LIVRE IV, G H A P. VIL ai
entre ces deux pressions donne la pression suivant — x'zz. i — -A dxdf dzzzi
(— , ) S: d'où résulteront les forces accélératrices, f— ,]. ( — ^). ( — -A» suivant — x, — y, — z'. Dans le cas de l'équilibre ces forces doivent être égales aux forces A, B, G , suivant -\- x' , -\-y', -\- z , ce qui donne les équations suivantes,
Si on les multiplie respectivement par dx, dy', dz, et qu'on les ajoute ensemble , en observant que p est fonction de x' , y, z, et par conséquent dp zn (t:^^} ^■^■'-f- ( 7~v) ^y H~ (t"?) ^ --f ^^ ^"'"^ féqualîon dpziL Adx -\h cf y' -\- Cd z'. Rclalivement à un point dans la surface du sphéroïde, la pression p doit eue nui'.e: ainsi on aura o ::::::. A d x^ -[- B d y' -\~ C d z' , et en substiiuant les valeurs IV,
les termes suivans n'ayant point le facteur x' dx', y' dy' , ou z'dz'. Or le point S' étant supposé à la surface du sphéroïde, il est assujéti à réquation (i) (§. ii9.), dont la différentielle est
Si on fait pour abréger
réqualim (lo) deviendra
o^nx dx -\- — y dy -\- -~ z'dz-\- cet.
ce qui étant comparé avec l'équation (ii), donnera, en égalant séparément les coefficiens àe y dy' et de z'dz!, les deux équations suivantes, (12) L=:(i+X=^jM, L = (i + V^;N.
§. 146. Si on veut appliquer les formules précédentes à la Lune, S est la masse de la terre, R la distance de la lune à la terre, et cette ligne ne s'écarte pas sensiblement de l'équateur lunaire , ou du plan des y, z, parce que réquatcur de la lune coïncide à très- peu près avec son orbite. En prenant donc pour l'axe des y le rayon de la lune, qui est dirigé vers îa terre, on aura jn^R, et :r = .^==o, ce qui change L, M, N (k) (§. i45.), en
Lzi:2trô-F-T, Mrz/4-2T+2Trô-(^p), N =/-- T -f- a^rô' (^,-j.
Puisque la rotation de la lune a îa même période que sa révolution autour de ia terre, les forces centrifuges, ducs à ces deux mouvemens, seront égales à la même distance R: donc, la première étant /R, et ia dernière—,
on aura
f— zrT f/V La substitution de cette valeur donnera
L = 2^ÔF-T, M-3T + 2irô-(^^^), N = 2 tt ô' (^^^') ; ainsi les équations (12) prendront la forme
(i3) , . . . . 2'7r5F = 2xô(i -f X^) (~^^ 4- (44.3X^)T,
(,4) , . . . , ^-rrôF- 2^5(i+X'^) (^] 4-T.
îi'intégration des fonctions ^A~~T'-r')» (~Yy7~) ' ^^t singulièrement facilitée par la considération que l'aplatissement de la lune est si petit, qu'on peut négliger les produits de a et a. Cela posé on aura (§. i4^- (g))
Si on substitue cela dans les équations (i3) (r4), elles deviendront
87rôX^=i(6o-4-45X=^)T, et SttôV^'zziST.
Puisque ô' est multiplié par X^ ou X'% et que les puissances plus élevées &e X et X' sont négligées ici, il faut faire ô" n: i {à) {$. iSq.), d'où il viendra
L î V R E IV, C H A P. VII. i%
Si or. suhstilue la masse de la lune, M zr iivSa^ (§. iSg. (2)), T =z — ^ (§. i44- CO)j s^ qu'on fasse pour abréger,
~ zizm, —mn, il viendra
Or on a «=: (II. S. 2i4- 2i5.)j mizzn^ {§.63.), partant ân^.rr 3r24S583:
d'où l'on tirera
X^izzazn — ——--•=1:0,0000734^67,
X'^ zi: a' zz: — n: o, ooooi8354-2.
