CHAPITRE IL

Le Problème des trois corps»

§. 157. M-Je mouvement des planètes suivant les lois de Kepler se fait dans un plan invariable, et il est tout simple de prendre ce plan de l'orbite pour celui des coordonnées: ainsi nous n'avons eu besoin que de deux coordonnées dans le I. et le II. Livre. Nous allons maintenant considérer les actions mutuelles de deux corps qui ne se meuvent pas dans le même plan, dont les orbites mêmes ne sont pas dans un plan invariable: il est donc nécessaire de rapporter le mouvement troublé à un plan fixe qui n'est pas celui de l'orbite j et pour cela nous aurons besoin de trois coordonnées, pour déterminer le lieu de la planète troublée.

Soit (iig. 3g.) S le corps central, SA une ligne fixe d'où l'on compte les longitudes, AS Y un plan invariable d'où se comptent les latitudes, Z la planète troublée par l'action de la planète Z'j abaissons les perpendiculaires ZY, Z'Y', sur le plan AS Y, et YX, Y'X', sur la droite SAj menons Yj, Zz, parallèles à SA et à Y Y', et faisons

SX — a:, XYzzj, YZzn^, SX'rz:^, X'Tznj, Y7l-zz', les rayons vecteurs SZ zz: r, SZ'zz:/^ et la distance entre les deux planètes ZZ'z::^. 'Cela posé on aura

§. i58. Comme l'objet de l'astronomie n'est pas le mouvement absola des planètes dans l'espace, mais leur mouvement relatif auïoui; du soleil, il faut appliquer à la planèle Z, outre les forces qui Taniment, encore celles

26o ASTRONOMIE PHYSIQUE

qui sollicitent le soleil S, suivant la direction contraire (§. 5'j). En désignant donc par S, Z, Z', les masses de ces corps, et par C la force accéléra-

tiice du corps central à la distance zn i , cette force à la distance r sera

R zz — , G étant =: — ,§. '27. (7)1^8)). Nommons 2.a, ih, e, le grand axe,

le petit axe, et le paramètre de l'orbite de Z, et faisons pour abréger, la constante Crz: — , de sorte que

cela pose 1 accélération - — ou — - que S imprime a Z suivant Zb, sera as'n.zr--» Or les accélérations étant en raison directe des masses agissantes, et en raison inverse du carré des distances, raccéléiation de Z en vertu de l'action

de Z' suivant ZZ' sera — • -j, et celles de S en vertu des actions de Z et de Z' suivant SZ et SZ', seront - • -z et -- • -7-. Si on exprime toutes les masses par celle du corps central, et qu'on fasse — =:/n, ■- znm' , la planète Z recevra les accélérations

— ^^—5 — - suivant Zb, — — suivant ZZ , et — ,-j- parallèlement a Z S,

la première étant due à la force centrale , conformément à la théorie de la pesanteur universelle (§. 5^.), et les deux autres dépendant de la force perturbatrice. Si on les décompose suivant les directions des coordonnées ^f y> *^ Is première donnera, en faisant i -1~ m zn |u,, les accélérations

- — — suivant XS-zz — x, — ^ suivant ïXin — r. — —suivant ZYziz — zi

1 1-1 "^^ ^ rr m'B , , „ „, - .

la seconde donnera—— Zs et ^Z suivant Zz et sZ', ou bien

m'Bfcc'— .:c) . ^ , m' h [y'— y) . ^ . rxf Q [z' — -z) . , , ^^-^-^ suivant -\- X, ^— — =^ suivant -f-j^ -^ -suivant -[-■s/

la troisième donnera

— T-— suivant — X, — — — suivant — y, — rr— suivant — z.

En nommant donc X', Y', Z', les accélérations des forces perturbatrices suivant — x, — y, — z, on aura

L I V R E V, C H A p. ÏL 261

et les accélérations de la planète Z suivant — x, — y, — z, seront

Faisons pour abréger,

idVC^ élant la différentielle de la fonction E., si on ne fait varier que les élémens de la planète m, ou les lettres sans trait: cela posé on trouvei'a par la différentiation,

(e).....X'=B(^). Y=B(i^). Z' = Bp.

§. iSg. Si l'on substitue les valeurs {c) et {e) dans l'équatioa fondamentale, fournie par la dynamique (§. i^j. n. 4)» '^ viendra

iiL o = ^^ ! ^ L /i!^ ,

d'où l'on tirera

f xd$y — ydâx f ^'^\ /""^"^

^"5 S ÏÎ75 ='{7;)-^{j^)'

Si on intègre ces équations, en faisant pour abréger,

f/) )\\Ji}-^ (57;^'="'='

il viendra

2^i ASTRONOMIE PHYSIQUE

x^y — y'èx x'è% — 'zdx , ^âz — zdjy ^,

^^^ ~~ir^r'~ --' ""^ " i^t —''' b7> — ''^

d'où l'on tirera Féquation

(A) ..... o ^ c"x — c'y + cz.

