LIVRE V, C H A P. II. agS

w étant zrfi'— fA, et ^—/-j-P' — ail. En mettant à la place àef,f', ^^ f'^ leurs valeurs (§. 176.), développées jusqu'à la première puissance des excentricités, employant ies mêmes dcnotations que précédemment, et faisant pour

abréger,

'%—\ cos %v — L cos x|; — -^ 7|cos (p.' — ro) — cos (j^ 4. t3 -- 2 n)|

+ ^ 7|C0S y 2 fl -]- W) — cos ('Jî.' + 2 J15. — OT — 2 II}}

-|- I 7'{C0S (2 {i' — f4 — ÎÂîO — cos (2fi' -j- /i — ^' — 2 ÎI^} ,

'^ — \ 7{gos (m.'4-^— 2n) -j-cosy-h2{A— m— 2n)— cos(fi'-~ro)— cos(p,'-.2iii4-w)| -fi7'^cos(f*— roO + cos(2fj!.'— fi— m')— cos (p.+ro'— 2lî)~cos(2ja'-f|ii— ^'—aJI },

'^ — ^7{ûn (fi'— ro) — sin (f/— 2^i4-tÂj)~sin r|x'4-^|x— co--2ll)-f sin(|i -fro—all)! + i y|sin (2/x'4-^t-— îo'-~3n) —sin (/x-f-i3'— an) — sin (ja--c5')~sin(2/--;x— Ç5')J, en trouvera l'équation suivante,

'S-. '6', étant les coefficiens du cosinus, et '^' ceux du sinug de chaqu® angle r{ qui entre dans les fonctions '^■, '©, S^.

§. 179. Les équalions N) (N) (?) (P') sont un répertoire, où l'on trouvera toutes les inégaliiés qu'on se propose de calculer. En effet ces équations donneront, par ia Hifférentiation vulgaire, la fonction [dR\ et par une intégration facile, les autres quantités qui entrent dans les équations IV— VII (§. 167.), lesquelles renferment toutes les inégalités du rayon vecteur, de la longitude, et de la latitude. Comme la dernière ne sera pas développée ici au delà de la première puissance des excentricités et des inclinaisons, nous commencerons par l'équaùon VII, dans laquelle il faut mettre l'unité à la place de i 7^ i — s", et cos v. Cela posé 1 équation VII deviendra

agS ASTRONOMIE PHYSIQUE

ozrrw'ô'5 4-«« sin vfrcos v (j— ) ^i — na cos v/rsîn v (-— ') 3^^

[n) «'^'" -7-+ 7^- y) = V- - ,» ^ (§• '58- '57- W (■)}. Toas les termes de l'équation précédente étanL rnuilipliés par ^', nous ferons rzzia^ r=zaf, 'urziix, v'=:p/, p. et fx' é!ant les longitudes sur i'oibite de la planète m. On aura donc, à cause de :;iz:o (§. 167.),

Çd^)-"''{v--'$)^ et l:z:(a= + «=-2a«'cosiv)"^=:<B (S- 167.169. (/), partant

( j— j =: — /«' s' 35'; ce qui change l'équation précédente en

VII. oz=zà's~-na^ sin iifz/ ^' Bt cos ix-^na^ cos i^r^fz ^' di sin |tt, s' étant z=:a^s' (§. 167»),

Soit {l'ig. 4i.) YIE l'écliptique, lA le plan de Torbite de m, mS celui de l'orbite de la planète m', supposée en S: abaissons les perpendiculaires SA, S«5, sur les plans lA et lE. Cela posé on a s'zza'sin&A, oa s'zza.SA, et dans le triangle S a A, sin SA 3=sin Sa A sinSa. En nommant ^, ô', les inclinaisons des orbites m et m' , relativement à Técliptique, ou leurs tangentes, le triangle las fournit l'équation cos S a A zz: ^ cos I .?, d'où il suit sinSaAzzi, et SAzirSa: nous avons donc z'zna' (^s — as). Les triangles las et /S 5 donnent les relations, tg as ou asmôsinl^ etS^zziâ^sinz'^;^ d'où l'on tire zf zna' {.^' sxnis —' ^ûnls). En nommant donc J, J', les longitudes des noeuds ascendans des orbites m, m, sur l'écliptique , et mettantà la place de /x, \x' , les longitudes sur l'écliptique , vu que leur différence est de la seconde dimension des inclinaisons, on aura

s'=:«'{^'sin(/— J') — ôsin(jui' — Z)}z=za'{[q' — q)sm\if — {p' ■—p)cos p/} ^ en faisant pour abréger, ^ sin J 1= p^ ^ cos J'zr.q, &' sin J' rz p , ^' cos J' ziz q\ En* différentiant l'équation VU, on trouvera, à cause de diii.ziz ndl^

et la seconde différentielle donnera

L I V R E V, C H A p. IL

Si on subslitue la valeur de S s, tirée de l'équation VII, il viendra

Substituons maintenant

z'z^a'{(q'-ç)smi,'~.(p'^p)cosy.'}, SS^-z?St^»>^ J^-f ?fi«>COS iV (§. 17O. (F})|

et nous aurons, par les formules (t) (§. i']']-).

a^ a ^r^^{{q' • — ç-) sin (iw -{- p/) < — (j^ —-p) cos (Jw -j- \i')}.

