SUR LE DISQUE DU SOLEIL
I. — Méthode de Lagrange et de Encke. — Prédiction du phénomène pour le centre de la Terre.
Les passages des planètes Vénus et Mercure sur le disque du Soleil peuvent être déterminés de la même manière que pour les ëclipses, et Ton pourrait faire servir au calcul de ces phénomènes les formules que nous avons données aux paragraphes (VII et suivants) du Chapitre IL Mais il existe une méthode de Lagrange, modifiée par Encke, qui permet d'arriver plus simplement et plus rapidement au but. Elle consiste à déterminer d'abord les époques des contacts pour le centre de la Terre et à en déduire ensuite celles qui se rapportent à un lieu déterminé de sa surface. Nous allons exposer successivement la solution de ces deux problèmes.
Soient, pour un temps t voisin de l'époque de la conjonction en ascension droite,
a l'ascension droite vraie ou géocentrique de Venus,
0 sa déclinaison vraie,
A l'ascension droite vraie du Soleil,
D sa déclinaison vraie,
A la distance vraie des centres des deux astres.
Considérons le triangle PVS {Jig- 89 ) formé par le pôle P de l'équateur et les centres S et V du Soleil et de Vénus. On a dans ce triangle
PS = 9o«-D, PV = 90°— 0, P = (a — A), A = SV; on a par suite, en appelant M et 180^ — M' les angles dont les som-
SoccDOU. — Astr, prat, 19
mets sont aux centres du Soleil et de Vénus,
j sin ; A pin }( M'-+- M) = sin j (a — A) cos * (0 -h D), ?in J Acosi(M'-T-M)=:cosJ(a — A)sinl(o — D).
(]omme au moment d'un contact (a — A), (0 — D)et A sonl de très petites quantités et que M' diffère peu de M, on peut sub-
stituer aux sinus des arcs (x — A), (0 — D) et A ces arcs euxmêmes, et faire en outre
sin J ^M -^ M) = sin M, cosl (M'-+- M) = cosM.
Dès lors, il vient
\ A sin M =( a — A ) cos J ( 0
i A co< M = 0 — D.
Maintenant, si Ton représente par n la vitesse relative de \ énus par rappi^rt au Soleil, et par X l'angle que fait la direction de cellt' \ilesse avee le eerele horaire P\ V| à Tépoque /, il est clair que // eosN exprimera la \ilesse relative de \ énus sur le cercle de déelinaison, et que n sinN sera la vitesse relative du même astre sur un eerele perpendieulaire au premier.
Kn appelant donc
- et —
tù
les variations des dillVronces d'ascension droite et de déclinaison de \ énus et du Soleil dans l'unité de temps, on aura
• cos V . ^ D ,
PIIÉDICTION DES PASSAGES DE VÉNUS ET DE UERCUHE. agi
et par suite
^^(,-A)cosl(8+D) tangN = -z
cos iN
Désignons par / -f- t l/époque de Tun des contacts et par R et p les demi-diamèlres du Soleil et de Vénus à cet instant. Menons par le point S le cercle parallèle SV, et considérons la projection de SV d'abord sur ce cercle SV et ensuite sur celui PS| qui lui est perpendiculaire. Nous aurons, dans ces deux cas et au moment
considéré,
!(R zb p)sinS = A sinM -f- /i sinNT, (R db p)cosS = AcosM-f- /icosNt, d'où
(A sin M -h /i sinNT)«-h ( A cosM -h n cosNt)» = (R db p)»,
le signe supérieur ayant lieu pour un contact intérieur et le signe inférieur pour un contact extérieur.
Cette équation, étant résolue par rapport à t, donne
^ / %f 1VTX '^ ^ '^ /? — A»sin»(M — N) T = cos(M— N)qi , o , ,^ >
et en posant
... , , Asin(M — N)
on obtient
(6) X = cos (M — N)i;i cos6.
D'après cela, on a donc, pour les époques de l'entrée,
(» A ,-- ^, , R -(- p tDe= t cos(JVl — N) !-cosd», i**" cont. cxt. n ^ n ^
G/ = / .cos( M — N ) cosd', i*"" cont. inl.
ety pour celles de la sortie,
l (5^=/ cos(M — N)h 2cos<}/, 2' cont. cxt.
(G/ = / cos(M — N)-f- ^cos<V, a'cont. int. 71 n ^
292 TBOISIÈUE PARTIE. — CHAPITRE V.
Pour un conlact central, p = o; donc, dans ce cas, fo (5^= / cos(M — N) .
Maintenant on déduit des équations (4), et eu égard à la relii-
tion (5),
* cos(S — N ) = ip cos <j^ ;
ainsi
( S = N — <j^ -i- i8o° pour l'entrée.
(lO) i r, 1^T . 1
( S = N -T- ^ pour la sortie.
