VI
- 7 XrK^înprA, si p
est impair
Soir, par exemple, // = ii ; on aura
at
[Xo -f- X30 + Xg) -f--f- -4-4- -f--f-
[Xo -h XjoCOsSo 4- 4—
^ rXo 4- Xjocosôo
XcoCOSÔol) XeoCOsGo — X90I»
bi = -^ rXjo sin 3o -h Xco sin6o -h X9»] ^
[X3oSin6
eoSinCol*
86 ASTEONOHIE SPHfiRIQUB.
28. Identité des résultats obtenus par cette méthode, et de ceux que donne la méthode des moindres carrés. — Si Ton veut avoir le développement d^une fonction périodique jusqu'à un terme déterminé, il faut connaître autant de valeurs numériques que l'on veut calculer de coefficients. Quand même les valeurs données seraient exactes, on n'obtiendrait les coefficients qu'avec l'exactitude que comporte la théorie, iet d'autant moins exactement pour un coefficient, que son indice serait plus grand par rapport au nombre donné de valeurs. Mais si ces valeurs de )a fonction sont déduites d'observations, il convient, pour éliminer les erreurs d'observation, d'employer autant d'observations que possible, et, par suite, de diviser la circonférence en un nombre de parties plus grand qu'il n'est nécessaire pour la détermination des coefficients. Dans ce cas, on traite les équations par la méthode des moindres carrés; cette méthode donne, pour la détermination des coef&cients^ les mêmes équations que celles du n® 27 ; les valeurs obtenues sont donc les valeurs les plus probables.
Soient, en effet, Xo, Xa, X,a» • • •> X(„i)a les « valeurs données par les observations, et supposons que la fonction se réduise à la somme a^^ + /r, cosx + ^isin^r, nous aurons les équations
O ==: — Xo -+- €?o -+- «I ,
o = — Xa 4- ^» 4- «1 cos A -f by sin A ,
O = — Xa A -+- //o -+- ^1 COS2A -f- ^, SÎU 2 A,
o = — X(„,)A 4- «0 4- «iCOs(/î — i) A -f^, sin (/î — i) A;
d'après les principes de la méthode des moindres carrés, les équations du minimum sont les suivantes, où [cos A] désigne la somme des valeurs de cosr A, prise de r==:oà r = /? — i,et ainsi des autres :
i/îûo -f- [cos A] a, -i-[sinA] bx — [Xa] = o, [cos A] tfo 4- [cos* A] âr, + [sin A cos A] b^ — [Xa cos A] = o, [sinA]«, 4- [cos A sin A] a, 4- [sin*A]^i — [XAsinA] = o.
A l'aide des équations du n° 26, les précédentes peuvent