En substituant ( i) r^zz. Tc^-l-j^ 4- s' ^ r3r = «3a; ^-j9j' 4" ^^^^ *^^°s difïéreiitielles,

X r^^x — X .rir y T*^y — y .y'èT z T'^'d'z=-''z,T'èT

on aura

X T" a X — X . r0-r -s y r- cf y — y . tôt a

3C y[y'èx — x'èy"\-^^{z'èx—'X'è'z\

y x{x'ày — jy5x^ -f- z (2 3jy — ^^~)

x{x'è'z — z5x) -f-;y (:>'^z — 2;dj)

€t par les équalions (3),

Si l'on élimine -r, ^, -r, à l'aide des équations I, II, III, il viendra

X Cd dy -i-c'ddz

'^ r ât ^ C \àzj \dxj S

z c'ddx-^c' ddy

Intégrons ces équations par parties, et faisons pour abréger,

f, f', f", étant des fonctions des forces perturbatrices m% qui deviennent constantes, si ces forces sont nulles, parce qu'alors les différentielles de Rj c, c', c", s'évanouissent {d) {J' ). Cela posé l'intégration donnera

L I V R E V, c H A p. II. a63

zz

dx

'*èy

âf

En ajoutant ensemble ces trois équations, après les avoir multipliées respeclivement par x, y, z, et substituant au lieu de c, c, c'', leurs valeurs (3) , on trouvera

La somme des équations I, II, 111, multipliées respectivement par docj dy^ dz, donnera, à cause de xd x -\- ydy -\- zd z zn rdr,

dxddx -^ âydBy -hdzddz . pL d r , ^^^.

dont l'intégrale est

o ~ ^yji -^ 2/(9R) 4-const.

Dans l'orbite non troublée l'élément de Tare elliptique ds eslzzLyÇdx'^+dy'^-i-Bz^)^ et l'équation précédente devient , o =z 1- const. Mais la vitesse

rprr— - est donnée par l'équation, v^ ziz 2g/^ (— j (§. 33. (i)), ^gj'^

étant (§. 32. (3)) zz Bjo-, à cause du mouvement relatif, d'où l'on tirera

•y* zz r-i ^^M-Bf jj ce qui étant substitué dans l'équation o zz

.-^-r \- const. donnera, const. zz — . Ainsi on a

" = 8775-^ + 7+ ^■^(^^^- Si l'on ajoute cette équation aux équations I, II, lîl, multipliées respectivement par X, y, z, il viendra

^- 3s*-hxèdx-hyddy~^.z95z f^ j, 1^ r m\ jr *> r f7>-R\

Le premier terme est ' ^j ainsi cette équation devient

îi6i ASTRONOMIE PHYSIQUE

§. i6o. L'équation (A) (§. 159.), étant du premier degré, est celle d'un planj et comme les coordonnées a:, y, Zj sont les mêmes que celles qui déterminent le lieu de la planète m, ce plan est celui de l'orbite de m. La position du plan de l'orlDite est donnée par les quantités c, c' , c": elle sera donc invariable, si ces quantités sont constantes, et ne sera point altérée par les variations des coordonnées x, y, z, ou du tems t. Si les forces perturbatrices m sont nulles, R et de, èc, de", le sont aussi [d) {f); par conséquent le plan est alors invariable, et son déplacement dépend des variations de, de, de", dues aux perturbations. Mais les éléraens c, c' , c" , varient si lentement, qu'on peut les regarder comme constans , et le plan tomme invariable, pendant que les coordonnées prennent les accroissemens "èx, dy, dz. Il est aisé de s'assurer de celte vérité importante. Si l'on ajoute ensemble les trois équations (3) , après les avoir multipliées respectivement par dz, — dy, dx, il viendra ozud'dx — cdy -\- cd z, et il résultera la même équation , si l'on difïérentie (A) , en supposant c, c', c' , constans. Il s'en suit qu'en formant les premières différentielles de toutes nos équations, par rapport à t, il faut regarder c, c', c' , comme des quantités constantes, et que, malgré les perturbations, la planète doit être censée se mouvoir dans un plan, dont la position varie d'un tems à l'autre, mais si lentement, que ses variations sont proportionnelles au secondes différentielles ou au carré de dt. Le mouvement troublé est donc, à l'égard du plan de l'orbite, le même que le mouvement non troublé, avec cette différence, que les élémens qui déterminent la position de ce plan, sont assujétis à des variations qui sont de l'ordre des masses perturbatrices m'. Puisque les quantités c, c' , c" , sont introduites par l'intégration des équations (2), elles doivent renfermer les constantes arbitraires, ou les élémens du plan de l'orbite, et serviront à déterminer ce plan.

