PREMIERE SECTION. XXXI

Les diverses Tables lunaires^ que nous venons de passer en revue, étaient fondées sur la réunion de la théorie et de Tobservation, mais s^appuyaient davantage sur l'observation que sur la théorie, dont elles ne faisaient qu'emprunter la forme des arguments. A une époque où la théorie des mouvements lunaires était loin d'avoir atteint la perfection que nous lui connaissons, cette méthode était, peut-être, la seule que l'on pût suivre dans la solution d'un problème où le nombre des inégalités est si grand et les approximations si difficiles à conduire. Les progrès que les recherches des géomètres du xix* siècle firent faire à la théorie de la Lune, en permettant de déterminer sous forme analytique les expressions des diverses inégalités qui troublent le mouvement de cet astre, firent concevoir l'espoir de voir cette théorie résulter uniquement du principe delà gravitation universelle sans emprunter à l'observation d'autres données que celles nécessaires pour fixer les éléments du mouvement elliptique. Déjà Laplace, au LivTe VII de la Mécanique céleste, avait prouvé la possibilité de cette solution théorique et montré les avantages que l'on pouvait

ceotes faites tant à GreeDwich qu'à Paris et que l'on adopterait, dans le calcul de Terreur la plus probable, la méthode des moindres carrés. Voici les résultats de cette comparaison, tout à fait favorable aux Tables de Burckhardt.

Erreur moyenne en longitude (1660 obs.) pour le

milieu de i8o4 -4-0,18

Sommes des carrés des erreurs 7080

^ Erreur moyenne en distance polaire — 3,3

^ j Sommes des carrés des erreurs 6729,4

Erreur moyenne en ascens. droite (i38 obs.) pour

le milieu de 181 1 -4-1,4

Sommes des carrés 64^9,0

Erreur moyenne en longitude (1670 obs.) pour le

milieu de 1804 -f- 0,10

Sommes des carrés des erreurs 4^2,4

^,, , ^ ,, , , Erreur moyenne en distance polaire — 2,3

Tables de Burckhardt. ^ c^ ^ a ^ a r^cr

Somme des carres des erreurs 565o,5

Errenr moyenne en ascens. droite (i38 obs.) pour

le milieu de 1811 — 0,1

Somme des carrés 4 '81, 6

La comparaison des mêmes Tables aux observations plus anciennes de La Hire et de Flamsteed donnait encore l'avantage aux Tables de Burckhardt, mais ici les différences étaient beaucoup moins sensibles.

XXXll INTRODUCTION HISTORIQUE.

en retirer pour la détermination de plusieurs éléments importants; mais ce géomètre, ayant eu pour principal objet cette démonstration, n^avait pas poussé assez loin ses développements, et de nouvelles recherches devenaient nécessaires pour assurer aux résultats déduits de la théorie une précision au moins comparable à celle des observations. C'est cet important objet que l'Académie des Sciences de Paris proposa aux géomètres et aux astronomes, en prenant pour sujet du prix qu'elle devait décerner en 1820 la formation par la seule théorie des Tables lunaires aussi exactes que celles que l'on avait jusque-là construites, parle secours de la théorie et de l'observation réunies. Deux pièces également remarquables et satisfaisant aux conditions prescrites furent envoyées au concours et partagèrent le prix. L'une de ces pièces était de Damoiseau, l'autre de Plana etCarlini, géomètres italiens. Quoique basées sur des méthodes différentes (la méthode de Damoiseau ne différait pas de celle de Laplace), les théories exposées par ces savants auteurs conduisaient à des résultats presque identiques entre eux, cl s'accordaient assez exactement avec ceux fournis par les meilleures Tables lunaires (*). Ainsi le vœu exprimé par l'Académie était rempli : par ces nouvelles recherches de Damoiseau, Plana et Carlini, il était démontré que la gravitation universelle est Tunique cause des inégalités qui troublent le mouvement de la Lune et que Ton peut, sans emprunter à Tobservation d'autres données que celles qui sont indispensables au problème, former des Tables lunaires assez exactes pour suffire à tous les besoins de la pratique. Le Mémoire de Plana et Carlini ne fut pas imprimé; mais, un peu plus tard, Plana reprit pour son compte les recherches commencées en conimiin avec Carlini, et les étendit considérablement dans un

(•) Cet accord élait surtout manifeste pour les inégalités périodiques. Pour les inégalités séculaires, et en particulier pour les inégalités du mouvement mo\ei) du périgée el des nœuds, les résultats fournis par les deux théories étaient conformes aux observations et parurent à Laplace préférables à ceux qu'il avait lui même déterminés, bien que les dilTérences entre ces résultats et les siens fussent peu sensibles. Voici un Tableau de ces différences en fixant, d'après Laplace. l'origine du temps au commencement de i8ui :

Uanoibeaa. Plant «l Carlini. Laplarf».

