A.A^^^+2 .a -^^ ^0.^2-__-4-A^a3-^-^cosnvcosvï

1 <i ^/ < (z) I ,Tr/ ^^^*^ in/ 2 ^^ aW > . . .

-f- 5 4> .A"-" + ^ • « -T— "T ^ ' « — 7-a— f ^ sm i TV sin ■>! ;

où ri faut mettre successivement à la place de a', etc, le coefficient âe chaque terme de 5*, etc. qui est fonction des excentricités, 7, 7', et à la place de -kj celui des angles >], auquel appartient le coefficient a\

Gomme i s'étend indiâeremment aux nombres positifs et négatifs , et que cos ( — i-w} zzl cos iw, sin ( — mv) m — sin iw, ( — /) sin (— i%v) -zz i sin nv, on aura généralement, en désignant par / le» valeurs positives de i, eos/w cos >>zz: 2 cos i' \m cos y\ zz cos (v] -|~ ï' w) -^ cos (>| — t^ w), eos î w sin t} :=: 2 cos / iv sin y\ zn sin (/] -\- i' w} -\- sin (7) — 1' ^v), î sin iw cos r) iz: a/ sin /'w cos v] zr / sin (r] -f- î''u') — i' sin (vj — « V)^ î sin Mv sin y\z:za i' sin i' w sin y), ziz -— T cos (rj -j- /' w) -|- «' cos (r] — ^■^v}<, Dans le second membre des quatre équations précédentes, le premier terme se change dans le second, si l'on donne ài' une valeur négative: par eoii-

séquent, si l'on fait / en même tems positif et négatif, ce qui doit se faire (§. 170.), le second terme sera déjà renfermé dans le premier, et il ne re«teia que ce dernier: ainsi les quatre équations précédentes deviendront:

f cos îw cos y] zz. cos (''w -|- v)), ces iw sin rj zz sin (/w -|- vi),

^ i sin Av cos 75 zir / sin (w -f- tq), / sin / w sin "i^ zz — / cos s^/'îv 4- y]},

La première et la dernière des formules ( ) donneront à féquatioa précédente cette forme:

(N) S z= r . A^^> + A . « i^ + e . a^- ifV 4- A . c3 Vr

y- COS (iw -f- >])

Opérons de la même manière sur l'équation (M') (§. 176.), qui ne doit être développée que jusqu'à la première puissance des excentricités. En faisant donc pour abréger,

§ =: cos Cm-' — ft)— cos (fj-'-j- h- — 2 ÎI) — - 7 cos Ca'— te) -j- ^ 7 cos (/ — 2 fi-j- ^5

. . -\-iy' cos('î}jl' — jLt = t3') |„7 eos (a -|- tsî — ail)

— - 7 cos (a' -f- 2 n = n — - 2 lî) — 2 7' ros ( 2 fx' -|- ja — a' — 2 II) ,

©jz: — -^7cos(iu,' — ît)4- -7'cos^ju, — îâj)— -.7co,^(a'— 2|x-f^'}-f ^7''cos(2|x'-=p.-to')

-]- i 7 cos (a -j- ^ — ^ 2 n) — ^7' ces (a -{- îS' — 2 II)

-|- 1 7 cos ; )x' + 2 /Jt — ^ — 2 H) — i 7' cos ( i jx' -|- /-i — ^' — 2 îî) ,

i^=z7sin (// — t::)— 7'."^ir (a — te')— 7 sin (p,'— 2]h-|-k) — 7'sîn (ap,'— p-=-c:') H- 7sii ('j/ -}- CJ — 2]I) ~7'sin(,a-f-îo' — an) — 7 sin ('/ + 2fi — îÂî— 2 II) 4- y sin (2 ^i' -j- ,^ — vf — 2 II},

réqua'ion (M') prendra la forme:

S' zz — ^S- -Sr^^ — -^3,4- -(^ .a-^^l-^---- cosnv jo-.ti^^ + C).a-— - ^

H- ^aa' sin w.^.ei^^^

L I V R E V, C H A p. II. agi

d'où l'on conclura, comme ci-dessus, en employant la même notation dont nous nous sommes servis relativement à S,

+ °4 cos (nv + yi')\ ( r — '• §' 5!'' + © . a ^'-- l :

^\ ©', ^' étant les coefficiens, et rf les argumens, des dilférens termes de Z'} GV ^ 4^1 seront successivement substitués.

