I - >ill II C05 z

Réduisant cette expression de tangP en série, on obtient, après avoir remplacé tangP par P et sinll par II,

(6) P -nsin-3 i-sln'iz - . . . (*);

c'est la formule cherchée.

Remarque. — Le lieu d'un astre sur la sphère céleste étant le point de cette sphère où nous le projetons par le rayon visuel mené de l'œil à son centre, il est évident que reflet de la parallaxe est de nous faire paraître les astres moins élevés au-dessus de l'horizon qu'ils le paraîtraient vus du centre de la Terre. Pour réduire une hauteur observée d'un point A de la surface de la Terre à ce qu'elle

(') Voici de quelle manière on est conduit ù ce développement. Considérons Téqaation

fi "4in.r

b - a (M)sx'

de même forme que la précédente (a), et dans laquelle nous supposerons a<.b. En remplaçant dans cette expression tang^, sino; et coso; par leurs valeurs en expooentiellcs imaginaires, on aura

c'est-à-dire

on a d'ailleurs Ainsi

r V:ri ^ |„g(, . « e-"^) - log(. - ^ e-"^);

log(i-a;;-------3-

•» ,-T fl'

" b^ ib* ' ""

Maintenant, si Ton divise tout par 2 ^— i, et qu*on ait égard à ce que

sinmx ~

^w*/^ ^-mxi/Tî

on obtiendra, en posant . = A,

v = Asinx i — sin2j: 4- -^sinSj: H-. . . .

serait, vue de son centre T, on devra donc ajouter à cette hauteur observée la parallaxe P ou en retrancher cet angle s^il s'agit de la distance zénithale apparente; et, comme cette correction doit toujours s^appliquer eu même temps que la réfraction, mais en sens inverse, on aura, z^ étant la distance zénithale observée et ÎJ^; la réfraction correspondante à z\ ,

II. — Influence de la parallaxe sur les coordonnées éqnatoriales et écliptiques. Parallaxe d'ascension droite et de déclinaison.

La parallaxe n^illère pas seulement la hauteur des astres ou leur distance zénithale; elle altère aussi leur angle horaire et leur distance au pôle. Les changements qui en résultent pour ces deux espèces de coordonnées constituent ce qu'on appelle la parallajrv (T ascension droite et \^ parallaxe de déclinaison ,\ o\q'\ cominenl on les détermine.

Fig. T).

Soient {Jig. 6)

PZQ le méridien du lieu ;

Z son zénith ;

/ sa latitude;

V le pôle de Féquateur;

ZP«:^ h ran«;le horaire vrai;

ZPr/'- - //' Tanglc horaire apparent;

IV/^: A^^r^o" — tO la distance polaire vraie;

Va -- A'i:=yo*' — tO' la distance polaire apparente.

On a

7A*(i' ■- ZP<i h' -- h — A^V/ " paralliivo «t'aMt'iision droiir, Va' l*a- A -- A - u) — Ô)'- AC© r parallaxe de dctlinai>oii

Posons en outre Za = 5, distance zénithale vraie, et Tja!=. z\ distance zénithale apparente. Par la considération des triangles sphériques aPa', Tjl?a\ on aura

sinflr' __ sinaP«' sinZPa' sina' sinPa ~" sin aa' sinZa' "" sinPZ'

équations qui, étant multipliées membre à membre, donnent

sinZPa' 9>\i\aVn' sin P a sin Z a' ~~ sin aa' sin PZ

sinf^-i-AX) __ sinA.i,

cosCOsin^s' ""sinPcos/*

ou bien encore, en observant que sinP == sin II sin 5',

sinCA-hAX) sinAX

cosCDsin^s' "" sinll sin^' cos/'

c'est-à-dire

sinC/p -i- A-IO sinA-i.

coslO sinllcos/

Maintenant on a, en développant, dans le premier membre de cette équation, la quantité sin(A + A«l>), et divisant tout par cosAvl»,

sinll cos/(sin A + cosA tangAil>) = lang AX cos(D, d'où

sinll cos/sin A

(I) langAX= -rr :— 7,

cosUt) — sin n cos / ços A formule qu'on rend propre au calcul logarithmique en posant

, , sinlIeos/eosA

' cos CÔ

car alors il vient

sinlTcôs/sin A sin II cos /sin A (3) tangA*l,= ;=- r =

COS(Jt>(l — COSCp) /TN • , ?