Variation séculaire de la long.. o,ooH6|.)7 0,0076010 o,oo8366o

Variation séculaire du périgée. — 0,0^^9890 — o,o3iiiio — o,o3jioa3 Variation séculaire du nœud . . o,oo5i93l> 0,0003877 o,ooCi5a8

PREUIBRB SECTION. XXXIII

Ouvrage en 3 volâmes in-4°, publié à Turin sous le litre de Théorie de la Lune. LepremierVolumeparuten i83i etlesdeux suivants en i832. En i853, de nouvelles Tables lunaires ont été construites d'après la théorie de Plana et ont paru à Washington sous le titre de Tables of ihe Moon, constructed front Plana' s theory, et in-4°. Quant à la théorie de Damoiseau, elle fut imprimée, par ordre de l'Académie, dans le Tome 111 des Mémoires des Sai^ants étrangers et servit de fondement à de nouvelles Tables lunaires qui parurent en 1824 et en 1828. Les premières de ces Tables sont construites dansle système centésimal et les secondes suivant la division sexagésimale; le nombre des arguments pour la longitude y est de 47» tandis que dans les Tables de Plana ce nombre s'élève à 79. De même que Laplace, etàPexempledes géomètres du xvii* siècle siècle, Damoiseau et Plana avaient établi les équations dilférentielies du mouvement de la Lune, en prenant pour variable indépendante la longitude vraie de cet astre, c'est-à-dire, en regardant comme constante la différentielle de la longitude vraie, et exprimant l'élément du temps en fonction de cette longitude. On pouvait se demander si, en renversant le problème, c'est-à-dire, en prenant le temps pour variable indépendante, comme cela se pratique dans la théorie des planètes, on ne rendrait pas plus convergente la série des approximations par lesquelles on est obligé de passer, pour parvenir à la connaissance exacte des mouvements lunaires. C'est cet essai que tentèrent les successeurs de Damoiseau et Plana, et leurs efforts furent couronnés de succès. Le premier pas dans cette voie nouvelle fut fait par John Lubbock, géomètre anglais. De i832 à 1849, ce savant fit paraître, dans les Transactions philosophiques, une série de recherches sur la théorie de la Lune, qui furent plus tard réunies en un Volume, et publiées à Londres sous le titre de Theory moon Lunar, etc. Lubbock y adopte le temps pour variable indépendante; mais, n'ayant pas pousse les développements analytiques au delà des termes qui sont du premier ordre par rapport à la masse perturbatrice, il n'a pu entreprendre la réduction en nombres de ses formules, et sa théorie est demeurée sans application. Vers la même époque, Poisson^ adoptant les idées de Lubbock, proposa de remplacer les équations différentielles d'où dépendent la longitude vraie de la Lune, sa latitude et son rayon vecteur, parcelles relatives aux six éléments elliptiques

XXXIV INTRODUCTION UISTORIQUB.

devenus variables, c'est-à-dîre qu'il appliqua au problème des perturbations lunaires la célèbre méthode de la variation des constantes arbitraires, que Ton doit au génie de Lagrangc. Un peo plus tard, de Pontécoulant s'occupa de la même question et publia une théorie de la Lune qui forme le Tome IV de son grand Ouvrage sur la théorie analytique du système du monde. Comme Lubbock, ce savant y prend le temps pour la variable indépendante etsuitdans rintégration des équations dilTérentielles du mouvement troublé la méthode ordinaire d'approximation en poussant les développements jusqu'aux termes du quatrième ordre par rapport à la force perturbatrice. Après avoir réduit ses formules en nombres, de Pontécoulant trouve, pour les coefïicients des inégalités tant séculaires que périodiques, des valeurs qui se rapprochent beaucoup de celles obtenues par Damoiseau et Plana.

