X. — Calcul des occnliatioiis d*éioile8 et de plaaitee

par la Lune.

I** É léments pour le calcul des occuUcUions. — Soieni

=hJ^la lotagîtude du lieu par rapport à Paris, exprimée en temps on ea

degré : patitive si le lieu est à FEst; négatiçe s'il est à l'Oaest; d= f la latitude géographique I . . . i boréale +,

db ç' la latitude géocentrique ( | australe — ;

dz D la déclinaison de Tastre occulté déclin. { . '

( australe — ;

db 8 la déclinaison de la Lune déclin. ) , '

{ australe — ;

A rascension droite de Tastre:

3 Fascension droite de la Lune;

t: la parallaxe de la Lune;

ih A l'angle horaire de l'étoile à Tinstant T de la conjonction vraie i*n

ascension droite : positif si Tastre est dans l'Ouest; négatif %\\ est dan»

FEst :

e Fe\centricité d'un méridien terrestre supposée constante pour tous k*

méridiens; rie rayon de la Terre dans le lieu considéré.

Les quantités A, />, ^, />', q\ données dans la Connaissance des Temps, et qui dépendent exclusivement de la position géocentrique de la Lune à l'époque T, temps moyen de Paris de la conjonction vraie en ascension droite, seront déterminées à Faide des relations

suivantes :

p — coso

{p élant toujours égal à zéro à i^instant de la conjonction vraie),

, ^ variât, horaire % p = coso ,

- variât, horaire o

2" Calcul de ^occultation pour un lieu quelconque de la Terre, — On calculera d'abord, par les formules suivantes log(rcosç') et log(rsinç') :

sin6 = «sin^, loge = 8.91 22o:>2, log(r cosç') = logcoscp — logcos6, logrsinç' = (1.0848864)-+- logtang 6;

puis, avec T, ^ et A, on cherchera Tangle horaire de Tétoile au moment de la conjonction vraie.

On déterminera ensuite approximativement l'intervalle de temps T qui sépare la conjonction vraie T de la conjonction apparente dans le lieu considéré, au moyen de l'expression

(Table XVl).

Le temps moyen approché de la conjonction apparente dans le lieu et l'angle horaire {h) qui lui correspond seront alors :

Temps moyen de la conjonction appar. = T -4- t -f- -t^,

Ti désignant la valeur en arc de l'intervalle t préablement converti en temps sidéral. On calculera ensuite (/?), (gr) à l'aide des relations

et w, u\ Vy v' par les formules

U = fl,

N.= bl, lofjX = 9.419»^^ V = c — b sin D, v' =z rtX sin D,

346 QDATBIÉME PAmTI*

OÙ a, b, e ont les valeurs suivanles :

a = rco»ç'sîii(A), b = rtotf'tti%{k), e = rsiiif'cotD;

avec les valeurs de u, u', v, i^et celles de {p), (<)')f f^i ^t ou procédera, comme il suit, au calcul de l*occultatioD.

On cherchera d'abord les valeurs de M el N, m et n par les relations

mco.M=(î)-v, nsinN =p — u', ncosN =q' —xf,

dans lesquelles m et n devront être pris positivement, ce qui déterminera complètement les arcs M et N ; puis on calculera l'angV ■l -< [80" par la formule

cos4.= Jmii(M-N) avec 1ok*= 9,43609.

Un aura alors, pour les intervalles de temps t{, t, compris entre l'époque T + t + -Cet les instants de l'immersion et de ^élIM^ sion.

ni k

If — — 36oo — cos(M — N)+ 36oo — siniji pour l'émersioD.

li et tr sont eicprimés en secondes de temps.

On conclura de là, pour le temps de l'immersion 1 et pour celui de leniersion E,

Enfin, on aura pour Vangle-pùli:

-(N— >}«) pour l'émersion,

<:l, pour Yanglu-zénitli.

