IV. o=z ^__^-t---— -f.(R)4-2/(aR
En ôfant Téqualion IV, après l'avoir multipliée par x, de l'équation I, multipliée par m'r^r (§. 159.), et négligeant les produits des masses, et par coniéquent ni (r — ], on aura
o zz -— i^ '- — :r (R) — 2^/ (3R),
dont l'intégration donnera
^__^'r-^r.èx-m'x.B{:r^ /^(R) di ^ ^f xdt f {d^K),
En opérant de la même manière, II. mrôr— IV.j' donnera
L I V R E V, C H A p. IL 271
Si on ajoute ensemble les deux dernières équations , après les avoir multipliées respectivement par j et ■ — x^ il viendra
TvfrSr(xdy — ydx)
(D) J ndt ~
i xfy{K dt — rfx (R) dt^^xfydtf:dK) — 2yfxdlf(dR\
Comme on néglige ici les produits des masses , il faut mettre à la place de
X dy —'y d X
^-jT sa valeur dans l'ellipse invariable. Soit donc {F/g. 4o.) NPQS
le plan de l'orbite, "^pqS le plan des x, y, et supposons pour un moment
que les abscisses x soient prises sur la ligne des noeuds SN: ajant abaissé
les perpendiculaires Vp sur le plan des x, y, et pr sur l'axe des x, Vrp — y)
sera l'inclinaison des deux plans, et on aura Sr i^ x, rp iinzy^ pPrzs.- en
nommant donc y l'ordonnée sur l'orbite, Pr^ il viendra jzny cos tj. Or la
première loi de Kepler donne (§. 19. V.) xdy—ydxz:~Adf, d'où il suifc
xdy — ydx zz Adi cos y]. Si on substitue (§. i58. (a)) B zz — - :zz
., . , xdy— ydx c(i— 75)cos7) ... . zirab ,
iljiendra ^^ — ^ Z^"* ^^'^ A — — .^^ (§. 38.), T =
— étant la durée d'une révolution, ce qui donne
Bc^r na •
Si on substitue cette valeur dans l'équation (D), elle deviendra
g. i65. La somme des équations I, II, III (§. iSg.), multipliées respectivement par X, y, 2, donne
Or dd {r'')z:ii{xddx J^yddy -^ zdd z)-{~ -^ (J) x'' -\-dy^ ^d z% ce qui change le premier terme de l'équation (20) en ^ lI Z L . Mais si l'on nomme i>
ad t^
la vraie longitude dans l'orbite invariable, comptée d'un point fixe quelconque, et m^v sa perturbation, on a ds^ziidr-^-r^dv"^, et '^dd .r^^zrddr-\-dr^^ d'où il vient '^dd .r" — ds^ zzirddr—r^ dv"". En mettant donc r-j-w'îr et v-^m'^v à la place de r et de v, l'équation (>o) deviendra
Les termes indépendans de m' expriment le mouvement elliptique : il faut donc que tous les termes, multipliés par m, soient nuls séperément; ce qui donne pour le mouvement troublé,
o zz: ^^^ -^v- H~ m-
Si on substitue r^^v — ^^t §. 19. V.\ A = naV(î— 7^), B=:azV (§. 164.), et rdv^ iziddr -^ — - V)dt^ (§. 19. IV), la dernière équation deviendra
L'équation IV donne - —~ =r "^^^^ + (R ' "h - f .^R) . ^o^t
îe premier terme est , , -.^, : cette valeur
eliangera l'éq«ation précédente en
^m'dSvy „^2N__ 4mV.335>>+6j7i^3r.3 5> + 2m^5>.33r ^ . .j^.^gy-^^^p^ n a 3 f ^ n= a-' 3 f 2
d'où l'on tirera en intégrant,
VL m'ô-...y(i-7*)=z ^^^^•^^>+!:^:i!l^^,^^y>,R)a,4.3;za/3//.3R). ^ na^ât ' '
§. 166. Reprenons maintenant les équations (3) {/') (§. i59.)»
n=*a-'3t -^ l^ \dxj \dy J S
n^a^dt •' l \dyj "^ \d z J S '
Ç, C, C", étant les parties constantes de c^ c , c" , ou des élémens qui déterminent le plan de l'oibite. Dans l'orbite non troublée, R étant nul, les quantités c, c' , c" , elles-mêmes sont ces constantes, d'où il suit (§. 160.(6:), tan2^'»1 == — , C0S71 — — , et lï^ — — — - zz: ■ — (§. 161. (i'J)i
donc C zz: — — "]/ ju, (1 — 7^*). La ijremière des équations précédentes don-
n a neia, en négligeant les produits des masses,
