DÉYELOPPEHBNTS EN SÉRIES PÉRIODIQUES

OÙ iz=: ^ — I -y nous aurons

'PnA

\ cos hrk-\-i \ sin//A-Az=z \ T*"*;—

r=:o /'=ro r = n

et puisque

T"^ =z C0S2// TT H- / sin2 /iff z= I ,

le numérareur de la fraction est nul; on a donc en général

f=zn — T

(i) y sin/frA = o,

rrro /•=/! — I

cos//rA = o.

Cependant, si le dénominateur est nul, c*esl-ù-dire si T^ = i^

la fraction se présente sous la forme — : mais alors sa valeur est /?,

comme on le voit, en se reportant à Texpression proposée; Téquation ( I ) subsiste donc, et le second membre de Téquation ( 2 ) est égal à n\ cette exception correspond au cas où /<A = 2/-^, c'està-dire lorsque h est divisible par n.

Des deux équations (i) et (2), on déduit facilement les suivantes dont nous ferons usage :

(3) N sin/irAcos//rA = - \ sin 2/irA =11. o;

t r\ , J COS' hrk = 1 > COS 2 /irA = - en général,

W \ Là 2 2 Z^ 2

== /> pareiception;

tf\ ! y *in^ hrX 7= > ces 2 hrA = - en génétM,

■=L o par exception.

27. Détermination des coefficients ci'* une série périodique à i*aide de valeurs numériques données.

Posons

X =\ (apcospx -4- bpS'\np,T)y

où p prend successivement toutes les valeurs entières à partir de o, et soit q un nombre déterminé, nous avons

X COS qx=:\ I -^ COS (/? -h 7 ) ^ -i ^ COS {p — q).v

bp

sin(/7 -{- q)x + — sin(/? — q)x

Dans cette équation, donnons successivement à x les valeurs

O, A, 2A,. . ., (/z — i)A, où A= — ) et ajoutons les équa-

tions obtenues; d'après les formules (i) et (2) du n®26, le second membre sera nul, sauf la somme des termes cosinus dans lesquels p -\- q ^= lîn ou p — q = hn^ somme qui contient le factenr «.

Si l'on désigne par X,,a 'a valeur de X correspopdante à la valeur rk de or, on a

LesigneN du second membre s'applique à toutes les valeurs vn

tières de A", mais dansX il ne peut y avoir aucun coefficient à indice négatif, on doit donc poser a^g = o et on a

\ XiaCOS^z-A

Ici se présentent deux cas particuliers :