I -f a^ — 2 Ci cos lu

^«> sin-ZU-^- ~f-[/.— 2)p<^^^^^ s;n(; — 2^7t;-f-(/ — i)p'^*— i) si'n (i — i) W-f-f^^*^ sin f -ï;^

'^*-^-(-p'" cos -ïD-f-, ,.,.-+ j,-^^ ^) cos(z — q) lU-f-^*^* ^)cos (z — 1^ tu -f-p^^) cos z "ÏO

En iDiiUipliant en croix, on trouvera le coefficient de sin (/— -i) v/ dans

ie premier membre :z: ra.{/5^^ ~^^ — P^^^}i ^t dans le second membre iz;

(/ — i) (î -f- a^) p^^~ ^^ — (/ — 2) ap^^""^^ — • iap^^^, Eti égalant ces deux valeurs, on aura

U-----P - rr~^. •

Supposons que le développement de x~^~^ donne la série

(/^'^^ -\- g^^^cosw-\-.....-\-ç^^~'^^ cos(i — i')w-\-c/'^'''^cosîw -\-(f^^~^^^cos(y.-\- iJ^'i-V

et multiplions par i -\- cr' — o. a cos w zz: X: il viendra

X""*" HZ — aq^^""^^ {cos ('" — • 2) w -|- cos i-^vY

-[- (i -}- a"} q^'^'^ cos îw — aq^^'^ '■^ ■{ jos iw -j- cos (" -|- 2) «■}• : le coefficient de cos Av est donc nz — af^*-^" '-'-]- (i -4- a^)^^'^^ — ar/'-^"'''^.

Mais on a aussi, par (^), X~^ zz -j-y»^^-' cos z\*% d'où l'on tirera

0; ), . p^^^ — — a<7^^'- ^) -f (i -I- œ) y^^> — aq^'~^ '\

La formule (') a lieu . quelle que soit la valeur du nombre r: on peut donc y mettre r^i à la place- de r, ce qui changera X~^' en X~'"~*, et par con* séquent p en q. Si l'on t'ait en même tenis /zrz'-j- i, la formule () donnera

ce qui étant substitué en (w), donnera

et en changeant / en /-f- i.

(i^ I) __ 2ra^(^°) — r(i 4-^2)^(1-4^.) ï4- 1 — r-

s8o ASTRONOMIE PHYSIQUE

Si on meî au lieu de ç^^~^^^ sa valeur ( ) dans la dernière équation, elle de-

Tiendra p^^^'^zz -^ '--^ ■/- — — • ^- ^ ; d'où ils suit

^—r ^ (z + r) (i -Ha») ^ "^ (î H- O ('' — O ( ^ + ^') *

Mais l'équation (o) donne—- ç^'"'^ =:/?^^") -f- !lill!lfl J ^^Cz) . .^n comparant

ces deux valeurs de o^^~^\ on aura l'équation

Si l'on fait maintenant rz=:|, les coefficiens j), q, se changeront en b, c, et

les équations (/; {jj') donneront

f^^ ^0) ^CZ-Ofi + a") 6^^-^^-(az-5)a&^^-^>

O) c<^> zz ~^,-, { 1 + a^) ^^^'^ — 2 a Z.^'"-^ «>}.

Au moyen de la formule {0 on trouvera chaque coefficient de la série X~ * , par les deux termes précédens, ou par les deux premiers coefficiens ^Co)^ ^(O^. gj la formule (3) donnera tous les coefficiens de X"~ s, ceux de X""» étant connus. Tout se réduit donc à calculer les deux premiers coefficiens è^^-^ Z*^^\

§. 172. Soit Xî — l hS''^ + /2^^'> cos nv -I- cet.

et désignons par *e le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.

Cela posé on aura, en taisant iv V — t — r,

2cosivrz:e'"-}-e"~^, partant Xiii(] — ai^)\\- — ae~^) (§.17^), d'où il viendra

=\4 < « r ^^ ^r 3 «=* ,™ 3. 5. 7. ..(an — 3) „ „^ ^

X^ HZ < 1 e — e ■ e^ — - . . . . — oJ^ e" S x