i/"r «in 0 V = ; — .
On a d'ailleurs, en considérant le triangle TAL,
iFoii
2 3rcos6)
- ri -
Maintenant, si l'on pose — = ff, et qu'on développe celle qiianlilo suixan! les puissances crx^issanles Je r, on aura, en se bornaiil au pixMuier le nue en -^«
Pour r ..^ o, on a :, , =1 — : on a de plus, en dîiTérenlianl l'exprès ^iv^n pnvtxleuîe vie
atn>u
PAÊDICTION DBS MARÉES. ^'•'J
(iCtle valeur, substituée dans les expressions précédentes de x et de y, donne
fni si/VnrcosO
/VwrsinO
L'interprétation dynamique de ces expressions est bien facile.
En effet, considérons d'abord la force "^ que renferme Texpres-
sion de x. Celte force, étant égale à celle qui attire le centre de la Lune, ne change rien à la position de ce centre et du point A, et est, par conséquent, sans influence sur Teflct des marées. Quant aux deux autres forces
a/V/irrosO /mrsinO
qui agissent, la première, suivant la direction TL, et la seconde, suivant une direction perpendiculaire à celte ligne, comme ces forces tendent à déplacer les diverses molécules fluides à la surface, ce sont évidemment elles qui produisent les marées lorsqu'elles agissent sur une grande masse d'eau. Les composantes de ces deux forces suivant la direction TA et suivant une direction perpendiculaire étant, pour la première direction.
et pour la seconde
/mrsin'O /mrsinOcosO
on en conclut, pour l'expression de la force totale dirigée suivant TA,
fmr
ou
fmr
(a cos*0 — sin*0)
(3cos26— i),
et, pour celle perpendiculaire à cette direction,
3 fmr sin2 0
Pour 0 = 0, c'est-à-dire au point C, la première force se réduit à - ^ y et pour 0 = 90", c'est-à-dire au point E, elle devient
— —:-; en D, c'est-à-dire pour 0 = i8o°, elle redevient "^ , »
D'où l'on conclut qu'il y a élévation des eaux en C et en D, et abaissement en E et en F. Ainsi, sous Tinfluence de l'altraclion lunaire, les eaux de la mer tendent à prendre la forme d'un ellipsoïde de révolution, ayant son grand axe dirigé du centre de la Terre au centre de la Lune. Et si, pour plus de simplicité, on suppose la Lune située dans le plan de l'équateur, il résulte du mouvement de rotation de la Terre, combiné avec le mouvement relatif de translation de la Lune, qu'il y aura, en chaque lieu de la Terre, deux élévations et deux abaissements des eaux par jour. Le même phénomène se reproduira évidemment à Tégard des points situés sur les parallèles, mais avec une intensité qui ira en diminuant à mesure qu'on se rapprochera du pôle.
L'action du Soleil sur les eaux de la mer produit un effet semblable à celui de la Lune, mais beaucoup moins intense. Pour l'évaluer, ne considérons que la force tangentielle qui agit suivant TL; en désignant par M la masse du Soleil et par R sa distance à la Lune, un a pour l'expression de la force produite par M
> /M r-iniO r.
Pour collo qui proxionl île l'aolion de la Lune, nous a\(m>
IrouNO
> f'/nr <'\n »^
On a donc
ol connue, on pnMianl /;i : i .
on en conclu l
Ainsi raclion du Soleil est à celle de la Terre comme i est à 2,1 5. Par un grand nombre d'observations, on a trouvé que ce rapport, dans un même Heu et pour des positions semblables du Soleil et de la Lune, était égal a 2,35333. Comme ces actions s'exercent simultanément, on conçoit que la forme que doit prendre la surface de la mer résulte de la superposition de ces deux eflets. Ainsi à la nouvelle Lune, lorsque les deux astres agissent à peu près dans la même direction et dans le même sens, la marée totale est la somme des marées lunaires et solaires. Il en est de même à la pleine Lune, quoique leurs actions s'exercent en sens inverse, car elles tendent, Tune et l'autre, à élever les eaux. On voit donc que, vers les syzygies, la haute mer lunaire arrive en même temps que la haute mer solaire. Dans les quadratures, au contraire, les forces agissant dans des directions rectangulaires, la haute mer lunaire correspond à la basse mer solaire et la marée efleclive se trouve être la différence des marées solaires et lunaires. Entre les syzygies et les quadratures, le Soleil tend plus ou moins à accroître ou à diminuer la marée lunaire, ou bien la Lune à diminuer ou à accroître la marée solaire. L'intensité de la marée dépend aussi de la distance de la Terre à la Lune et au Soleil. Par exemple, aux équinoxes, les marées sont les plus fortes quand la Lune est périgée avec une faible déclinaison; elles sont les plus faibles aux solstices, lorsque la Lune est apogée, avec une grande déclinaison. Il est bien entendu que nous faisons abstraction ici des causes accidentelles, telles que les vents et la pression atmosphérique, causes qui viennent parfois, les premières surtout, modifier d'une manière sensible les effets dont nous parlons.
