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X dt

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■'=' X af.

L+P..(;.^..|^)pu,(,.=.|i)jj

Les rapports différentiels, ^r-. •:r---- =~ , etc. seront déterminés de la manière suivante. On calculera, a i'side de la formule (<?) (§. 188.), lés valeurs des élémens 7,^,7', to', ô, J, 0', J', pour les époques de aSoo et de 2800 , leurs valeurs pour 1800 étant données. Eii désignant les valeurs, correspondantes aux trois époques de 1800, 2800, et aSuO, par 7, (7), [7j( etc. on aura

33a ASTRONOMIEPHYSIQUE

f=y^smzxji, (/) —(7/ sin 2 (03), [/] r=: [7]^ sin a [ro],/'=r'V* cosarï» etc. Pour déterminer les quantités X: zzô^sin 2II, /t'zz: ô*cos 2II, soit (^Fig. ^i.) VIE l'écliptique , IN A l'orbite de la planète w^ /NS celle de m', et l'arc Nn perpendiculaire à l'écliptique. Cela posé ou aura Ii = J'— J, tangNIn — ^ tangN/«=:^', ^« = 11, tangIN/=:Ô" (§. 168.), donc

Nniizô'sinï/i — ôsin IN, d'où l'on lire ê' sin (Il — J') :=: ^ sin (Il — J), et en développant,

ô' sin j' — é sin J

tane D. zz —, — =,

é cos J — $ cos J

Le triangle IN/ fournit l'équation, cosN:=cos(J' — J)sinNI/sïnNzl— cosNI/cosN/I, ou cosN — I— 2(sinîN;*iz:i — |ô'^=W'cos(J'— J)4-i— ?(ô"-f-ô'2j; d'où il suit

Ainsi 1 équation précédente donnera sin^nn^ — ,cos^IIz^^ r^ —y

d'où résultent ces deux équations,

ô" sin n zz: ô' sin J' — ô sin J zz e, ô" cos II zz ô' cos J' — ù cos J zr e' , ce qui donne k-zz-iee' , k' zzié^ — e^. On trouvera de cette manière les valeurs k, h', (/?:), (//), [/cj, [/^'J , relatives aux trois époques de i§oo, aSoo, 2800, en substituant (0? (J), [0], etc. au lieu de $, J, ô', J'. Maintenant il est aisé de conclure les rapports différentiels ■—, — — , des troi-s valeurs^i (v/)j [J^l> etc. On a pour un nombre t quelconque d'années écoulées

)rès i8oo,

fziLf-Y t^~ ^~. —^ -\- cet, d'où il résulte

(/) =z/+ 5oo ^ -f 1 25000 y^ , [/] :=zf-V 1 000 ^ + 5ooooo ^ , d'où l'on tirera

^ ■' ôt looo * di* 260000

Il en est de même des autres fonctions, y'^ g, etc.

On trouvera le même résultat par la différentialion. En eflet l'équation fzziy'^ sin 210, donnera

3/ /d7 . d«r \ */ 57 , J ^xx .

dt" "" ^"^ \7»'i> *»:'■* 7* at» ^ dtv ' ^^ 1,7'^t'at ' atv' §. 193. La première équation, relative aux perturbations de Jupiter par l'action de Saturne, a pour argument l'angle 5 /x' — 3^, zz5"^ — 3î^zrcp

(§. 190.), d'où il suit / zz: 5. Ou a vu que est une très-petite

fracfiont en faisant donc

b n — in zn ^ 71 , on pourra négliger les puissances supérieures de ^'. Cela posé on aura

n'-zz ^ n, n — nziz — —• n, i[n~i/) — iîiz:z.\zz:{i—^')n, X^ — rî^zz: — 2^/î%

i%n — /// — n^zz (8 — 6^') /i% i{ii—n') — 72 zz (2 — ^') ;/, f{n — n') — n :n ( 1 4 — 5^) w;

aA«>

Si l'on fait pour abréger,

6 (I -f ^O ûP^ + a Q» — (3 — ^) N^^> =: n, 6(i-^§)gP'»-]- «Q" — m, 6(1 -f |)aP"'-4-«Q'"=lV, l'équation IV (§. 192.) deviendra

,,^,, r«^([. r-IL,^'+III. A'-IV. ^0 .

+ ^ n\Lf-^U.g^Ul.h-^iy,/c)4-6(i+2^)na(v° ?^' -P' ?^+P" ^-P"^ ^}\ ? sin$.

Considérons séparément les termes qui dépendent de y et de y'^;, de sorte que

(E) o=:^^-t-n^/-|-^î./z=r — 6(i-^2?)naP°|^^cqs(î)

^U.n^f-\-6{i -1-2?) naV' |y?sin (p.

Il est aisé de voir que l'iniégralc doit avoir cette forme, qui sera également celle des autres termes qui dépendent de g, h, k, etc.

i/'- (f/' - G ^^) cos ^ -f (f/H- g ^') sin <î);

d'où Ton tirera en difierentianl, vu que — m — X,

77 = (f ^' - XF A- XG % cos $ + (xFy - XG i| + F If) sin *,

f^ = -(x'r/+X=G|4'-.XI.^/;),i„$(x=F/'X=G|-f+.XF|f)cos^.

Ayant substitué les valeurs de u' et de ■ ■ dans l'équation (E), la comparaison des termes semblables donnera

Ainsi on aura