Mainfenani il faut se rappeler que (§. iSg. (a'^) a zn — , a' =z - — -— ,
^, . ., . . r &»-C=»__ (&-rc)(&o) ^'\ ,, û^' /
O OU il vient a — azz-azz. r — — ^ , ou a très -peu près
■^ a zn , partant
h — c i5m i5S a^ -^ zzr — • ■ — =1 — • — • — zz: o, ooooanoJia ;
ce qui est l'aplatissement de l'équateur lunaire. On a de plus azz:^— — ~^\f donc à très-peu près
zz: — zn 0,0000007000 et zz: — zz: — - • zz: o, oooooqt 77;
ce qui est l'aplatissement de l'axe de la lune, relativement au diamèire de
l'équateur, qui est dirigé vers la terre, et à celui qui passe par ies bords du
disque lunaire (Voy. §. ii3.)j le premier est quatre fois plus grand que le
dernier. Il en résulte que l'aplatissement de l'équateur lunaire est trois quarls
de celui de l'axe relativement au plus grand diamètre de l'équateur, el trois
fois plus grand que l'aplatissement de l'axe par rapport au plus petit diaiiiè-
ire. L'analyse précédente suppose, que la lune a été une masse fluide et
homogène au commencement de sa consolidation ou crystallisaîioni mais on
a vu dans le Chap. V, que suivant les observations,- la lune est beaucoup
plus aplatie que suivant cette hj'^pothèse.
%. 147. L«i figure de la terre dépend de sa rotation seule, parce c^xxq
la masse de la lune est trop faible, pour alonger le sphéroïde terrestre d'une
a/jo A S T R O NO MIE PHYSIQUE
manière sensible. Il faut donc faire T ziz o dans les formules précédentes, et supposer que la terre est un sphéroïde de révolution; ce qui donne azz«', ô'= 1 i- a=: 1 H- X^- (§. 143.), et (§. i46.)
/d.FX\
Ainsi les équations (12) donnent aTrFzzy-j-aTr^i -j-X^j (-rr-jj ou en faisant
Maintenant il faut se rappeler {^. 142. {g)), que F est une fonction de X et de X', d'où il suit d¥ zn ( — j d\-[- ( w) ^"^'^ *^^ ^^^^^ ^^ cas présent où
X' est égal à X, dYzno. (-— ) dX. En désignant par G ce que devient F, si X'zzX, on aura relativement à la terre, 3Fzr [-r-r-] 3Xir:2 (tt) ^^5 ^^
(^) ^^ = i (^) ^^' or (~) = ^ + ^Q-- "'où il résulte pour le cas que nous considérons,
llH) — c -L- f^-^^ — — ^^-^-^^
d\ J 1^ 2 v^X/ 2X V 5X Nous avons déjà trouvé (§. i43.) G m -( 1 — T ^^^ ^S-'^)j ^'^" ^'on tire
/^.GX'\ 2X— 2(i4.X') Arc tg.\ /^.FXA __ X — (i +X' . Arc tg. X
V~^>r/ ~" X= (i 4Ôr») ' ^ (^ ^ X / ~~ X^' (I -h X=) *
«e qui étant substitué dans l'équation (î5), donnera
o zz: r X3 e -[- 3 X — (3 -]- X^) Arc tang. X, d'où il suit
(i6).....Arctang. X=z -^-^^-^,
la même équation que nous avons trouvée par la méthode précédente (§. i36. (4)), g étant ce que nous avons désigné ici par e. Il s'en suit (§. i36.)
§. 148. Les forces A, B, C (§. i45. IV.), qui sollicitent chaque élément suivant -|- x', -\- y , -|- z , éiant prises négalivement, donnent la pesanteur de cet élément suivant — x' , — y, — z . On aura donc, en faisant T zz: 0, la pesanteur, altérée par la rotation, suivant — x' , < — y', — z'^