RÉSUMÉ DES PORIIL'LBS CONTEN'UKS DANS LKS PARTIES II BT III. 347

Remarque, — S'il arrivait que

Qos^ OU -rsin(M — \)

fût plus grand que i, il n'y aurait pas occultation, mais seulement appulse,

3'* Cas où Castre occulté est une planète, — Dans ce cas, on doit remplacer, dans les formules précédentes,

X |)ar A: zb — et A par X — 0,0000727^1.',

Tïl

expression dans lesquelles

<j désigne le denii-diamètre de la pPanète;

13 la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune, moins celle de la planète; ♦x' le mouvement horaire de la planète en ascension droite exprimée en secondes de temps : positif si le mouvement est direct; négatif s'il est rétrograde.

Quant au double signe qui affecte — > on peut remarquer que le

signe -f- se rapporte à l'immersion du i*^*" bord et à Témersion du 2% et le signe — à Timmersion du 2® bord etàTémersion du i". Il faut ensuite appliquer à la valeur de l'angle horaire (A) donnée ci -dessus la variation — i5[jlt que subit l'ascension droite pendant l'intervalle T|, laquelle devient ain^>i

4" Limites en latitude, — Limites nord et sud : ai et D| ayant été obtenus pour le temps de la conjonction vraie, on a, en adop-

tant les notations du § XV, et posant ^ = 0,2-99,

l>i ^ yyr n

tanei = > /i = <)cosi, cosv\i = zn7r — o.ii'H),

^ ai cosiy ' 1 -t- i> ' / .'

sin6 = cosCÔ cos«, cosWj = if: — h- 0,^*729, /i = Wi — 6, sin /j = qz cos cD cos(Wj — 1),

expressions dans les(|uelles les angles W|, W2, i et 8 doivent avoir le même signe que (30, et où l'on doit convenir de prendre le signe

supérieur quand cO est positifs et le signe inférieur quand CD est né-

On peut remarquer que, lorsque

W| / . . . \ l\=^ Qo" et est de même nom que db^,

„, } est imas'inaire. . . < , ^ , ..11, ^

W j ) " / /j = 90** — (D et est de nom différent avec (D.

On a ensuite, pour déterminer la position de points où se font, sur le disque de la Lune, l'immersion et Témersion :

Position directe.

A l'immersion : anp^le de position = (iSo" — i) — to. A Témersion : angle de position = (180® — i) -\- eu.

Position inverse,

A rimmersion : angle de position = ( — i) — w. A Témersion : angle de position = ( — i) -\- a>.

Tous ces angles sont comptés du Nord vers Y Est,

XL — Prédiction des marées.

I** Formules de Laplace, — Heure de la pleine mer, — Soient

p l'heure du passage de ta Lune au méridien du lieu;

Il l'heure de la pleine mer qui suit ce passage;

0 ) les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune, 36 heures avant

0' \ l'heure />;

, les déclinaisons de ces astres au même instant; ^ )

y, • leurs ascensions droites.

En posant

^—^ = %, A=33,o6^ , C= -arctang-

^ ^ 0' cos^i' io A-+-cos2a

«'I, désignant par E Thcure de Yélablissenient du port j on a

.'5* Dêtenniiiation numérique des quantités /;, a, (>, E, qui

entrent dans cette formule, — a. Calcul de l'heure p, — On peuty sans erreur sensible, déduire cette heure de celle/?' du passage de la Lune au méridien de Paris, telle qu'on la donne dans la Connaissance des Temps, en la corrigeant à raison de 2"*, i par heure de différence en longitude. Toutefois, comme dans tous nos ports de France, cette correction n^atteint pas une minute, on peut la négliger dans le calcul de Theure des marées et prendre, pour le passage de la Lune au méridien d'un port quelconque, la même heure qu'à Paris.

b. Calcul de ^ — •}' = a. — Soient D la différence entre les heures du passage de la Lune au méridien de Paris, la veille et Tavant-veille du jour donné, et p' l'heure du passage de la Lune au méridien du lieu l'avant-veille, on a

Cette différence étant exprimée en temps moyen, on doit, pour l'obtenir en temps vrai, en retrancher le temps moyen à midi vrai.

c. Calcul de C et de E. — Les valeurs de C sont données par les Tables I et II, que publie toutes les années Y Annuaire du Bureau des Longitudes, Quant à la valeur de E, elle est donnée dans le même Recueil parla Table III, et pour les principaux ports des côtes de l'Europe.

