II. — Calculs du phénomène pour un lieu donné

Théorème de Lagrange.

Les époques de contacts ainsi obtenues pour le centre de la Terre, il nous reste à montrer comment on peut en déduire celles qui se rapportent à un lieu détermine de sa surface. Cette solution repose sur un théori^me fort remarquable, dû à Lagrange, et que nous allons démontrer.

Représentons toujours par a, o, A, D et A les coordonnées équatoriales vraies des deux astres, et soient a, o', D' et A' les quantilt'*> analogues relatives aux lieux apparents. On a, par le triangle spliérique dont les trois sommets sont au pcMe de Téquateur et au\ ])Osilions vraies de Vénus et du Soleil,

ODS A^sinosinD-^ ros o oos D cos ( a - - A )

On a semhiablement

cos A' = sino' sin D'-h coso' cosD' cos( i! - A' ».

Mainlenant si, pour exprimer celle distance apparente A' en fonction des éléments vrais, on pose

oosA'r. sin|o- (^o'-o.|>iii[r) -iD— D^l

-:- 0()<[0-..,r:'r:)|cos|l)- , D' — D )] COS [ Ot — A -^- f S - S » — . A'— \ )|

et qu'on développe les différents produits que renferme celle expression, en nMnanpianl (pic o' — o, a' — a, D' — 1) et A' — A sont de 1res petits arcs, on aura, en s'arrélanl aux termes du premier

PRÉDICTION DES PASSAGES DE VENUS ET DE UEIICURE. 'lÇ)'i

ordre,

cos y = cos A -f- ( o' — 0 ) [ cos 0 sin D — sin o cos D cos (a — A )] H- (D' — D)[sino cosD — coso sinD cos(a — A)) — (a' — a) coso cosD sin (a — A) -4- (A' — A) cos 8 cosD sin(a — A).

On a d'ailleurs, tt cl FI désignant les parallaxes horizontales de Vénus et du Soleil (Chapitre III, I" Partie) et [x Theure sidérale du lieu égale, comme on sait, à Pangle horaire h de Tastre augmenté de son ascension droite,

o' — 0 = n f cos^ sino cos(a — |x) — sino cos8], D' — D = 7r[coscp siiiD cos(A — [jl) — sinç cosD], a' - - a = Il soc 8 sin (a — \x) coscp, A'-- A = '7rsccDsin( A — (jl) coso.

Par conséquent

/ cosA'= cosA-^ [cosû sinD — sino cosD cos(a — A)

X [Il coscp sino cos (a — \k) — Il sino cos 8] -^^sin8cosD — cos8 sinD cos(a — A)l

— [iT coso sinD cos (A — jjl) — tz sin^ cosD]

— cosD sin (a — A)n sin (a — |jl) coso -h cos 8 sin (a — A)it sin (A — jjl)cosç.

On peut donner à cette expression une forme plus simple en cherchant les coefficients des quantités coscp et sin(p qui entrent dans chacun des termes de cos A'. Considérons d'abord le coefficient de cos (p. Il n*est pas difficile de voir qu'on aura pour ce coefficient

n [sino cos8 sinD cos(a — jx) — sin^o cosD cos(a — ja) cos(a — A) — cosDsin(a — |j.)sin(a — A)]

-h 'ir[sin8cosD sinD cos (a — |x) — sin*D cos 8 cos(A — [x)cos(a — A) -h cos8 sin(A — |jl) sin(a — A)],

expression qui devient, en y remplaçant sin^o et sin^D respectivement par I — cos^ô et I — cos^D,

H- n j [sino sinD -+- coso cosD cos(a — A)] coso cos(a — jjl)

— cosDcos(a — |jl)

-f- TT j [sino sinD -+- coso cosD cos(a — A)] cosDcos(A — fx)

— cosocos(a — [jl) {,

agi TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITRB V.

c'cst-à-dîre ,

n [cosA cos 0 cos(a — fx) — cosD cos(A — \l)] -J- ir [ cos A cos D cos (A — fx) — cos o cos ( at — jx)] = -h ( n cos A cos 0 cos a — Il cos D cos A ) cos jjl — (ircosA cosD cos A — ircoso cosaE)cos;A H- ( n cos A cos 0 sin a — D cos D sin A ) sin ji. -h (i: cosA cosDsin A — ircoso sinat) sin jjl, OU bien

-r- [(n cosA — Tz) coso COS 2 — (D — TT cosA)cosD COS A ] cosocosa -h [( n cos A — ir ) cos 0 sina — (II — r cos A) cos D sin A ] cos 9 sin ji.