§ 180. Les équations IV et VI (§. 167.) renferment encore les fon-

d d .r S r S r r . ^ S 7- S r . dr ,, , wi

étions — — - — , -T-, r ?^-TT, :r ; ;r;^ • Pour les développer jus-

qu'à la troisième dimension des excentricités, donnons aux perturbations du

rayon vecteur et de la longitude (§. i65.) cette forme,

le nombre des traits indiquant l'exposant de la puissance des excentricités,

par laquelle Tinégaiité est multipliée. Il suit de là, en substituant r^a-|"Ap

(§. 169.), et faisant ~— ?, -^ =.f.

Or l'équation (e) (§. 169.) donne

pz=~7^ — 7(i — -7*; cos (ix — r^) — l^^cos 2 (^ — ro) — |7' cos 3 (iu. — » w), ?* zn - 7^ -j- - V^ cos 2 (/A — xa) 73^005 (ja -— to) — cos 3 (f^ — îo}} ,

?^ =z — - 7^ cos fp. — vs) 7^ cos 3 ffi — Wj, parlant

( i-f-? j~^z=i -j- ^ 7'i-7(2-j- j 7*jcosria-— w)-j- -- 7'cos2(hi— îi5)i- 7- 73cos3 'fx- ®}j

d'oii il résulte

fil —T- ZluU + - 7*4- 7 (2+ - 7') ces (u -te ;+ - 7^cos 2 f ju-ro )+ V 7^cos 3 rii'--tiï)|

-j- u'{ l -}-• - 7"-|- 27 cos (}i. 155; -j- - 7^C0S 2 (u—TO^ j-f- ""{ I -f- 27 cos (fA— Wyf-j- J*''"'»

On trouvera de la même manière

rô' r zz a (i -{- ?; 3> zz a^ (u -|- w' -f- ^^"-|-' V; -^ a^ (a -h li' -f- u'; f , doae

Or ^^ zzzy (i — -y^) sin ^jn — cj) -f- 7^ gj^ 2 f/i — cijj 4- ^ 7^ sin 3 Tfi — -ro) ,

^^^^ zz: 7 f 3 — - 7"^; cosifi—'Wj^ 27' cos 2 f^ — w ; -}- ^ 7^ cos 3 (> — wji é'où l'on tirera

dd.r^r ddu ii-^ly^-y(i-l y'j cos ^ft — ^) 12] , • — J

f " — 7^ COS 2 Tj* — îo I — - 7 3 cos 3 fjL4 — to,

^ -^ — i|i +-72-7cos^H-TO)--7 C0S2^|u,-îC)}+-,— ,1^ „7cosfjj.-cj)f+---— -

-}- ---" { >' f I — - /^; sin 0* — tsj) -}- 7^ sin 2 ("ja — 'RîJ -j- | 7^ sin 3 (fi — îo;|-

H — i y sin ^|Lt — toj --[- 7' sin et (u. — vs)f H -— 7 sin ( f^ — ^]

►f- 1/{7 (i — -g y^) cos (fi — îiJj 4-2 7^ cos 2 jA — îCj -f- -|- 73 cos 3 (j»i. — tc)|-

-j- «■ {"^ cos H, — co) "i- 27^ cos 2 f^ — V5j} -j- i^' , 7 cos (fl W).

On. trouvera par le même procédé,

— ^— z=:r«-f« "h« ja?» -;-^--;^5^=zl-f-^7^ donc

de et si on substitue les valeurs précédentes de p et de — ^-a

' nat"

^^ rdô-r 9j. ( 2^,0- 'v*;^ 7^2 i-i7^jcos(M. — tc)^

n . .^ = » ^^,-^.^ • ,i:^al - naf 1 7»cos2(m^«)- ^ 73cos3 (^-^)<

C4] ..... ^;^-^^ =u7{(i-i-i 7*)sin(^~toH-7sin2(H^i.H f 'V^^sin3(M'-ic)^ 4- «' 7 1 sin (h — wj - 1* 'V *^^ 2 (i* — ^) } 'i^ "" '^ '"^ (1* — ^)»

Substituons maintenant les valeurs [i], [a], [3], [4J j dans les équations IV, VI (§. 167.), qui prendront cette forme:

IV. 0 = ^c-^ { I + ^ 7^— 7( I— 1 7^)cos(a— ro) - -- Y-cos2(u..-^m)~~ 73cos3( f^—^')^

^ "TTt" ^''' ^' "~ ô ^""^ ^^^ ^'^ *~ ^^ '^^^" *^" ^ ^^ — ^3) -4- S 73 sin 3 (a — xi5)} i-* — — {V sin (ft — «ï) -j- 7^ sin 2 (fji — ro ;} -|- - — - — - 7 sin (p, — w)

'\'m'u{ i -\- i 7'-t- 37 f I -j- i 7^)cos(fj,— te) -f 1 7^cos 2 r].!^-?3) + ^ 73cos 3 (/.!,— to)}

-f-mV{i f- -7'''t-37cosr|x— roj4- -7'cos2(M.'-îc)}-^mV{[+37cos'^— w)}-^?/?^^