^ a cos® sin' -^

Si Ton voulait avoir recours au développement en série, il suffirait de poser dans l'équation (i)

, ^ . sinllcos/

SoccHO!! . — Àstr. prat. 3

on aurait alors

d/ sinh ^^

(5) tangAX= — ^— j r = 'VsinA-h — sinaA-H. . .,

^ I — yÇOsA ^ 2

et, en prenant AA> sin i'^ au lieu de tangA^Ai, on obtiendrait

sm r ^ 2Sini ^ 3 sin i

série très convergente, à cause que l'arc «^ est très petit. Les mêmes triangles aPa' et ZPa' donnent encore

sinaPa' sinPa'a sinPa'Z sinPa'Z __ sinZPa'

sinaa' ~ sinPa ~" sinPa sin(90 — l)" sinZa'

relations d'où Ton déduit

r, , • » • sinaa' sin (oo — /)sinZPa' sinP cos/ sin A'

smaPa = sinAA» = . „ , . ' = — : — ; -zr — »

smZa sinPa sinz cosCD

c'est-à-dire en remarquant que . ^, = sînll,

//» f s • . . sinn cos/sin A' , .rv • « > ' w, (6 ois) sinA«l>= :r =? sécCDsinlI cosc sinA .

Occupons-nous maintenant de déterminer A(D ou la parallaxe de déclinaison.

On a, par les deux triangles sphériques PLa et PZa',

^„ sinCt) — cos-ssin/ pin(0' — ross'sin/

cosPZa = : j = . . ,

sin^cose cos.3 cos/

relation d*où Ton tire

sin^'(sin(3D — cosz sin/) = sin.5(sinad' — cos^ sin/), sinV sinCD — sin/(sin5' cosz — cos^' sin.5) = sin -s sin(£)\

c'est-à-dire

sinV sinOD — sin/sin(^' — z) = sin.3 sinCD.

Mais

sin(>5' — 5) = sinf* = sin II sinV; donc

(a) sinz'(sin(D — sin/ sinll) = sin^ sin(î)'.

On a d'ailleurs

. -^„ coscDsin/i c<»s(0' sin( A -^ A-t^

sinPZa = ; = -. — ; ,

sin^ sin^

d'où

,-, sinVcosCD sinA

sin>3cos(D = — ;— 7-F ^ , , «

sin(/i-T- ^X)

Divisant l'équation (a) par cette dernière, on obtient

-., sin(D — sinllsin/ . ,, ...

expression qu'on peut mettre sous cette forme

8in/sinn__ ^ sînAtan^Ct)'

cosCD ~~ sin(A-4- AA») *

Maintenant on a

^ , sinrD sinCD' sinCDcosCÎ)'-- cosCDsinCD' tang(D — UngCD = ;=- -^, = -^ ;=;-,

sin((D — (t)') sinACD

cosCDcosCD' cosCDcosCD"

additionnant cette équation avec la précédente, on obtient

sin/sinll /tv'-i. sinACD sinA tançCÎ)'

cos(£) ^ "~ cosCDcosO' sin(A-hAA))'

sin/sînTT ^,V sînh 1 sinATD

^ L sin(A-f-AA,)J coscO

cos(D L sin(A-f- AA,) I cosCOcosOO'

Maïs

sinA sinCA-J- A-l«> — sinA

sin(A + AJl>) sin(A+A«Ap)