En i838, Hansen reprit le problème des perturbations lunaires en suivant une marche entièrement différente de celle adoptée par ses devanciers, et parvint à déduire des formules contenues dans sa théorie (Fundamen ta nova investi gationis orbitœ verœ quant Luna perlustraty in-4**) des Tables qui ont été trouvées bien supérieures à celles de Burckhardt et de Damoiseau. Ces Tables, précédées d'une introduction en français, ont paru à Londres en 185^, aux frais du gouvernement britannique, sous le titre de Tables fin mouvement de la Luney construites uniquement diaprés le principe de la gravitation universelle j in-4°; elles servent actuellement de fondement aux calculs de la Connaissance des Temps et du Nautical almanac. Comparées à de nombreuses observalions de la Lune, faites à Greenwich de 1824 à i8jo, elles ont donné pour la moyenne des différences en ascension droite 2*^,5 et pour la moyenne des différences en déclinaison 2", i. Mais, depuis, ces différences se sont graduellement accrues, et, de nos jours, elles atteignent 10" ou 12". La Connaissance des Temps et le Nautical almanac donnent, chaque année, d'après Newcomb, un Tableau des corrections empiriques qu'il faut appliquer aux ascensions droites et déclinaisons de la Lune [)Our tenir compte de ces différences.

Après les travaux remarquables que nous venons d'énuinërer, on ne pouvait plus douter qu'il fût possible de pousser dans la théorie de la Lune les approximations encore plus loin que dans

PBEIIIEBE SECTION. XXW

la théorie des planètes ; mais les moyens de les effectuer par la voie ordinaire paraissaient impraticables ^ à cause des complications excessives de calcul dans lesquelles on se trouve entraîné à mesure que l'on s'élève dans l'ordre des approximations. Cette difficulté, qui avait arrêté les prédécesseurs de Hansen et qui n'avait pas permis à ce grand géomètre de pousser les approximations au delà du quatrième ordre, ne parut pas insurmontable à Delaunay qui chercha, dans une nouvelle méthode d'intégration, le moyen de la réduire. La voie suivie par cet éminent géomètre pour arriver à ce but est des plus fécondes et des plus ingénieuses. Elle consiste à fractionner les intégrations en plusieurs parties, et à remplacer les approximations successives, qui se présentent avec tant de complication dans la méthode ordinaire, par un nombre beaucoup plus grand, il est vrai, d'opérations distinctes, mais présentant toutes ce caractère précieux, de pouvoir s'effectuer très simplement et avec une grande exactitude. C'est, si l'on veut, une méthode d'exhaustion analogue à celles des anciens géomètres, et qui a pour but d'épuiser par degrés successifs toutes les inégalités suivant leur ordre de grandeur, de manière à diminuer de plus en plus les opérations à mesure que l'on s'élève dans l'ordre des approximations. En la suivant, son savant auteur a pu pousser beaucoup plus loin qu'on ne l'avait fait avant lui le calcul des inégalités delà Lune, sans cesser de conserver une entière sécurité sur l'exactitude des résultats obtenus. Et, en effet, tandis que Damoiseau, Pontécoulant et Hansen s'étaient arrêtés dans les approximations aux termes du quatrième ordre et que Plana, par des calculs dont le développement a quelque chose d'effrayant, n'avait pas, en général,dépassé le cinquième ordre, Delaunay a pu aller jusqu'aux termes du septième ordre inclusivement et même jusqu'à ceux du huitième et du neuvième pour certaines inégalités dépendantes de la longitude. Cette tâche était énorme : « Pour l'accomplir, dit l'auteur, je n'ai négligé aucun des nombreux moyens de vérification que la théorie m'a indiqués. En outre, j'ai fait tous les calculs deux fois, sans aucune exception, en ayant soin de séparer chaque calcul de sa répétition par un temps aussi long que possible et par d'autres calculs tout difitérents, afin de rompre les habitudes de l'esprit qui, sans cela^ feraieht facilement retomber dans une faute commise une première fois. » La Théorie du mouvement de la Lune, de Delau-

XXXVI INTBODCCTION HISTORIQUE.

nay : a paru dans les Mémoires de P Académie des Sciences en 1 860 et 1867, ^^ ^'^^ forme la matière des Tomes XXVIII et XXIX de ce Recueil. Dans un troisième Volume, l'auteur devait compléter sa théorie par Télude de plusieurs questions se rattachant particulièrement à la théoriedes perturbations lunaires^ telles que Téquation séculaire de la Lune, les inégalités résultant de l'action des planètes sur la Lune, etc. Mais, une mort prématurée l'ayant enlevr à la Science, cette suite n'a pu être donnée à son Ouvrage, qui n'en restera pas moins une œuvre d'un grand mérite. Depuis quelques années, MM. Airy, en Angleterre, et Tisserand, en France, s'occupent de construire, d'après la théorie de Delaunay, de nouvelles Tables lunaires, qui, nous l'espérons cette fois, par leur exactitude durable, répondront enfin au vœu des astronomes et des navigateurs.

