DÉTELOPPEMENTS EN SÉRIES PÉRIODIQUES

1° Siq = o, n q z=a^z=: a^, a^g = a„^g , . . . ; donc

(7) N X;,A=«[^o4- <»«"hflr,„ 4-. . .];

■r :xO

2^ S\q= -9 n étant un nombre pair, e7y=<i„y, a,t^g=za2a^qy.. .; donc

(8) \ X^acos = «.r«„-f- 03« -H. . .]•

rmo

Puisque

X sin ^j: = \ — sin (/? + ^ ) j: sin(p — q)x

H — - cos(p — q)x cosfp -^ q)xU

on trouve de même

\ X;.Asin7rA

37 L^y — ^n—q "^~ ^/iH-y — ^2/i- 9 "i~ ^2n-i-q — . . . j

Supposons maintenant, suivant le degré de convergence delà série, n assez grand pour que, dans le second membre des équalions (6), (7), (8) et (9), tous les termes, excepté le premier, puissent être négligés, il sera facile de déduire de ces équations les coefficients Og des cosinus pour toutes les valeurs de q corn-

prisesentreoet -» et les coefficients b„ des sinus pour toutes les

valeurs de q comprises entre o et 1; les valeurs plus grandes

àeq reproduisent les équations déjà obtenues, comme on le voit, en remplaçant q par n — q dans les équations précédentes. On voit aussi qu6 plus est grande la valeur de /z, plus sont exactes les valeurs obtenues pour les premiers coefficients, et que les derniers d'entre eux resteront nécessairement inexacts. Par exemple,

84 ASTROKOUIE SPDÉRIQUE.

pour w = 1 2 et 7 = 4t

Xcos4-a^ = 6(a« -h tf» -f". . .)>

et l'erreur commise sur la valeur de a^ dépendra déjà de a^; si nous avions pris n = 24» la première erreur commise sur ce coefficient proviendrait de a,^.

De ce qui précède, on déduit les équations suivantes :

/7^ = - \ X,.A cosprA ,

bp = ^ \ X,.Asin/>rA,

et si /> = o ou pz=-n on doit remplacer — par -- •

Il est toujours avantageux de prendre pour n un nombre

divisible par 4) car chaque quadrant est alors divisé en un

nombre exact de parlies, et les valeurs des sinus et des cosinus

se reproduisent aux signes près. Puisque les angles^ dont la

somme est 36o®, ont les mêmes cosinus, on ajoutera d*abord les

valeurs de X dont les indices donnent une somme égale à 36o°,

et on multipliera le résultat par le cosinus; dans le cas des sinus,

au contraire, il faudra retrancher Tune de Tautre celles dont

^ les indices donnent une somme égale à 360**. Désignons par X,.a

la somme des deux quantités X, a -^ X(„r)A > P^r X,.a leur différence X,.A — X(„ r)k •

A COSprA,

bp^z— \ X^Asiïï/^''A.

Soient encore X;.a et X^a ^^ somme et la diiïérence des deux