Pour que les conséquences déduites de la théorie qui précède puissent s'accorder avec les faits observés, il faudrait, comme nous l'avons supposé, que la mer recouvrît entièrement la surface de la Terre et^que sa profondeur fut partout la même. La présence des continents, l'inégalité de profondeur de la mer, la configuration des côtes, l'irrégularité du fond, etc., sont autant de causes qui doivent modifier d'une manière sensible ces effets généraux, et c'est effectivement ce que l'observation confirme. Ainsi, un fait universellement constaté dans tous nos ports d'Europe, c'est que la plus haute mer n'a pas lieu le jour même des syzygies, comme le voudrait la théorie, mais bien trente-six heures après ces époques,
28o TROISIÈME PARTIE. ~ CHAPITRE IV.
en soric que la haute mer, qui arrive au moment des syzvgies, est réellement celle qui résulte des attractions du Soleil et de la Lune trente-six heures auparavant. Un autre fait également en désaccord avec la théorie, et qui paraît dépendre de la configuration des rivages et des circonstances de la localité, c'est le retard que la marée éprouve dans chaque port sur le passage de la Lune au méridien, retard constant pour chaque port, mais variable d'un porta un autre. L'heure à laquelle ce phénomène se produit à l'époque <les équinoxes, et quand la Lune se trouve à ses moyennes distances de la Terre, est ce que Ton nomme V établissement du port; c'est, comme on voit, le retard de la pleine mer sur le passage de la Lune au méridien le jour d'une syzygie équinoxiale. On le détermine dans chaque lieu par l'observation, et, une fois connu, il suffit d\ ajouter successivement oJ,o35o5o ou 5o"*28%3'i, relard moyen journalier du passage de la Lune au méridien, pour avoir les retards successifs des marées d'un jour à l'autre. Enfin, ce qui est encore en contradiction avec les faits observés, c'est que, en un point du globe situé hors de l'équateur, deux hautes mers conséculives ne soient pas égales et puissent différer beaucoup, tandis que les faits observés concourent au contraire à prouver que oette différence est généralement fort petite relativement à chacune (Tt^lies.
IL — Formules de Laplace.
l.n iiDus i^laranl au point de vue envisagé j)ar Laplace (lan> >-^ throrio dos marées, c osl-à-dire en supposant la surface du spinroïiio lorro>!ro réijulièro et reoouvorle entièrement par les eaux (!<' la luer, soient :
Y l.i protiMuKuir k\c la mor >uppM>t"'o trt'"; polito par rapimri au tloiui polit a\o ilu splièrMiilo it'rro<tro pri> pour unitô:
0 lo oiMnpK'inonl *io la latitiulo «l'un p«»inl m <lo la surface cli* la nior ilans Total trôquilil)ro qu'ollo prontirait sous l'action \\\\ Soleil et tie la Lune ■ <»u la o«'latitutle du port >:
m la louizilutle »iu même p«»int;
; la tieusilé ni«>\enne tie la Terre:
,i' la pesanteur:
ut le luoxen m.uneni.'nt île r^'laiion île la Terre:
nt - t:< l'heure siJerale:
r ei r les ilisianees tlu Soleil il tîe la Lune au centre de la Terre :
i» et (/ les déclinaisons de ces astres;
^j; et y leurs ascensions droites;
L et V leurs masses ;
nt -h w — '^ I
' les ansrles horaires du Soleil et de la Lune;
enfin A, B, P, Q, y> ^ des constantes arbitraires déterminées dans chaque port par l'observation.
