Ar AuAi

da! à a â/vL*

Opérons de la même Eaeon sur les foncîions Q" et q, el faisons pour cela-.

(/).... ..(û^-f-"'''~~ ^^^'^'c os iv) '^':ziSBj —^ {^"0- (/-^' — /•'-) — cos (fx'-|-a — 2n }=:6,

Les fonctions Ç et </ élant déjà miilîipliées- par ô'' (§. 168. (A) (c}), elles ne seiont développées ici que jusqu'à la preraière puissance des eAceniricilés. Or puisque Q ^ se change en !i5, et q en Ê, lorsque les. excentricités sont nulles, on aura comme précédemment.

Q = = .S + Ar(^-^J+cet, î = fe^-A^(-J + cet,^, = ^-, parlant (§.. i58. (c))

^,^J|^^+i^^-(if)4.A,<-:) + A.f|?) + A."(-^

35' étant zz S — -r- «

§.,. 170., Si l'on développe le trinôme a^-f-a''* — 2««'cosw) en une

Sfixie ordonnée suivant les puissances de cos w^ et qu'on exprime cliaque.

puissance de gos w par les cosinus des angles muliiples de Wf on trouvera

des sénés de cette forme,

|V^« -j- a'^ — 2 a a' cos nO ^ =: M -f- N*-- ^ cos i ■w,

^a^ -\- a'^—iiac/ cos ^v)~^' zz m -\~ 51^'^ cos hv,

I s'étendanl à tous les nombres entiers positifs* Ainsi on aura (B) (y) (§. 169.)

(.) B =z — -^^i^ M — ]N ^^'^ cos / w, fS = 5JÎ + ^^'^ cos àv.

Si on veut étendre /' à tous les nombres entiers, soit positifs soit négatifs, ce qui sera fort commode pour le calcul, on n'a qu'à diviser par 2 les coefEciens N^^-*, ffl'^^^, donnés par le développement des puissances de cos w, parce que cos ( — îw) :^ cos ivv. Supposons donc

(E) B - ^ A^=^ + l A^'^ cos iw, (F) ^ = ? 51^'^^ -|- 1 îi^'^ cos Iw,

ï s'étendant à tous les nombres entiers , tant positifs que négatifs , excepté zéro, vu que le cas où i n: o, est représenté par les copfficiens A*^*-*. %^°^. li faut observer, que A^- '^ — A^'\ %^- '^ — îi^'\ (^â~"j == (^7^)' ^^''' et que le terme -7^ doit être ajouté au coetKcient A^^^ , parce que Zi: ■ (a -j- a — laa cos w) \

§. 171. Pour déterminer les coefficiens A, S(, faisons

(h) — rza, i-}-a^ — 2acoswrzX, a^-j-«'^ — aaa'costvrnE, et supposons

^\ 5 =: ï 6^='^ 4- b^^^ cos w -f 4- b^^^ cos i%Vj,

( X""» — X c^°^ ■+ c^'^ cos w -|- -f c<^^"^ cos nv;

î s'étendant seulement aux nombres positifs. Cela posé on aura

Or nous avons supposé B — ï A^"^ -f A^''^ cos /w, 35 = 1 ?1^'^ + ?t^''^ cos /.v, si i ne s'étend qu'aux nombres positifs: d'oii ri suit A^®-^:::!::' — —j-^ A ^ zn —

(0 aA^°>Z-è^°\ a'A^'^z:a-.h'-'\ a' A^''^ Z- b<^'\ a'i?i^°^Zc^'\ a'^^i^^^ Zc^'K

Les coefficiens A, SI, étant ainsi donnés par b, c, déterminons maintenant ces derniers. Supposons pour cela en géjiéralj

L r V R E V, C H A P. II. 279

(/-)• X~ '^zr /^^'^^ 4- //^> cos w -[- -f p^^^ cos îw, - .

i s'éiendant a tous les nombres entiers et positifs. On aura

d . X ■** zr OC sin tu

X""^ . à'zù I 4- a^ — 2 a cos '■iv '

d'où Ton tirera, en dillérentiant la série (v) par rapport à iv.

srasimu