LIVRE V, C H A P. I. a

Puisque les équations séculaires de dififérentes planètes, ^ zzL ^

•ont comme nar, ou comme ii^a, et suivant la troisième loi de Kepler, comme y —, on trouvera les équations séculaires pour 2000 ans , de Mercure

Ci'

zrS'^So', de Vénus rz38', celles des autres planètes étant insensibles.

On verra facilement, que cette hypothèse ne suppose pas nécessairement un fluide gravifique, mais qu'elle se réduit à ce qui suit. La pesanteur poussant tous les corps vers le soleil , et leur imprimant une accélération, il faut lui attribuer aussi une certaine vitesse, qui doit être bien distinguée de celle qu'elle imprime aux corps, attendu qu'en vertu de la réaction eîle ne peut agir sur les corps qu'en tant que ces derniers lui résistent, ou qu'ils ont une vitesse, ditîérente de la sienne. Chaque corps sera donc soumis à îa pesanteur, pourvu qu'il n'ait déjà la même vitesse vers le soleil j et pour que l'attraction du soleil n'eût aucun effet sur les planètes, il faudrait qu'au commencement de leur existence, une vitesse vers le soleil, huit millions de fois plus grande que celle de la lumière, leur eût été imprimée.

On aura remarqué que cette hj'polhèse n'explique point les équations aéculaires de Jupiter et de Saturne, dont l'une est positive, l'autre négative^ et l'on verra par la suite, qu'une véritable équation séculaire n'existe point dans le système solaire»

§. i56. Si on suppose la théorie de l'attraction, découverte par Newton, les principes de la Dynamique (§. l'j.) fourniront les équations différentielles du second ordre, qui renferment en n ême tems le mouvement elliptique et les perturbations. La première intégration n'est pas difficile: elle donne des équations différentielles du premier ordre, qui renfermeni les variations de tous les élémens. Mais la seconde intégration, qui donne pour chaque instant, la longitude et les autres élémens , a éié essayée inutilement par les plus grands géomètres des tems modernes, qui ont traité ce problème de différentes manières; et l'on a reconnu, que l'intégrale exacte, quand même elle ne serait pas impossible dans l'éiat actuel de l'analyse, serait tellement compliquée que, pour lui donner une forme favorable pour le calcul, il faudrait îa développer en série. Ainsi la s^w\q méihode, qui soii en notre po-uvoir, est une u-^froximaiion q^ui consiste à rejelter les quantité» qiû sont Irès-peiiie®

a56 ASTRONOMIE PHYSIQUE

par rapport aux autres, et à représenter l'intégrale par une série, dont la forme est indiquée par celle des équations diûerentielles, et dont les CDefficiens seront déterniiués, en comparant la différentielle de l'intégrale supposée aux diiTéreniiellcs données. La solution du problème se réduit donc à exprimer Finlégrale par une série convergente; ce qui suppose nécessairement, que la masse ou la distance, en on mot, que ratt». action d'un corps est inconsidérahJe par rapport à celle de l'autre; le dernier corps étant appelé le corps central^ et ie premier le corps perturbateur. Dans un pareil cas l'orbite troublée s'écartera fort peu des lois de Kepler, et Ton pourra la regarder comme une ellipse variable, assujétie à ces lois, ainsi que l'a prouvé Lagrange (^). Si l'orbite troublée s'éloignait beaucoup de l'ellipse, si par ex. la lune était quatre fois plus éloignée de la terre, le soleil pourrait être regardé comme son corps centra!, aussi bien que la terre; et le calcul de son orbite surpasserait nos forces. Heureusement le système solaire est tellement arrangé, qu'on peut prendre le mouvement elliptique pour base de chaque orbite troublée. En concevant un corps A qui décrit autour du soleil, suivant les lois de Kepler, une ellipse dont les élèmens varient par des nuances insensibles, et supposant que la planète B est le satellite du corps A, en décrivant autour de lui un petit épicycle; le mouvement du mobile A représentera l'ovbite primitive, altéi ée p«r les inégalilés séculaires , tandis que le mouvement d«ns l'épicycle présentera les inégalilés périodiques.