On aura pour l'expression de la hauteur f) de la mer au-dessus de sa surface d'équilibre à un instant quelconque [Mécanique céleste, t. II, p. 268, édit. des Œuvres).
p ( 1 -1- 3 cos 9, 0 ) r L o • , X , I-' . o • , '.1
5 = 7 3— -(i-Ssin^O-^- ;7j(i-3sinn')
. TL sin V cosi? , , ^"1
-- A y -j cos(/i/ -^-w-^- 7)J
. rL'sini''cosi'' , ^ ,, ."1
d TLsini^cosç^ "l
"'^S/ L ^' sin (71/ -f- TU -^;-Y)J
rf TL'sinp' cos/ "1
""^SZ L ^' sm(n/-+-Tn-i};'-Y)J
^ r L cos^ i' , . > xi
-i- p COS 2(/l/-r-TO — ^ — A)
-i- P T^ COS "Xint -r- CJ — <L — A )
É? r L COS* V . , , , ^ 1
"^ '^^ S L "?''"~ COS 2( «/ -+- TiT - l};' - A )J ,
expression dans laquelle les dinercnlielles doivent être prises en regardant nt comme constant, et où le temps t doit être diminué d'une constante T' pour les termes ayant A et B pour facteurs, et d'une constante T pour ceux multipliés par P et Q.
Vu l'extrême lenteur avec laquelle croissent les quantités r, r\ r, ç\ 4, A' par rapport au mouvement diurne nt de la Terre, on peut regarder l'expression précédente de 5 comme la somme de trois groupes distincts de termes, répondant, chacun, à une espèce différente d'oscillation. Les oscillations de la première espèce sont indépendantes du mouvement diurne de la Terre et pro-
1282 TAOlSléMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
viennent seulement du mouvement du Soleil et de la Lune dans leurs orbites. Ce sont les oscillations de cette espèce que représente le terme
(i-4-3cosii0) r L
qui dépend seulement des déclinaisons ç et ç' de ces astres.
Les oscillations de la seconde ^5/?^ce dépendent principalement du mouvement diurne nt'j elles sont fournies par les termes Jei) avant \ et B en facteurs, et leur période est d'environ un jour. EnHn les oscillations de la troisième espèce dépendent de int et ont une période d'un demi-jour environ; elles sont représentées par les termes de f) qui ont pour facteurs les quantités P et IKJ.
Pour obtenir les instants de la haute et de la basse mer ou le maximum et le minimum de l'expression de 5, «l faut, comme on sait, égaler à zéro la dérivée de T) prise par rapport à /. Or, si dans cette ditférentiation on regarde, ainsi qu'on peut le laire, w /, r, /•', i, «y comme des quantités constantes, et qu'on négllf^e les termes de ,*) qui ont la quantité B en facteur, termes qui donnent lieu, comme nous venons de le dire, à une oscillation trO's petite, ainsi que le terme qui est multiplié par Q et que Laplaoe a prou\é élro insensible ( }/cr(ini(/ue céleste, t. Il, p. •».<><)*. on aura pour la condition du minimum et du maximum, ou pour
l expression lio —r -~ o, « lit
lit »l* r'
- m nt m - -i — v > 1
— sin j nt w — V* — A ».
in » .•:/ - w — -^ — À I.
>oionl
et nogliijeons h tVjiclioa — .^ qui, [vmr le port de Brest, n'excèJe
PRÉDICTION DES MARéES. '28'i
on aura
sin2($ — f ) = — î sin2($ — '^t) = -psin2[($-f)-(4;-i5.')]
-ou, en divisant par cos a(Ç — 'y),
^ ,,. asin2('i/ — <l')
'^ ^ ^ JJ -r- acos2(<j/ — t}/ )
valeur qui devient, en y substituant pour a, ^ et $ leurs valeurs ■ci-dessus,
-^ cos*i^ sin2(^j^ — <}/')
lang2(/ir -h m — y — X)— —, •
-|^cos'v>'-i — ^ cos'v' cos2(^j^ — y)
Désignons par r© et rj, les moyennes distances du Soleil et de la Lune à la Terre. Par un grand nombre d'observations de marées faites à Brest, on a trouvé
r'^ \0 rj
c'est-à-dire
Ainsi donc
( — j cos^v' sin2(^j^ — ^j^') tang2(n/ -h nj — ^ — ^) =
3,o6(^^Vcos2i>'-f- ^^ycosïv'cos2(^ — f )
Maintenant, si Ton désigne par Set S^es demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune pour les distances moyennes r© et r^, et par Oq et c'q leurs demi-diamètres actuels, on pourra remplacer dans
l'expression précédente, -^ et -? respectivement par -4 et -;^; ce qui donnera, après avoir divisé numérateur et dénominateur par
(-4) cos^ ç et posé ^ — *y= a,
,, .^ sinaa
tang2(/i/ -\-TJs — y — ^)= —