Si on fait zzizo dans l'équalion (A), elle déterminera, pour un instant donné, l'intersection de l'orbite avec le plan des x, y, que nous supposons être l'écliptique. Soit {Fig. 'ôq.) SMNQ cette commune section, SXrr.x, XMzrj; cela posé l'équation (A), ozzic'x — cy, donnera le noeud ascendant, les ordonnées YZms étant supposées se diriger vers le nord. Ainsi, en

L I V R E V, C H A p. IL a65

nommant J la longitude du noeud, r\ rinclinaison de l'orbite, faisant tangi^zz^, et prenant pour axe àes a; la ligne SA dirigée vers le point vernal , on aura tang J rr: — =1: — . Si du point Y on abaisse la perpendiculaire YN sur la li^ne des noenris , on aura YNE^tti, XM=ra;tgJn:— -jc,

M Y =:j ~ XM = tlJHl— ^-,z (par l'équation (A)), YN =: ^ s cos J^ Z Y c' "^ '' c ■"

et é iz: 1= — sec J; d'oii l'on tirera les équations suivantes,

YN c ' ^ '

(6) tang J =1 —, Ù-zz ^-^ , 5 sm J 3Z — , ô cos J =: — .

Puisque les inclinaisons é de toutes les planètes sont très-petites, et que sin J et cos J sont susceptibles de toutes les valeurs entre i et — i, il suit des équations précédentes, que c% c'% sont des quantités tiès- petites par rapport à c.

§. ï6i. En opérant de la même manière sur l'équation (B) , on trouvera des résultats analogues relativement à la figure de l'orbite troublée. Cette équation, étant du second degré, nous apprend que l'orbite troublé© est une section conique, dont les élémens dépendent des quantités 7^ y'^ y'', qui sont constantes, si les forces perturbatrices sont nulles (§. iSg.), et qui le seront encore , si l'on fait abstraction des secondes différentielles. Pour le prouver, ajoutons ensemble les trois équations (5), après les avoir multipliées respectivement par dx, dy, d z: il viendra p.d rzzzj^d x -{-J^ dj -{- f d z, ce qui est. la différentielle de (B), les quantités c, c', c' , f, f , f , étant regardées comme constantes. Il en résulte, comme ci -dessus (§. 160.), que malgré les perturbations, la planète décrit dans chaque instant l'arc d'une ellipse, dont les éiémens sont assiijélis à dç,% variations de Tordre des masses m', qui ne se manifestent que dans les secondes différentielles. Pour déterminer les élémens de l'orbite troublée, savoir le grand axe zz 2 a, l'excentricité zz: 7, et la longitude de l'aphélie zztc, faisons pour abréger,

^ <-of- c'f - M, cf . h df" =. N.

Si on ajoute ensemble les trois équations (5), multipliées respectivement par a" f — • dp G, et qu'on substitue (A), on auia cette équation de condition^

(7).....o=zc"/-~cr + c/'.

Rapportons maintenant le lien de la planète m à trois nouvelles coorclonnées, ^. ^, xp: la théorie de la transformation des coordonnées donnera trois équations linéaires de cette forme,

les coefficiens D, E, F, etc. étant donnés par la position du plan et des axes des nouvelles coordonnées. Comme cette position est arbitraire, on peut déterminer les coefficiens à volonté. Supposons donc

Cela posé les valeurs de L, M, N, {h) donneront

(8).,...o — Le — Me' — Ne", et o zr L/^' 4- M /' -^ N/, et si on substitue dans les équations (i) les valeurs (h) y]) (8), on trouvera

(9I . , . . . c"x-^cy+cz = n^, eifx ^f'y^f" z-X'^, La comparaison de la première avec Téquation (A) donne ^ = o, et la seconde devient par l'équation (B), jarni BII^ + X^. La somme des carrés des équa-

tions 0 donne, à l'aide des équations [h) (7) (8), r^zz^^-h^^-j Ï7»X^ — ^*'

et l'on trouvera (/ï) L- + M^ -|- N" zz n^* X= — (c"/— c f -f cf'f zz n^ X% parce que le dernier terme est nul (7). Ainsi la d&rniëre équation deviendra ;^2 — ^2 | t's -^ \{;2^ d'où l'on voit, que les coordonnées f , ^, 4-, ont la même origine que x, y, z, et que le plan des Ç, 4», est l'orbite même, à cause de f zz o. La comparaison des équations , *^ zz: ^* -f- 4^ et nr zz B 11^ -4- X ^, donnera

(10) ,u,= 4=^ =:B' n^ -}- aBn'^ X^ 4- (X*— fi^) 'e,

ce qui est l'équation de l'ellipse, les abscisses ^ étant prises du foyer sur le grand axe vers l'aphélie- En nommant u l'abscisse prise du centre, e le paramètre, %a, ib, le grand et le petit axe, 7 l'excentricité, on aura wzzÇ — a7 , et

ce qui étant comparé avec l'équation (xo), nous apprend que le paramètre est a B n= „ . . , X , , , e 2 B n» a „ ,

-= , lexcentncite —, et le grand axe — tt^zz-t — —-z. On aura donc

(3n).,„.,ezz: -^— , 7= -, flzz -, Petantzz -^■^^.