Relativement au coeflicient de sino, on trouvera d*abord

-^ n [ — cos^ 0 sin D -r- sin 0 cos 0 cos D cos (a — A ) — ir [ — cos*Dsino -r- sin D cos D coso cos (a — A),

puis

-f- n J — sinD -i- sin 0 [sino sinD -f- coso cos D cos (at — A)] •

-*- 7: [ — sin o -r- sinD[sino sinD -^ coso cosD co5(at — A)][;

ainsi l'expression de ce coe(T(îcienl est

(Il cos A — T.^ sino sin 5 — « Il — r cosA) sinD sin 5.

Au Hou do rôijualion \ 1 •, nous pou\ons donc écrire

.' oo> A — om< A

1 lli'«»<A T, Oi^ioc»»"!- n — t:c«>*A c^'-^DcMi V 1 00* - ^•'*■A

lIoo<A — - oo>^<in2 — II — - Tii-ii A TMi l» -ijn V loo^ - "in 'i

Il oosA — r: >in c — Il — r: c««> A <in D ] <in :;.

Maintenant >i l'on po<o

doù on auia

» r\ •'<>■ - — Il *!n A.

Il — T --A — '-in i — A

^»*' ' <ir. j . l^•i : -;•: î — <în> -A ••■•'^ l» ^ii V 1 c«>< - «^in 1

PRÉDICTION DES PASSAGES DE VÉNUS ET DE MERCURE. 2j5

Soient encore

Isin5 coso cosa — sin(^ — A) cosD cos A = P cos^ cosX, sin^coso sin a — s'in(s — A) cos D sinA = P cosp sinX, sins sin o — sin (s — A) sin D = P sin p].

L'expression précédente deviendra

cos A' = cos A -4-/P [ cos p cos X cos çp cos |JL -f- cos 3 sin X cos <p sin |jl -h sin p sin 'i]

= cos A -f-/P[coso cos p cos(X — Ja) -I- sincp sin p,

et comme, en élevant les équations (4) et (5) au carré, puis les ajoutant ensemble, on trouve

Pî= sin' 5 -4- s^{s — A) — is sins »in{s — A) cos A

= sin*5 — sin(5 -h A) sin(5 — A) — sin(5 — A)*-f- sin(s — A)' = sin' 5 — sin'5 h- sin' A = sin' A,

il viendra

(6) cosA'= cos A -f-/sinA[coscp cos ^ cos (X — |jl)-4- sincp sinp].

Cette équation renferme les deux variables arbitraires ). et ^ que nous allons déterminer en fonction de S et de M. Reprenons pour cela les équations (5) sous la forme

Isin^ coso cosa — sin (5 — A) cosD cos A = sin A cos^ cosX, sin 5 coso sinat — sin (5 — A)cosD sin A = sin A cos^ sin X, sins sino — s\n(s — A) sinD = sin A sin^S.

En multipliant la première de ces équations par sin A et la seconde par cos A, puis faisant la différence, on trouve

sin(X — A) sin A cosp = sin^ coso sin (a — A);

on a pareillement, en multipliant la première équation par cosA et la seconde par sin A, puis faisant la somme,

cos(X — A) sin A cos^ = sin* coso cos(a — A) — sin {s — A) cosD. \u lieu des équations (7), on peut donc poser

sin (X — A) sin A cos 3 = sin* coso sin(a — A), I cos(X — A) sin A cosp = sin* coso cos(a — A) — sin(* — A) cosD, \ sin A sin ^ = sin* sino — sin(* — A) sinD.