Tables du mouvement des planètes.

Après avoir esquissé la série des travaux que les géomètres et les astronomes de la fin du xviii* siècle et ceux du xix* ont dû effectuer pour rendre plus parfaite la théorie des mouvements lunaires, et parvenir à en déduire des Tables qui représentassent, avec toute la précision désirable, les observations modernes, il nous reste à parler des travaux semblables qui ont été entrepris dans la théorie des planètes, et qui ont conduit à de nouvelles Tables perfectionnées de ces astres. Mais, dans cette étude comme dans la première, nous nous renfermerons dans la période remarquable que nous venons de parcourir, période qui commence à l'établissement du Bureau des Longitudes d'Angleterre et qui se termine à nos jours.

Nous avons déjà parlé des Tables solaires de Mayer et dit en quoi elles différaient de celles de La Caille, publiées en i^58. Pour suivre l'ordre chronologique plutôt que celui des matières, nous allons placer ici, à la suite de ces Tables, celles de Lalande, relatives aux planètes Mercure, Vénus et Mars, Tables qui ont été, de la part de cet astronome, le résultat d'un travail asSidu de plus de quarante années.

PREIIIÉRB SECTION. WWII

Les premières recherches deLalande sur ce sujet datent de 1^58 et ont pour objet le calcul des inégalités que Faction de Vénus introduit dans le mouvement de Mars. Un peu plus tard, en 1760-1^61, ce savant fit paraître de nouvelles recherches sur les planètes Vénus, la Terre et Mars, et, à partir de 1 766, il donna sur Torbile de Mercure une série de travaux qui ont été publiés dans le Recueil des Mémoires de l^ Académie des Sciences de Paris, et qui ont servi de base à de nouvelles Tables de cet astre, parues en 1771 dans la seconde édition de son Astronomie, Bien que plus précises que celles de Halley, ces Tables de Mercure par Lalande étaient loin d'être exactes et ne représentaient que bien imparfaitement les observations, comme un passage de la planète, arrivé le 3 mai 1786, est venu le démontrer. L'annonce que Lalande avait faite de ce passage fut trouvée en erreur de plus de quarante minutes par deux astronomes, Messier et Delambre, qui étaient restés à leurs lunettes après Tinstant marqué pour la sortie, le premier pour tâcher de revoir quelques taches qu'il avait observées les jours précédents, et le second, comme il Tavous lui-même, par la défiance qu'il avait conçue de l'exactitude desdites Tables. Ces Tables de Mercure furent refaites en 1796 par leur auteur, qui v fit concourir cette fois toutes les observations de passages qu'il avait pu recueillir et qui étaient en assez grand nombre. Les nouvelles Tables qui en résultèrent servirent pendant longtemps, ainsi que celles de Vénus et de Mars, aux calculs des diverses Ëphémérides et, en particulier, à ceux de la Connaissance des Temps, Elles furent remplacées, en i835, par celles de Lindenau, parues à Gotha en i8i3. Tables qui, s'appuyant davantage sur la théorie que celles de Lalande, représentaient, avec une exactitude plus soutenue, les observations.

Ces recherches de Lalande sur Mercure, Vénus et Mars furent suivies de celles relatives aux planètes Jupiter et Saturne, et de nouvelles Tables de ces astres furent construites par cet astronome vers 1760. Mais ici la difûculté était complexe : elle tenait d'une part à la connaissance exacte des masses perturbatrices et, d'autre part, à une cause alors inconnue de perturbation, bien que l'observation Peut depuis longtemps révélée à Halley : à savoir les grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne, irrégularités en vertu desquelles le mouvement de la première planète semble s'aç-

XllTIII I5TBO»rCTIOX BISTOBIQrE.

