CALCUL DE LA RÉFRACTION MOYENNE

quicontiennent/donnento", 12. La réfraction est donc — 3i5",2o, valeur voisine de celle donnée par Bessel. Cet accord a lieu encore jusqu'à z = 86** environ, et les réfractions calculées représentent bien les réfractions observées. Près de Thorizon, les valeurs déduites des formules de Bessel sont trop grandes, et les valeurs calculées par la formule d'Ivory sont trop petites; pour d'aussi grandes distances zénithales, il vaut donc mieux, comme Va fait Bessel, déduire des observations mêmes les valeurs des réfractions et construire des Tables spéciales ; en effet, pour.la réfraction horizontale.

on aurait donc par la formule de Bessel

Sz, = — ^ i/^ fe-P + 2^ ap e-^-^ -H 3^ ^ ^»«&+ . . .1 ; d'un autre côté, à l'horizon, on déduit de celle d'Ivory

réduites en nombres ces formules donnent : la première 36' 5", la seconde 33' 58", et l'observation 34' 5o", à peu près la moyenne des deux.

Tant que la distance zénithale n'est pas trop considérable, il n'est pas nécessaire d'employer les formules rigoureuses (k) et (/), mais il vaut mieux se servir de leurs développements en séries. Dans la formule (/) substituons, au lieu de >|;^'i), 1^(2),. . ., les

séries trouvées au n° 17, et remplaçons -^— par (n-cot^z\

" sin^z "^ ^

nous aurons

+ ~ tang^z- -^ tang'2 + -^ tang'z - . . . ,

2' )/2p^{i) = tangz lang»z

+ J|5 Ung'z - ^, tang'. + -i|^ tang'* - . . . .

222 ASTRONOMIB SPHÉRIQUE. I

et par suite

X / / 3 Oa Io5a\

(i5 io5a i5n5oL\ , "i

et en substituant les valeurs numériques

Sz ==[1,759845] tangz — [2,821943] rangez

-h [4,383727] tang^z — [6, 180257] tang'z — ...,

où les nombres entre crochets désignent des logarithmes. Les termes qui contiennent/ sont d'ailleurs

'7^5; „ 463o5 „ -| + -^tang»z---^tangHzJ,

ou bien

— ([5,5o6 187] tang'z — [7» 7 '45 10] tang^z

+ [9*901 468] tang»z — [Tô,oi8568] tang"z).

Pour 75** on trouve, d*après ces deux séries, 21 1*^,39 et — o",02 et par suite ^z = 21 1", 37, valeur conforme à la formule.

Ivory donne, dans les Philosophical Transactions pour iSsS, d^autres séries qu^on peut employer pour toutes les distances zénithales.

75. Calcul de la réfraction pour un état quelconque de Vat' mosphère. — Les formules précédentes donnent la réfraction pour chaque distance zénithale, mais elles supposent un état particulier de Tatraosphcre qui correspond à une température de 10® centigrades et à une pression barométrique de o"*, 760; la réfraction pour cet état normal s'appelle réfraction moyenne. Si l'on veut

RiPRACTION VRAIE. £23

avoir la réfraction relative à une antre température t et une autre hauteur barométrique b^ il faut chercher comment la réfraction varie avec la densité de Tair, c*est>à-dire avec Tétat des instruments météorologiques dont celle-ci dépend. Soit m le coefficient de dilatation de Tair ; prenons à la température de lo" un volume d^air égal à Tunité, ce volume à la température r sera devenu H-m(T — io);la densité de Tair à la température t aura^ avec la densité correspondante à la température io°, un rapport égal

à . : d'autre part, d'après la loi de Mariotte, pour

H-/w(t — lo)' r > r >r

une même température, le rapport entre les densités de l'air à la pression barométrique ^ et à la pression ^60 est -^* Soit donc p

la densité de Tair à la température r et à la pression b^ p^ la densité correspondante à l'état normal, on a

et puisque la quantité a qui entre dans les formules de la réfraction moyenne, est^ pour de petites variations de la densité, proportionnelle à la densité, la fora)ule »

76o[i -h m (t — lojj

donnerait la réfraction vraie si le terme renfermait seul a,

car le diviseur i — a peut, en raison de la petitesse de a, être

traité comme constant. Mais le coefficient de ce terme, que nous

désignerons par Z, contient encore a, et de plus p fonction de la

hauteur / d'une atmosphère de densité uniforme à la température r,

et par suite variable avec la température, / = /^ [i -f- m (t — 10)].