Maintenant on a

sin^cosS cosCa — A) — sin(5 — A)cosD

= sin5[cos8 cos(a — A) — cosA cosD] ■+- cos^sinAcosD,

et sin^sino — sin(5 — A) sinD = sin5[sinû — cosA sinD] -+- cos* sinA sinD;

on a cralllcurs, en considérant le triangle sphérique PVS,

siiiM sin A = coso sin(a — A), cosM sin A = sino cos D — coso sin D cos(a — A), cosA = sin 0 sinD -i cosS cosD cos (a — A),

relations d*oii Ton déduit

cos (a — A ) cos 0 = cos D cos A — sin D sin A cos M, sin 0 = sin D cos A -+- cos D sin A cos M. On a donc

Isin (X — A ) cos p = sin s sin M, cos(X — A)cosp = cos 5 cosD — sin 5 sinD cos M, sin 3 = COS.V sin D -r- sin 5 cos D cos M.

Ce sont les relations cherchées; elles permettent d^obtenir X et ,v lorsque A, D et S, M sont connus.

Actuellement, soit / l'époque temps moven de Paris pour laquelle a, 2, A el 1) on! été calculés ; ap])elons a' l'heure sidérale (*orrespondante vl soil -11. la longitude orientale du lieu dont z> e>l la latitude et a l'heure sid 'raie, on aura

Il - " «l'-i- i' ' d'où

X — jji = X — iji' — J^.

Kn posant donc

I cos w = >in 'v sin 'i -+- cos^ cos 3 cos( A — J' ).

on pourra mettre l'équation (6) sous la forme ([ i^ cos A' = rns A -i- /"sin A ro> ^.

C.omme les quantités 5,/, A el ,3 ne dépendent que de l'époque

adoptée ty on voit que, si A et ^ représentent la longitude et la latitude d'un point O de la Terre supposée sphérique, ce point sera fixe, et Ç, d'après la seconde des formules (lo), exprimera la distance angulaire de ce point O au lieu de la surface terrestre dont^ est la longitude et ç la latitude. On est donc conduit au théorème suivant qui est celui de Lagrange :

<c A un même instant absolu, répondant pour le premier méridien choisi au temps moyen /, et pour chaque lieu de la surface au temps moyen ^ -i- ^, la distance apparente du centre des deux astres est la môme pour tous les points de la surface de la Terre, pour lesquels !J a la même valeur, c'est-à-dire pour tous les lieux qui se trouvent situés sur la circonférence d'un cercle décrit du point O comme pôle et avec !J pour distance polaire. »

Nous allons maintenant nous proposer de déterminer l'heure à laquelle un observateur, situé en un point (^, cp) de la surface terrestre, voit les centres des deux astres à la distance vraie A.

Soit dl la différence très petite qui existe entre la distance apparente A' et la distance vraie A, en sorte que

on aura, à cause de la petitesse de l'arc ^/A,

cos(A -f- c?A) = ces A — dik sinA.

Mais, d'après ce que nous venons de voir,

CCS (A -+- (11) — cosA -f-/sin A cosÇ.

Ainsi

d\ — — /cosÇ.

Cette équation étant divisée par dty puis résolue par rapport à cet élément, donne

Maintenant on a, en multipliant la première des équations (i) du § I par sinM, la seconde par cosM, puis faisant la somme,

A = (a — A)cosJ(a-hD)sinM-f-(o-f- D)cosM,

relation d'où Ton déduit par la différentiation par rapport à ty et

2()8 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRB V.

en regardant (2 + D) comme constant,

d\ (a — A) ,^ r\x • xf rf(o--D) -

—rr = — >. — COS 7 ( 0 -H D ) sin M H ^ — -, cos M ,

(It at ^ ^ ai

c'est-à-dire, en vertu des équations (2) du même paragraphe,

— — n cos( M — N ).