§. j-jS. Il faut maintenant développer le terme r f- — ) :=z m' r f — ■) -j-m' ô* r ( — ) ($. iG8. (A). Sa première partie devient m'a ( — ), si les excentricités sont nulles (§. 169.): on trouvera donc sa véritable valeur, en substituant dans Téquation ( ) (^. 169.1, ^ i^) ^" ''^^ ^^ ^' ^* "( — ) au lieu de B. Cela posé, il est aisé de voir par les équations (fi) i^i) \^ïQ

(L) (§. 17 5.), qu'il faut mettre

dB ,. 1 T, 5B , S>aB ,. , 9B

a — au lieu de B, — 4- a — - -■ au lieu de — ,

" - , 4- a — — au lieu de - , , — — - -+- a -— ^ au heu de --- ,

^^B ,. , dB a=)B , d»B ,. - a^B

a-'B ,. -, d^B ^^8 , <J*B a 7- au heu de — r , ■ 7:; + « — •„ --; ou

6 as , i8a a^B , qas 53tj a^ oi*B ,. , 3^ B

-r /v • — .H ^i, • h /„ • au heu de — — ,

2a»5B , a*B 6 a^ji 6a a^B c= a* B .. . ^■'B

^" n — ; 4- « —- OU — --.IJr '1 — rJ'.r " .' -T au lieu de .^— - — ;»

d'^n a4 5B 36 ^aaB 12 .?'B a^ d^B ,. , a^ î5

a T- ou — ~T-it T- a'- T a^ — — ,-• —au heu de^--,

« — — ou — « ~ — s\vi i^v au heu de — el de — ■- — ,,

d a è l 2 d a au. à i-

— a cos Mv au lieu de — ,-, cie —-7:3, et de --

r^ aA^-i^ . ,. , a^B , a^B ,333 ^ , a^ 8

,^ .sai i,^ au heu de^ — , de — -—--, "e ---^^ , etde— --< 2 a a a j,-* d ^. â .c à '.a,j, " «',->■

Au moyen ue ces subsiiUihoas l'équation ( ,) donnera

a« a» ^fo»

COS ÏVr'

-f - . ^^ . f \ (h' -Vff") CCS / H' -f 5 ( /"-f /' 0 / sin / sv

4* ao=

Faisons pour abréger.

K^ + ~r - Ç ^') = 'f , {- ^ (/+ r ') =: '^^ ou

T ~ i (2 -f 7' 4- 7'*) — ^ 7 (i — ^ 7^ -f i 7'^") ces (}}. — ro)

-j„ y ^i j l72 j^yAcos(fi'— ro') — i7^cos 2(m, — îo)-|--y^cos2(jii'— toO ---77' Icos(|a' — fi — 03'+^)-[-cos(fj,'-j-jU— ro'— ro)} — — 73 ces 3 (a — 05) -}-— 7'3cos3(f4'-.TO') -^7^ycos(f(.-2/;i-io'4-2OT)~j7®7'cos(/u,'+2iJt-ïo'-2w)

«— 7 7'2 ^ COS ( > (*' — fA — 2 13" -f- ^) -]- COS (2 f^' -j- 1^ — 2 ^' ^) J »

'A =- i (7^+ 7") - i 7 [i + - 7^+ - 7'»') COS (jji - tsî) + j 7 Yi + ^ 7^+ ^ 7'^") cos (p.'- ro')

+ 7'^ COS 2(n' — es') — 77' {cos (jJi' — fi — w'-\-x>5) + C0S ([A'-f-ft — to' — TO)f

-|- i 73 COS 3 (|x— 05) 4-^ "V'^ COS 3 (}a'— to') — ^ 7^7' COS (|u' — 2 f4 — ro'-f- 2 te)

— •-7"7'cos(f)k'+2fA-ï3'-2W)~— 77'^{cos(2H.'-n-2W'+îc) + cos(cin'+}A-2tc'-c:)|r, 8 Os

L I V R E V, C H A p. II. ao*

'"0rr-C^-i-r')-f-^7^co8 3 (|Jt--TO) -j-i^'^cosa (pi' — c^l

77' I cos (tt' — fA — cj'-f- ÇiJ) -f- cos (pf-\- n — tO • — Xf/j^

> l-7f57H i4'^'^cosrn— TO)-)- i 7'(87*-t-57'^;icos^/*'— to'; -j- ^ y^cosSfp,—^)

-j 7'3 cos 3 ("ft— ro'j-^ -• 7^ V^{ cos (p.' 2Vi — 03'-|-2î5j -^ C0S^JtS.'^2|Jlt — ïc'i — awjj-

. L 7y- ^cos (afi'— fi — =- 2 w' -|- te) -f- cos (âfs'-^p, — atJî' — ns^ },

|y S i^îfZTJ'yfi .l(iil=li) 7'= ?cos (h-' — w') -j-.^i^-7^cos2(iR.— es)

7'^ cos 2 (|a' — roO -f- ^i^ — ^"j 77' cos (n' — f* — w' -f- ce)

^ \ 3 fa z' i^

— U^ -f- i j 7y cos (h.' ^- [X — ïàs'— ro) -i ^^-^g 73 cos 3 ((A — to)

^iJ^y3cos3(M'-«30+^7=^r5 '^^^^ ; '^^^ ^ ^ ^i

-f- ^7y^{ f 1 U'^— 5) cos (2)Jl'— |U,— 2Uî' -j-XO) — 5 (3 i^-|-l) cos (2fi'-j-/A— 2C3'— ÎC)},.