célérer lorsque celai de la seconde se ralenllt. et réciproquement. Tant qae celle caase de pertarbalion ne fol pas connue, il fut impossible de représenter convenablemenl les obsenalions autrement que par le secours ^ équations empiriques. Aussi ces Tables de Lalande, malgré le soin qa*il prit à les construire, n'étaientelles guère plus exactes que celles de Halley, où l'erreur, en i-6oy s'élevait k 11' poyr Saturne et à 11' pour Jupiter. Mais Laplace, en 1784. avant publié une théorie complète de ces deu\ planètes et montré que les grandes erreurs dont les Tables de Hallev étaient aflTectées disparaissaient presque entièrement par l'emploi de ses formules, on put espérer de voir bientôt de nouvelles Tables succédera celles de Halley, et c'est, en effet, ce qui ne tarda pas à avoir lieu. Delambre, que Laplace avait depuis longtemps initié à ses recherches sur la théorie des planètes, entreprit ce grand travail, et fil paraître, en 1789, de nouvelles Tables de Jupiter et de Saturne, entièrement fondées sur la théorie de Laplace, et si précises que Terreur allait rarement au delà de So". Pour les construire, Delambre avait rassemblé toutes les oppositions, tant de Jupiter que de Saturne, observées de 1690 jusquVn 1787, et c'est de l'ensemble de ces oppositions comparées aux formules de Laplace qu'il avait déduit les éléments fondamentaux de ses Tables. En même temps, ce savant astronome fit paraître des Tables d'Uranus, fondées également sur la théorie de Laplace et qui, comparées aux observations h.s plus récentes, paraissaient s'accorder avec elles assez exactement. L'Académie des Sciences, en 1790, leur décerna le prix qu'elle a\ait proposé pour cet important sujet, et, pendant quelques années, elles servirent de base aux calculs de la Connaissance des Temps et des autres Ephémérîdes. En 1808, de nouvelles Tables décimales de Jupiter et Saturne furent construites par Bouvard et publiées sous les auspices du Bureau des Longitudes. Deux raisons principales déterminèrent cet habile astronome à entreprendre si lot ce grand travail : la connaissance déjà plus exacte et plus complète que l'on avait des inégalités de Jupiter et de Saturne, et le grand nombre d'oppositions nouvelles observées depuis 1787. La presque totalité des oppositions sur lesquelles furent fondées ces nouvelles Tables étaient conclues des obser\'ations de Bradlev et de Maskelvne, et ne remontaient guère au delà de 1750; quelques-unes étaient tirées des

FRBIIIBBE SECTION. XXXIX

observations que Bouvard lui-même avait faîtes à l'Observatoire de Paris. A ces oppositions, Bouvard avait encore joint toutes celles observées depuis 1761 jusqu'en 1787, et que Delambre avait employées dans la construction de ses Tables. La comparaison que Bouvard fit des Tables de Jupiter et de Saturne avec cent onze oppositions de ces planètes lui montra que les plus grandes erreurs ne s'élevaient pas au-dessus de 4''' centésimales ou i3'' sexagésimales. Malgré cet accord satisfaisant, ces Tables renfermaient une erreur bien grave que la théorie y avait introduite et qui n'aurait pas manqué de se manifester promptement aux observateurs. En revoyant ses calculs, Laplace venait, en effet, de reconnaître que la partie de la grande inégalité de Jupiter et de Saturne qui dépend des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons avait été prise avec un signe contraire et que, par conséquent, la grande inégalité employée par Bouvard dans ses Tables était erronée, ainsi que les époques et les moyens mouvements desdites Tables. Des altérations aussi graves dans les principaux éléments de ses Tables déterminèrent Bouvard à reprendre son travail et à le refaire entièrement, en profitant de toutes les oppositions et quadratures nouvelles. Les Tables qu'il publia en 1821 reposent sur la totalité des oppositions et quadratures observées de 1750 à 181 3 pour Jupiter, et de 1747 à i8'i4 pour Saturne; et le nombre des équations de condition d'où dépendent les corrections des éléments elliptiques, ainsi que celles des masses perturbatrices, y est, dans ces nouvelles Tables, plus que double de celui des premières ( * ). Comparées à un grand nombre d'observations, faites

(*) Les longitudes et latitudes fournies par les Tables sont héliocentriques, e'est-à-dire rapportées au centre du Soleil. Pour pouvoir comparer ces longitudes et latitudes à celles déduites de l'observation et qui sont géocentriques, il faut d'abord convertir par le calcul les ascensions droites et déclinaisons observées en longitude et latitude géocentriques, puis transformer ces dernières en longitude et latitude héliocentriques.

Soient alors J^ la longitude héliocentrique d'une planète déduite de l'observation

et.f le même élément donné par les Tables. Si les Tables étaient exactes et les observations exemptes d'erreurs, on devrait avoir JÇ^= J^; mais, comme en général il y a toujours une difiérence entre ces deux longitudes, on a ^ = -C~^ ^-C^^» par conséquent,

Pareillement on aurait entre la latitude observée V et la latitude calculée X la