VA À A

Comme les latitudes et les excentricités de toutes les planètes sont très-petites, les équations (12) font voir, que y'^czXsin p=:p.7sin (3 est une quantité du second ordre, par rapport ^ft\j\ Si on prend pour le pian des x, y, l'orbite de m, et qu'on substitue le périîiélie «S au lieu de l'aphélie, on aura (5iz:o, cp zr 180" -|- ■05, donc^^zz — p.7 cos ro, /'zz: — m,7 sin ro,/" zr o.

§. 162. On a vu que tous les élémens de l'orbite sont donnés par les quantités c, c , c" , f, f' , f" , et « zz — , et les expressions de ces dernières peuvent être simplifiées. Si on substitue les valeurs {J') (3) (§. iSg.) dans les équations (^), il viendra

df-=z{iydx--xdy) {^^ ^(^^ydz — zdy) {^^ —{xdx-\-zd2) [j^^ 9

df"z=i{7.zdx — xdz) (^^-\-{^izdy—ydz:) (^~) —{xdx+ydy) (^^ , et en substituant les valeurs de (R), (5R), et rdr (§. i58. (J), §. iS;. (j)),

Ç df—ix{d'K)'-'{l^)dx-~{^^rdr,

^ =^j(^R)-(R)aj-(^)r3o

/ a/'zz:2s(5R)-.(R)as— (—\ rdr.

Si on met à la place de c, c', c" , leurs valeurs (3) ;^§. 1 59.) , les équations (5) deviendront

J -^ ~ -J- " }àài* ~~ »

-.y, yi-z j^d % {x 'è X -\- y d y^ — % {d x"^ ->r Sjy^)

©i en subsliluant 9 5^ i= a a;^ -j- 3 j^ -j- B 5%

f-fX J f ^y , r^Tdy —y ^^"^

^'^^- % ^ - V -i lâT^ ^

Mais on a {h) (§. i6i.) /ô/H-/' 5/' +/'' 5/'' == XaX: en muUipIiant doncles équations (i3) par (i4)> il viendra

(■5) X9X = (.„.+ '-'(^;;7^-lS) OR) + (^: .,) ^R) a.

Les équations (5) (§. iSg.) donnent ('— —/Y-f ("^—/'Y-f Z"^— /''Y—

ce qui étant développé donnera

Or le dernier terme est nul (§. 160.), et y^ -j-/'j -4-/' 5 zn |ar — B 11^ (§. iSg. (B;), parlant 11=^-^— —B IL'- — ja= 4- X% et en substituant ju.'^ — X^zz:

B-n^"p ^§. 161. (Il)),

(16) |Y=,Bfii^-p\

Si on ajoute ensemble les carrés des équations (3) (§. iSg.), il viendra

^ ' fi^^^^ ' ^'''''' ~^^- — ¥"J7ï ■"■ ^^ ' ^^ ^" substituant (16),

(^7) Ç^-^' z=:2p.r- Pr^ - Bn\

Si on substitue (16) et (17) dans l'équation (i5), elle deviendra

xaxz=(P/^ — Bn*)(aR)— Pr(R>ao

et la différentiation de i'éijuation X® iz: jli^— B H^ P (11) (§. 161.) donnera.

L I V R E V, C H A p. II. 269

xaxz:: — BPnan — iBn^ap,

En égalant ces deux valeurs de X9X, on aura

BPIian=:Pr(R)ar— lBn^dP + (BlP — Pr^)(aiî). Or les équations f/>(3) (§. i5g.) donnent 'B{cdc-\-cdc'-[-c'^dc'') ouBIiaiIzz:

ce qui étant multiplié par P, et comparé à la valeur précédente de BP 11311', donnera o — B n=(aR)— ï BlI^aP, d'où l'on tirera aP=z:2(3R). et à cause de P-^(ii) (§. 161.).

* (18) a- n=2(aR).

Les équations (/) (g. iSg.), (i3), (18), donnent les différenlielles des ipiantités c, c , c', f, J'y f", —, dont dépendent les élémens de Forbite en vertu des équations (6) {%. 160.), (ii)(i2) (§. 161.); et leurs intégrales sont données par les équations (3) (§.169), (i4^, et - :i=: a / (3 R). Ainsi ces équations renferment les inégalités séculaires, dont celle du moyen mouvement mérite une attention particulière.

§. i6i. La formule — =: 2/(3 R) qui est de Tordre des masses perturbatrices m', exorime la variation de—, due à l'action de la planete Ttî, que nous désignerons par ô' — . En nommant donc a et (a) les demi

axes de Torbite invariable et de l'orbite troublée, on aura -j^ m h ^ T

{a) c. ai

:2:ii^|2/(aR) — P^ d'où l'on déduira facilement la variation du moyen mou-

venient. On a vu (§. 67. (A)), qu'en vertu de la troisième loi de Kepler,

corrigée par la théorie de la pesanteur universelle, il est /z^a^irzag^CCi -4-m):= 2/a.^C, n étant la vitesse moyenne dans l'orbite non troublée, et C la force centrale à une distance égale à l'unité. Or nous avons fait t^§. i58. (a)),. 2^C:zzB, d'où il vient «^a^zz,u.B. Si on désigne par v le moyen mouvement dan& le tems t, on a -izzini, a vrrvi 8 ^, équation qui a aussi lieu dans l'orbite troublée,, parce que les variations des élémens, comme 'an, ne se' manifestent que dans les secondes différentielles (§. 160. 161.) j il s'en suit 'é'^.'i ziz.'d n'a t. Si on diilérentie l'éq^uation n^ a} ziz. \i,Vi ^ on aura 0^

a^o ASTRONOMIE PHYSIQUE

za'^ ndfi A-^n* a^ da, donc — =r — f, . — . La différentielle de — est '■ ,

, . ,. . ^û a ^ n ^ du Sa^M, . i...

doù Ion tire zz— d —, partant - zn — ^— » et en substituant (18)

a fj. a '■ n z}j. a ^

(g. 162.), dnzn (3R), donc dd^-zzdndl-m — 0/2(8 R)3/, et en intégrant,

(i9).....v=:i//a72(aR)a/.

§. 164. Considérons maintenant les inégalités périodiques. L'équation. (C) (§. iSg.) donne le rajon vecteur dans l'orbite troublée , d'où l'on conclura celui de Forbite invariable , en faisant m' zz o , et par conséquent (R)zzo et (aPijzzo. En désignant donc par r le rayon vecteur elliptique, et par r-\-m'^r sa perturbation, on aura les rayons vecteurs dans l'orbite invariable et dans l'orbite troublée, par les équations

Jààl* ( m'ô r^ ' " ' ' ' -^ ^ '

en négligeant les produits des masses nij, m'. Substituons maintenant {lï) en Qjj divisons par 2, et mettons m' à la place de ^m' : nous aurons