2 sin -^^^ cos (h-i-

AJlo ^^ / ^ A«Ao\

sin(A+ A«il») sin A«li cos ( h -+- -^ — j sin (A -4- AX)cos

«in n cos/ /, A-l.

cos ( h -+-

cos O cos

On a donc

sin/ sin n tanff(t^' sinll cos/ /, A.i.\ sinA(0

— cos ( A H H ^r -zTi y

coscO ^ A.i» V 2 7 cos(£)cosC£)'

eosCQcos

et par conséquent

sin OE)' cos / cos (h

(7) sin ACD = sin n I sin/cosOE)' —

cos

On peut, dans cette expression de sinACD, écrire (D — ACD au lieim de CD'; alors, en posant

cos f /l H j

cos(A)=— ^-^.

on obtient

sinACD = sinncosA(D[sin/cos(JE) — cos /sin CE) cos (A)]

+ sinll sinACD[siii/sin(D + cos/cos(Dcos(A)],

expression d^où l'oi> tire, en divisant par cos A(D,

sînîT fsîn /cos(X> — rn<»/«în(Tï ros^A'^1 ^ "" I — sinlI [sin/sin(JE)+ cos/cosCJdco8(A)]

Mais, en considérant le triangle sphérique PZa (/ig- 6), on a

sin a Z cos Z a P = cos P Z sin P a — sin P Z cos P a cos P, cosaZ = cos PZ cos Pan- sinPZ sinPa cosP,

et, par suite, en posant Pa = 90 — (D, PZ = 90 — /, P=(/i), nZ = 90 — e, ZrtP= M,

cos e cos M — sin/ cos (D — cos/ sin (î) cos (A),

sine = sin /sin tD-h cos/cos(Dcos(A); on a donc

A/rv sin n cos £ COS M

(8) langA(D= .-rj-.

I — sin II sin£

Il reste à déterminer les angles e et M. Or, en menant dans le triangle sphérique PZ^ Tare ZD perpendiculaire sur Pa, on a

tangPD = lanj^PZcosP, puis

sin a D tang M = tang ZD = sin PD tang F^,

d'où

.. sinPD tanc'M = . — ,, tangP.

^ sinaD

On a ensuite

„ tangaD „ w^ »»

tan£;Za= ou cotaZ = cotaD cosM.

** cosM

Faisant PD = 8 et observant que aD = aP — 6 = 90" — (0 + (D),

on a donc

/ tangO =cot/cos(A),

(9) ^^''"g'^=cos(T+cO)^^"g(^>'

tang£ = tang(6-H (D)cosM.

Comme

sinPD tangM cosPsinM __ cosPsinPZ sinaD ~ tangP "" ces M sinP ~ cosM sinaZ

on a encore

sin6 cos(A)cos/ cos(t)H- (i)) ~~ cosMcose

formule qui sert de vérification.

Si Ton voulait obtenir ACD développé en série, il sufBrait de poser, dans la relation (7),

cosf Ah J cotl

(II) cotx

il viendrait alors

CCS

sinx

et, en prenant

, . sin/sinll

(lî) . X = : ,

sinx

on aurait, parce que (E)' = (D — A(î),

sin A(D = T sin(x — (D -f- A(JD)

38 PREMiâRB PARTIE. — CHAPITRE III.

c'est-à-dire, en divisant les deux membres par cosACD,

tang ACD = T sin(y — (D) H- x cos(x — (£)) tangA^D,

(r3) tangA(D= -^'"(y-®)

I — TCos(;( — ik))

Développant le second membre de cette expression et changeant. tangACD en ACDsini'' pour réduire en secondes, on aura donc

(.4) ^^xsin(x--tf))^x«sina(x-(D)^x'sin3(x-(P)

sini asini 3sini

série dont le premier terme suffit presque toujours pour les astres, tels que le Soleil, les planètes et les comètes; il est rare même que pour la Lune on conserve le troisième.