CHAPITRE II L

Inégalités indépendantes des excentricités et des inclinaisons^ et celles qui dépendent de leur première puissance.

§, i8i. X\eprenons l'équation VII (§. 179.)» et observons qu'elle renferme la différentielle /za^zzdju,, sans celle fidlzzd}x'. Son intégration sera donc plus facile , si l'on y introduit l'angle /x au lieu de |u.' , ce qui est aisé par la méthode suivante, dont nous nous servirons aussi pour simplifier les équations IV et VI. Faisons ponr abréger,

n^ a^àY-%^'^ ~ -^^ {(/ - q) sin p.'- (p' - p) cos ^l'} = Y,

^ «^ a St^^^ {{q' — q) sin (/xv -f mO — (p - p) cos {iw -{- f.')} - Z ,

VIL o-^|^ + «=»5-.-Y-Z.

Comme la valeur de i, dans le terme Z, s'étend à tous les nombres entiers» positifs et négatifs, excepté zéro qui est renfermé dans le terme Y, il est visible qu'en mettant i — i à la place de /, Z se changera en

Z^ =z ^ a^ a Sl*^^- ^^ {{cf ^ (7) sin {iw -\- \^)— {p —p) cos ( w +■ ^l}},

parce qu'alors iw -\~ ju,' devient (j — ■ i) (m-' — p.) -|- ju,' zn / (a' — jn) -|- /a. Ce nouveau terme Z' n'est pas moins général que Z, puisque i — i s'étend, aussi bien que Jj à tous les nombres entiers. Il faut cependant excepter le €as où iz=— =1, qui ne saurait être représenté par î—\ qu'en faisant /zzo, ce qui est exclu des valeurs de i. On doit donc ajouter un nouveau terme ï' qui exprimera ce que devient Z dans le cas de izz — i, d'où il vient

r — - a* a' %^'^ {fy — ç) sin p. — {p' — p) cos jj,}.

LIVREV, CHAP. m. 3oi

On observera encore, que le terme Y doit être exclu, parcequ'il est déjà renfermé dans Z'. En effet, si l'on fait /=i, et qu'on observe la règle de mettre

i»fCo) L à la place de ?§(^'~*\ Z' se changera en Y. Ainsi nous sommes

parvenus à cette équation ,

om— — -b»"^^-^ — Z'^:-^--!- '^-^ ô^ . __ !!:! ^2 c/ St^'^ {C<7' — 9) sin f;. — {p' — p) cos f4

^-a'^ d %i^^-^^ {(/ — q) sin (/w -f ^l) — (p' p) cos (nv -j- r)}.

Il est aisé de voir que finlégrale de cette équation ne peut avoir que la forme,

^s-=zt (A sin M- + A' cos \x) -|- B sin (/^v -|- /x) -f- B' cos iiw -}- ^^}• En effet il en résulte

■ zi: in (A cos ju. — A' sin ja) — li^ t (A sin fx -]- A' cos p,)

|- (,/ n) -|- ;,}2 {B sin {iw -f p.) -f- B' cos (/w + fx:}.

En substituant ces valeurs de ô\s et de —zr^- t^'^ns l'équation précédente, et égalant à zéro le coefficient de chaque argument, on trouvera que le terme multiplié par t est identiquement nul, et que

d'où l'on conclura

VIII. 5-5 z= ^ a* a' §(^»^ {(yo -— p') sin i* -{- (7 — ^') cos m} t

Le premier terme, étant proportionnel au lems i, croît à l'infini: il fournit donc à la vérité, aussi bien que le dernier terme, une équation périodique dont la période est donnée par l'angle p., ou par la révolution de la planète m; mais la valeur de cette équation , ou de son coefficient -T- a^aU^^^, augmente indéfiniment d'une période à l'autre. C'est une suite

liécessaire ée la variation des éldmens p, g, p' , q' , ou des inégalités sécu* kires, qui produisent une équation de la latitude, proportionnelle au tems, et donnée par le premier terme qui, par conséquent, nous servira à déterminer les inégalités séculaires des élémens p, q, p% q'. Ce terme est

(,t} ^s — ja" a' %i^'^ {{p — pO sin ^'-f (y — q') cos \i\t,

^çt la véritable inégalité périodique de la lalifude deviendra, après avoir substitué (§. ï 79.} p zz ô sin J, q Tizd cos J, /?' iz: d' sin J', q' zz: ô' cos J',

■n? a* a' ^^'^ — '^ î X. 0 5 tu -- — ■ . , ■■= r U sin (ùv -f- 1* — J) — ^' sin (i%v -|- 1^ ~ J';}-

Il faut se rappeler que, dans le cas où ^'zz i, on a

£s =z !^fl^— S l $|(o> — 4 l {/ sin -(m' — JO — é sin (ji' — J)}.

§. 182. La solution des équations IV et VI, consiste en peu de mots, à intégrer la première, et à substituer dans l'équation VI, les valeurs de V, u', u', et de leurs difFérentif?lles, données par cette intégration, ainsi que les valeurs de R et de r (^— ), développées plus haut. Nous ferons ces opérations successivement par rapport aux quantités w, u^ m", u', et nous commencerons par u.

Si on exclut des équations IV et VI ($. 180.) tous les termes multipliés par 7 ou 7', elles deviendront

m! d d u . , n , 2 /3R\ , ^ r/-^^5^ o zz: — ^ — \- m n u-\~n ar\ - — 1 -\- "nv a j [a nj,

nà t \^ ^ /

nême cas (^. ]6B.\ S' rz o et ri j— )z=o, Tun et l'autre h*; d'où il suit Rzz/?/S(§. 168. (AJ et r [^\zz:mr[jA, 176. 178.) r=z^, ^rzî, 'r=: ?, ':=rzzT, et tous les

eî Ton a da«s le mi

éJant de l'ordre de V

On a de plus (§.

autres coefficiens sont nuls, ainsi que l'argument 11 de ^S* et de '37. Le«

équations (N) (P) (§. 177. 178.) donneront donc

Rzz^ A^°^-f-A^^>cosMv, et ri^^^j =: - a -^-h-«-y^ cos ih'. Or a . Mvzzi (rt' — zï) 5/, d'où l'on tirera