L'expression ci-dessus de dt peut donc se mettre sous la forme

/cos!;

(i3) dt = -

n cos (M — \)

Ainsi, en supposant qu'un observateur placé au centre de la Terre voie à Tépoque / les centres des deux astres à la distance vraie A, cette même distance, pour un observateur placé en un point de la surface terrestre, sera vue à l'époque

/"cos ^ t -\ — T-i^ — r— » en temps moyen du premier méridien,

/*cosr a 1 ■•

/H — : h-l , en temps moyen du 1 eu.

/icos(M — 1>) ^ r j

Pour connaître maintenant les époques 011 ont lieu les conlacïs au point de la surface terrcslre dont S' est la longitude el z la latitude, on n'aura qu'à remplacer dans les formules précédentes A

par U =!z p et M par b --- . ^ ,| ; ^^ comme alors l expression

( j) du § II, se réduit à celle-ci

(i4) sin»} = sin(.M — \),

on conclura, pour les époques des divers contacts en un li«'u quelconque dont '^ est la latitude et 4^ la longitude,

Pour rentrée. . T^ = G: — 'IS^^-- ou T^^ CT — -'-"-^ -- 0 (|5) ^

I Pour la sortie . T, = C/ -f- -^ — > ou T,= T -^ '^-'-^-V \ /icosy /H"osy

(7; et g' sont les époques de l'entrée et de la sortie calculées poiirl»' centre de la Terre.

En remplaçant dans ces formules cos^et cos^' par leurs valo«^

déduites des équations (lo) et posant

on obtient

Te= 6 — ^sin^ sincp

— ^cos3 coscp cosA cos^ — ^cosp cosç sinA sin^^-f- ^,

T, = G'-f-^sinp'sincp

-H ^cos^' cosç cosA'cos4^-i- g cosP' cosîp sin A'sin^-4-41'

Soient

^sinp = A, ^cos3cosA = B, ^cospsinA = C, g sin p' = A', g cos p' cos A' = B', g cos ?' sin A' = G',

alors on pourra écrire

C'est sous celte forme que les valeurs de T^. et de T, sont données dans les Ephémérides. A, Bj C, A', B', G étant des quantités constantes pour tous les lieux sont représentées par leurs logarithmes. Ainsi transformées, ces formules permettent de calculer aisément, comme on voit, l'époque des contacts pour un lieu quelconque de la Terre, lorsque la latitude et la longitude de ce lieu sont connues.

Nous allons faire une application de la méthode que nous venons d'exposer à la prédiction pour le centre de la Terre du passage de Vénus sur le disque du Soleil en 1882. Nous prendrons pour l'époque de la conjonction celle en temps moyen de Greenwich, afin de comparer nos résultats à ceux du Nautical Aimanac qui sont obtenus par une méthode différente.

Éléments,

Temps moy. de la çf en asc. dr. Décembre 6.1882.. . . l^icf^ 2', 8 Ascension droite de Vénus et du Soleil i6'*52"43*,i6

Déclinaison de Vénus 22.44'i^j5S.

Déclinaison du Soleil 22 . 33 . 6,1 S

Mouvement horaire en ascension droite de Vénus i.33,2 O.

Mouvement horaire en ascension droite du Soleil .... 2.44 ^o E.

iOO TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE V.

Mouvement horaire en déclinaison de Vénus 49i3 N.

Mouvement horaire en déclinaison du Soleil 17, 5 S.

Parallaxe horizontale équatoriale de Vénus 33,5

Parallaxe horizontale équatoriale du Soleil 9,0

Demi-diamètre vrai de Vénus ,3i,4

Demi-diamètre vrai du Soleil i6.i3,o

De ces éléments on déduit, pour l'époque de la conjonction en ascension droite,

, ^ i(a-hD) M*38'3c>'.3

^-? i5.4i,6 ^(a-Ai 4'i:',î

AsinM=o, d'où M = o, A = (o — D) = ii'6'4.

Calcul de y A sin .\ et - cos \.

^ ^' ' log^^ia — D) 1.821776

log cos - ( 0 -h D I 9.965160 log cos N 9. |3^793