4" Hauteur de la pleine mer à l'époque des syzygies, — Les plus grandes marées ont lieu à l'époque des syzygies, c'est-à-dire lorsque la Lune est pleine ou nouvelle; mais elles ne sont pas toutes également fortes, parce que les marées partielles dont elles résultent varient avec les déclinaisons du Soleil et de la Lune, et aussi avec les distances de ces astres à la Terre. Soient

Vy v' les déclinaisons respectives du Soleil et de la Lune à l'instant de la

syzygie ; I le rapport de la moyenne distance du Soleil à sa distance actuelle; ria parallaxe horizontale actuelle de la Lune divisée par sa valeur moyenne

On a, pour la hauteur 5 de la pleine mer à l'époque d'une syzygie,

S = -^ ( *' cos» i' -h 3 l'a cos» v' \

* et a se rapportant, comme v et i^, au moment de la syzygie.

35o QCATAIKIIK PABTIlC*

sur le disque da Soleil.

I** Prédiction pour le centre de la Terre. — SoicDi, pour un temps £, voisin de répoqne de la conjonction ou même coîhcidsDt avec la conjonction,

« rascension droite de la planète ;

S sa déclinaison;

A l'ascension droite dn Soleil ;

D sa déclinaison;

A la distance vraie du centre des deux astres;

R et p leurs demi-diamètres apparents.

Après avoir calculé M, N, /i et ^ par les formules suivantes : A sinM = (a — A)cosî(8 H- D), A cosM = (3 — D^

j»sinN=— i-^ — 'cosî(o-*-D), jtoosN = — ^- »

. . Asin(M — N)

on aura

- = — f cos(M — N)— !lnrcosi», n it *

on aura par suite

Ç=/ — T, S = N — i — iSo* pour l'eulréc. ^ = / — t', s = n — i |M>ur la sortie.

3* Prédiction pour un lieu déterminé de la sur/ace terrestre. — Soient

^ la lonsntude orientais du liira considrrr: « sa latitude;

11 et r Ie5 paralla\e< honzootales de la planète et du Soleil : u.' le temps <îdêral ct>rre>p<>ndant à Têpoque T ou T*; /', s, à« À des variables auxiliaires.

On aura

/'<!■ * — n cvy*^ R 1 i "i — r. / c**si - — Il siu « R r s I.

BÉSUMÉ DES FORMULES CONTENUES DANS LES PARTIKS II ET III. 35l

puis

sin(X — A) ces 3 = sin* sinS,

cos(X — A)cosP = coss cosD — sin* sinDcosS,

sin 3 = C0S5 sin D -}- sin* cosDcosS,

et, en outre,

cosÇ = sin<p sinP-i- cosçcos^ cos(A — 41)> (A = X — jx').

Les époques de l'entrée et de la sortie seront alors données, en temps moyen du lieu, par les formules suivantes :

re= fc -h < — r pour 1 entrée,

^ n cos^^

Ts=&'hAiH-- , pour la sortie;

^ ncos^j/*^

G et & sont les époques de l'entrée et de la sortie calculées pour le centre de la Terre.

En posant

puis

^ sin 3 = A, ^cospcosA=B, ^cos3sinA=C, ^sinP'= A', ^cos?'cosA'= B', ^ros?'sinA'= C,

on a aussi

C'est sous cette forme que les valeurs de T<. et de T, sont données dans les Ephémérides.