^S r= i r7^ --h 7'^) — * 7 5 I — ^-^^^ 7- — ^''""^ V^ ? cos (ix — w)

^17' 5 I iilnZ 72 '^''' ~" 7'^ ? cos (|u,'— ro') -t- 7'^ cos 2 (fj.'— tïïO 2 ? 2 8 J

-- 7y { ces (|ii — I* — ^ -f ïC) -|- COS f M-'i- M -- ^'--- ^)} •— --Tg — 'V^ COS 3 (fi -— w)

/,-2 i. I C (ôi*^ — i)cos''u.'-f^2|j, — ni' — 2ro)>

-|-iq--:ly3cos3(H/--^)^.i7V3 ' ,,^ '^ , \

'16 ^'^ ' ' 8 i — {'i.i^-\~\)CG&{\i.' — 2fJ. — t0'-f-2tDj>

u i 77^2 f (^^ — i3j cos (2;x' — )x — 2î3'4-ro; — f6/*-|-i3j cos (2|a'-i-ju,^ — 2ca' — •aj)f,

'4> zi: 7$ I !i!=^7^-— — y^ ?sinCa-ro)-y ^ 1 !i!=-'7^-=^'y=?sin(/-co^) C 16 fi Se « 4)

-j- ^ V^sin 2(/x-îo)-^ 7'^sin 2(fJi'-ro')+-77'{3 sin(M.'4-ia-î55'-ro)-sin(fji.'-p.-îïj'+îo)}

-H — ~ — 73 sin 3 (fx — TC) . 7'^ sin 3 (fx' — cj')

— ^ 7V-{(4i'*— i)sin (ja'— 2JA — ro'-f 2ro)4-(4i^~3)sin(fjt,'4-2fA— ti3'-^2ro)}-

+ ;^ ^^^ {(^ ^*^+ 3^) ^'" (^i^'+ ^ — 2TO'— T53) — (8 i^-j-7) sin {p.\i!— ^ — 2W'-|-ro)},

"^F zi: — - 7^sin 2 (/x — tiS) — 1 y^sin 2 (jx' — 'CS') -[- 77' sin (/+ /x — ro' — to)

+ ^ 7(1 17=4-1 6 y") sin (fx-w)-^-^ 7'(i67^+5y^)sin(it'-ç30- ,-^^^siû 3(/x-=w)

-l i- 7 7'^ 1 5 sin (2 fi' — /x — = 2 ^' -]- ^) 4~ ^7 ^^^ (^ '-•'' 4- ?^ — ^ î^' — îc)}. ' ï6

En employant la même notation que ci-dessus, ensorle que "T iriT'' cos vj'j

'«î» i:^ '4> sin >i', etc. on aura par les formules (/) ^§ '77-^»

^^^ \.drJ da ~ à a^ ^ da' ^ da*

A- J , V . • / cos (iw -f- 71 },

A et f^ ayant les mêmes valeurs que ci-dessus (%. 176.}.

La fonction S' i§. 169 ( )) devient | 93 &^ si les excentricités sont nulles: on aura donc dans le même cas

d'où l'on conclura la valeur générale, r^^\-C + àrl^i-\-A/('^] + Av(t^ + A^'(i^; et l'on a

\ç^ay — 2"^ da da da ^ 2 d a^ ^ à a 2 j a^ '

/d C o a^' ^^ L. ^ ^' ^A 4 ^ ^^' '^ ^ 4 '^ f ^^ ^1 ia~,'J — 2 " c/a' ' ^ a "^ 2 * • 3^ ./ + 2 • 7a ' "c^ a' '^ ^ d d . '

/a C V __ fl ^55' ^ '^ I ^ s-tt' il? i ^ , "^ ^ . ii u i f» ^35'

'\d xj £ ' ^ a ^a 2 ' da d d. ' 2 o' a c* ', ' 2 â a c> . *

.•■ac-, a a -S' c^ & , «,■,,. 5=^b , a 955' ,.]& a ^ ^ qj

\d ■/y "2 c^ J.' d a 2. ' ducipJ 2 oi a d}j/ 2 àad:J.''

'Si on substitue dans ces lormulcs les valeurs (11) (!) ^K) (L) ^§. 175.;, jl vieiuira

'di'\ a a'

r . - — - n: — (cos n- — cos vy ! -^ , . , .,, ^- , . „,-,■>

'a \ 'dey