LIVRE V, C H A P. V

i + 2 ^dd \^i^ , a^ d^ ACt> __ ^^j j

""^ 8 da=>

les équations ^N; ^N'j 'P, (P^ f^. 177. 178.) donneront

^-;w' P"y^(;os ((/+ 2) jx' — iix — 2 ïs'y — mT"^<3*cos ^(/^ i) \x!—{l— 0> — 2n),

-|-m'Q"7'\'os(C'+2; fx'— m— 2CJ'j — /7z'Q"'ô^cosrf/-Hi j |ut'— (/— i V— ^''— ^}. Il est aisé de voir que les fonctions Q sont les ditïérentielles des fonctions. P par rapport à a, de sorte qu^on a

Q°-«;t. Q'==«Tr^ Q"-«

da.

3 pie 5Pïï^

Il est aussi visib'e que,^ pour donner aux quatre argumens qui entrent dans R et dans J' [x—j , la forme /ju,' — (i — ■ ^) l^ — const., il faut mettre à la place de i, i dans P* et Q^, /^ i dans P% QS P"% Q'"^ et î— 2 dan» P", 9". Ainsi on aura

8 da^

pi__ (£:

pir - 4^'"-7^'+« a(z-2>^ ii

fA).

I p„,f|:3((f-i>. ço-

Q^ zi: -^ ' a +• la" -

'' 8 "d ftâ^*

da^

^la posé on aura, en faisant pour abréger^ /w-j- 2 fi tz: vj^^^y

R — m'P° y^'cos (n^^'^— 2to) — w' P' 7 y cos (7]^^'^ — ro — ÎC'J -L m' P' ^ y'^ cos r i^^> a ro'; m' P" ï ô" cos (>)<•'> — 2 Hj , r ^— j zz m' Q" '>= cos (^tj,*^''^ = 2 Wy — m' Q' y Y co& (,n^^^ — îS-=-î3')

328 ASTRONOMÎEPHYSIQUE

-f- m' 9' ' y^ cos (7]^^'^ — im')--m'q^^'^ ô" cos (r/^') ~ a H), d'où Ton iiiera

^^° 7^ sin ^r)^^'^ — 2to) — P^ 7 V sin (>]^'^ — 'Cî— ■^' v

(a-R) - (i ^-- 2) m'/za ^^ p^^ ^,^ ^.^^ (73<^')- 2^0 - P"' ^'sin (>J^''^ - ^n. r

Pour les autres termes des équations IV, VI, qui admettent la forme yf^^, on trouvera , en vertu des équations (a) (b) (§. 182.J , XII (§. i83.), et des formules (tj (§.177-)» u cos 2 (,u, — m) zz. B^'^ cos (tj^^^ — 2C5), u sin 2 (fi — tcîj =z B^^^ sin {r\^^^ — iw),

—- sin 2 ( fi — to) in : — / {n — n'J B"^'^ cos [y\^'^ — 2TO}, - — cos 2 C/A — w)zi:i (n—~ n) B^^^ sin (t)^'^ — 2ro),

— ^ cos 2 Tia — ro) = — P (n • — ny B^^^ cos (>]^'^ — 2 w),

«' cos (m, — 10) =: — î ^/i^^"^ 7 cos {y\^^^ — aro) -j- î îs^^^ 7' cos (t)^^^ — to — 53'), w' sin (ju. — to) =: — ï M^^'^ 7 sin (t)^^^ — 2tc) -f ,^ N^^'^ Y sin (vi^î^ — ta ^ to'j,

™ sin(fx — K)— '"^''"f^"^ fVÎ^^')7cos(ï)^^"^— 2^) — ]N^^Vcos,7]^^'>— îO^roOK

|^'cos(îx -«:)=— '"-"~^'1=^ {Vi^^'^7sin(>]^^'>— 2TO)— ]N^^'Vsin(7i^^'>— n — îoO},

- -'^' cos (m-w) — U'(^-^0--^^ ^ vi^^'> V cos [yfi^—'.T^) — -^^^^ Y cos (y]^'^ — ro— 10' }.

A l'égard de l'intégration des fonctions de R, il faut observer que, les inégalités qui sont divisées par un très-petit nombre, ayant non seulement une valeur considérable, mais aussi une longue période {%. if^9;, il n'est pas permis de regarder les élémens 7, xo, etc. comme conslans durant une période entière, comme on l'a fait jusqu'à présent j mais qu'il faut tenir compte de leurs inégalités séculaires, dans l'intégration même. Soit donc kdX une différentielle à intégrer, k étant fonction des élémens àçs orbiies. Si l'on porte la précision jusqu'aux différentielles secondes des éiémens, -^ - §. 186. 188.), et qu'on intègre par parties, on aura

f/cdX — kX—fXdkz=zkX—f^^XdL En faisant pour abréger, ~^h, -/~-h', fXdt-Y, fYdi—Z, on trouvera

fhXdt = hY''fYdhz:zhY — fh'Ydt, donc

//taXzr/^X — /zY-f^'Z, d'où il vient

fdtfJcdX^fkl^dt^fhYdt^fh'Zdt — fkdY — fhdZ'\-h'fZdt:iz

kY—^fhdZ'^h'fZdtzzikY-^T.hZ^ih'fZdt. Ainsi on a

(fdifkdX zn kfXdi— 2 tlfdtfXBt -f 3 tl^ f^tf^tfXèt.

/ri R\

Ces formules nous serviront à trouver les intégrales de (3R), de r(-j-)3^, et de3^/(3R), relativement aux inégalités à longue période. Pour les autres argumens, tels que w, on fera simplement fkdXzizkX, fdtfkdXzzkfXèL

Au reste nous n'aurons égard aux différentielles secondes — -, que dans les

équations du troisième ordre, \p, \p'. En rassemblant toutes les valeurs précédentes, et faisant i(n — n^j — awzzX, on aura

4. i^=JL' N('> 7 y cos (V" to - «') -f ^ a/(3R) -V ï^, ar fi^X

VI. U^' 1= -- + 5 '-^-- M^^> - ^-tZÎ BC^) l y- sin (r,(^->- 2^) nàt ^ l 2n n ^ ^ '

an 'm''-'^'m'^''\dry

§. 192. Intégrons maintenant les valeurs précédentes de (d'K), ri — \dtf 9^(3R), et faisons pour plus de simplicité,

rv^sinawzz/; 7*cos2W=:/', yYs\n(i3i-\--ui'):=:g, yVcos{vS-\-w')-=.g\*

^^ ^y'^sinato'zzA, Y^ cos 2 îc' zz //, h^s\nyli—k, ô'^ cos 2 n iz. /^'

Cela posé on aura (§. 191.)

fTiM^-- 'r o^ . (^PV'-P^/4-P"^'-P"'Osin>,<^'>> ^ ^ ?-(PV-P'^-i-P"^~P"^/^jcos^(^^S»

r (^) = ^'(Q°r - Q^^'-f Q" A'- Q"^ ^') cosr,^^> ^' (QY Qî ^ } Qii ^ QUI ^.) sin ^(O.

j^ ^; «^^ etc. étant les fonctions variables des élémens, que nous avons dé-

sis^nées par 1^ (§. I9T.^. Si on observe maintenant, que dvi^^^rr — \'èt ou â^rr: r — (§. î9>.^, la piemièie des iormules fB) donnera

sm 7^'

La seconde des formules fB) (§. igr."! donnera