Suivant cette méthode on néglige une infinité de termes qui sont censés être inconsiuérables par rapport à ceux qui sont conservés: c'est donc la partie la plus imj)or4anle et la plus difficile de ce calcul, de délerminer d'avance les termes qui sont assés petils , pour pouvoir être négligés sans erreur sensible, et d'ordonner la série de nîanière qu'elle commence par les termes les plus considérables. Cette détermination demande beaucoup de précaution , parce qu'il arrive souvent que des termes, dont les dillérentielîes ont de très -petits coefficîens , se trouvent après Tinlégration multipliés par àts facteurs considérables. Le mouveoient des apsides de la lune en est une preuve remarquable. Ayant négligé les termes qui, dar^.s irs équations

(i) /TlV.'-T. de VAcad. di Berlin, l-]ôl.

différentielles, semblaient être inconsidérables, on ne trouva que la moitié de ce que les observations avaient indiqué j mais en tenant compte des termes négligés, la calcul se trouva parfaitement conforme aux observations ^ ce qui confirma la théorie de Newton d'une manière frappante. Cette théorie, suivant laquelle chaque corps céleste attire tous les autres en raison directe de sa masse, et inverse du carré des distances, fournit les premières équations différentielles, dont l'intégration conduit h la solution du problème. Pour les intégrer, ou plutôt pour développer les quantités variables en des fonctions d'une forme favorable pour le calcul, on se sert de l'autre supposition, que les perturbations sont inconsidérables par rapport à la force centrale, et que par conséquent la véritable orbite, malgré les perturbations qu'elle éprouve, peut être regardée comm» une ellipse, dont la position et les dimensions ne sont plus constantes, attendu que leurs variations donnent les perturbations; ensorte que c'est proprement un problème du calcul des variations. On peut se permettre encore une supposition , savoir que le corps perturbateur suit exactement les lois de Kepler, parce que les perturbations qu'il éprouve, n'influent sur le corps troublé qu'en changeant d'une manière insensible la configuration Ctes deux corps, ou les argumens des inégalités 5 il y a cependant des cas, principalement dans la théorie de Jupiter et de Saturne, oiî il faut en tenir compte. Ainsi, les deux corps tournant autour d'un commun corps central, celui-ci sera pris pour centre, et l'orbite du corps perturbateur sera le plan invariable s par rapport auquel le mouvement ti'oublé sera déterminé.

Les constantes arbitraires qui sont introduites par chaque intégration, sont les élémens des ellipses planétaires. Ce sont les données qui ne peuvent pas être déterminées par la théorie, mais par les observations seules: elles n'ont aucune influence sur les équations différentielles, ou sur les lois générales du mouvement, mais seulement sur les modifications arbitraires des orbites elliptiques qui , pour chèque planète qui se meut suivant les lois de Kepler, peuvent varier à l'infini. Il y a six constantes arbitraires, ou six élémens de chaque orbite, indépendans les uns des autres: le grand axe d'où dépend le mouvement moyen, l'excentricité^ la position des apsides, celle

a58 ASTRONOMIE PHYSIQUE

des noeuds , ï'iiîclinaison , et l'époque: en effet, le problème donnant {rois équations différeniielles du second ordre, dont chacune doit être intégrée deux fois, ces six intégrations introduiront six constantes arbitraires. Telles s>onl les suppositions, sur lesquelles se fondera l'analyse suivante.

Quel que soit le nombre des forces qui agissent sur une planète, les perturbations dues à l'ac'ion de chaque corps pourront être considérées séparément, parce qu'elles sont indépendantes les unes des autres, en n'altérant que les argumens des inégalités d'une manière insensible. Ainsi on n'a qu'à considérer trois corps, le corps ceniral, le corps perturbateur, et le corps troublé} ce qui a donné le nom au fameux problème des trois corps, qui a occupé les plus grands géomètres depuis Newton. Les diverses méthodes qu'on a imaginées pour faciliter la solution de ce problème, se trouvent dans une foule de livres. Les sources principales sont Z. Euleri Theorla motus lunae, 1753, et Theorla motuum îunae, 1772. D*\Alembert, Recherches sur d'ffér. points iu Syst. du Monde. Part. I. IL IlL et Opusc. Math. Tom. V. VI. Clairaut, sur la théorie de la lune, 1 7-^0 5 et les mémoires de Lagrai^ge et de Loplace^ dans les Mémoires des Académies. Nous suivrons particulièrement la méthode, par laquelle M. de Laplace a enrichi l'astronomie des découvertes les plus importantes, et qu'on trouve développée dans sa Théorie de Jupiter et de Saturne (Mém. de Paris, Ann. 1785 et 1786), et dans la Mécanique céleste , oU" TSdigQ qui a fait époque dans l'astronomie physique.