LIVRE V, C H A P. H. a^B

noeud ascendant sur le plan de l'orbite de m, v l'inclinaison de ces deux plans , et o -sa tangente, on aura sinv — --^-^-ÔXi-îô^), sinp'r/z:a-(i-iô^-)sin(v''-n), tgp'rôsinCv'-n).

Mais on a aussi \g^'zz~~-y d'où l'on tire l/(i/^)=:(,^ô^) £^^^;f^,

donc sin {v' - H) = (, ;. J,. (^Z:^^^ ^* ^^ développant, («) ..... sin(u'— n) = Ci— |ô^) { I -t-Iô-^sln^(t;''— n) } sin{v"—U).' Si ô^ est nul, il vient sin (u' — n) = sin (v' — n), ou v'zizv": d'où il suit ^ue v" — v' est fonction de ô^ Faisons donc v' z=: v'' — êô^, ensorte qu©

sin (i;'— n) = sin (i;"— n) — ÊÔ-^cos (î;''— n). La comparaison de cette valeur avec (a) donnera

£ cos ( v"~ n) — l s\n\v"— n) — î sin3 {y"— U) , ou £ =z J sin (y" — 11} cos {y" — ïï) =z | sin 2 (y"— II).

On a donc v' zn v'^ — -— sin2 (u'' — II), d'où l'on tirera

COS [v' — v) ~ COS [v" — v) -\- — sin {v"—v) sin 2 (u"— II). Or V{i—s'^)—i — ls'^—i—~s\n''{v"^U)—i—^^ -cos 2 (v'^— H), d'où il ^uit cos {v' — v)V{i — 5^)zzcos(i;" — v) — — cos(ù' — v) -{- ■— cos {v" -\- v — alI).

En substituant cette valeur dans R (E) (§. 167.), et faisant pour abréger, f r cos [v" — v^ __ p r {cos (y"—v) — cos (y'^-irV — an)}

(i) i r"" -j- /''2 — 2 r/ cos (i;'' — v) -n Q,

/ — {cos {v" — v) — cos (u'' -j-i; — 2ll)}=i:9=: 2/^ p^

on trouvera

Faisons

ensorte que S' .renferme tous les termes dépendans de l'inclinaison, et nommément du carré de sa tangente. Cela posé nous aurons

§. 1^9. La quantité S renferme les termes indépendans de rexcenlri» cité, aussi bien que ceux qui en dépendent: désignons par B la première partie, ou ce que devient S dans les orbites circulaires, les excentricités étant nulles. En nommant, donc, comme ci-dessus, a^, a, les demi -axes des orbites, /x, /x' les longitudes moyennes, a, a' leurs époques, n, n' les moyens moiivemens, 7, 7' les excentricités, to, îs'' les longitudes des périhélies, r, r les valeurs elliptiques des rayons vecteurs, v^ v" celles des longitudes, ni^r, mhv leurs perturbations, et faisant.

//— janziw, T:zza-\- Lr, r'=:za'4-Ar, 1; zz /x -f- A v , v" inix A^ ^v\ ensorte que-

[d) \i.:zz.z-\- nt, /x'zz: t -\" n t, d}i nz nd l^ d \if zn n'dty.

les lois de Kepler fournissent ces équations (II. §. iSg.),

N— =3^7^— 7 (1 — |7^)cos {\}. — ro) — Î7^cos2(,m< — ts) — f 73cos3(|j,— w),, (^iW-zz^y^i — I 7")sin(,a — to) -{-|7^sin 2(,a — te) -|-Ï|73sin3, (;x — w);,

et les mêmes équations donneront — - et A v', en. marquant d'un trait, y, j.i, ro. Si on fait 7 zzymo, ou q^u'on mette a, d^ |x, /x', à la place de ?:, r , 't'j v'\ dans les équations, (è), on aura par (c),

(fcj B m - — - — - — (a -j- tt * — la a cos w) ^ •

Puisque S est une fonction des variables r, r , Vy v'\ qui devient 111:65 si 7 zn 7' i::: o , on aura par la série connue de Taylor,

'S=:B + A.(^-i)4-A.'(^) + A. (ii) + A .' (li) + cet..

oii il faut substituer dans les différences, partielles (. )? (w)» ^^^' r-^cij,,

r'::^a.f v ^z |x,, ^''^^/x', v'^— v-mw; d'où il vient

f3S\__fdB\ fSS\__fdB\ /3S\__/aB\ fdS\__fdB\

W "^ v^y '' W'J ~~ wy ' v^y ~" W ' v v^V — \? /^v '

La. série entière, jusqu'à la troisième dimension, des. excentricités,, sera, donc;