On obtient donc la réfraction vraie par la formule

. , Sz b Cf. dZ . .

, , , i-f-m{T — 10) noo I — a û^T

mais comme l'influence des deux derniers termes est fort petite, on peut, pour la commodité du calcul, poser

(/W,) OZ =1 • ; rr 1 —7:— | J

^ '^ [i-t-//i (t — lo)]'-*-/' \7bo/

en développant et s* «arrêtant aux termes du premier degré, on a

(/î) ^z'——^ ^ r-^ I— /w(t--io)/?-|-{-77 \\qV

^ ' i + /w(t — loj 760 L \700 / J

des formules (m) et (/i) on déduit pour/? et q les valeurs

a éfL I a cLTa 760

I — oLdT m$xZ I — a db ^, z

Sz b

où 5, 3 représente l'expression

L'introduction d'une certaine quantité de vapeur d'eau dans l'atmosphère en diminue la densité et par suite la puissance réfractive ; mais, comme Laplace l'a remarqué le premier, cette diminution sera presque compensée par l'augmentation du pouvoir réfringent due à la présence de la vapeur d'eau. La quantité a ne varie donc presque pas avec l'humidité de l'air, et puisque l'influence d'une pareille variation sur les quantités p el q est insensible, l'état hygrométrique de l'atmosphère ne doit point être pris en considération dans le calcul delà réfraction [*),

Pour obtenir l'expression de p et q, il faut déterminer les dérivées — r ) -tt; nous ne ferons le calcul que d'après la formule dx do

d'Ivory : on le conduirait d'une façon analogue pour celle de Bessel. Si l'on pose \ = -^, Q = (t + T^ ^KI) — -, la formule(/) donne

z= v'ip (>!.(i) + (> - 2/) [s/i^K2) - >K.)] +/q);

(") M. Jamin a montré r(îcemm«nt, par des expériences Irès-précît^} qu^à ao<^ la difierence entre les indices de Pair sec et de Tair saturé n^était que de 0,000000726 {Annales de Chimie et de Physique, 3* série, t. LU)

BÊFRACTION VRAIE. 2:^5

d'où Ton conclut

-car / est un facteur indépendant de la température vi de la pression barométrique.

De plus on a

^{i)z=e-'r'i 1 e-''(it oii T, =i/êcot2,

' e-^^cit oii T,= v^cotz, T.

■et puisque diaprés la Formule (p) du n** IC

-^=2T.>K0-I et -J;A--:::^2T,^^{2;-l,

' «on trouvera pour expression complète de dZ,

TÎ'l'(2)-^')V='(^-2/)]

D'autre part

d'où

doL

et, par suite^

(icf. h — 760 , .

— = rr^ m T — 10);

226 ASTRONOMIE 8PHÉRIQ0B.

et puisque, dans Thypolbèse d^Ivory,

ap ., . d\ da dp b— 760 sin'z X a p 760 ^

\\ vient, en remplaçant ces différentielles par leurs valeurs et /

par -9

if

»-|)(ti*w-|-)^]

Ainsi pour la distance zénithale 2 = 87® dont la réfraction moyenne est ^z = 852", 79, le calcul est le suivant :

JOgTi = 0,01 3 175, log[v'2 ^j/ (2) — i(*(l)J m: 2,6o5o2I ,

JogT, = 0,163690, IoçTt', ^(i)— îil =7,081 168/?,

'ogj T! 4'(2) — ^J =7,191771/1, et, par suite,

g$zz= i9",7i, 7 = 0,0281,

Si la distance zénithale n*est pas considérable, on peut calculer p et q par des séries analogues à celles que nous avons données n° 74. Différenlions, en effet, par rapport à a et p les coefficients

Je dans {/, ) et (/j), nous trouverons facilement les séries