CHAPITRE VII I

Théorie de la Lune,

§. aSg. A-'a théorie de la Lune est rappllcation du proLIème des trois corps, et des formules qui en ont donné la solution, aux perturbations que la Lune éprouve dans son mouvement autour de la Terre, par l'attraction du Soleil. Mais ces formules étant trouvées par une approximation, fondée sur des suppositions qui ne sont pas admissibles dans la lune, la théorie de ce satellite exige un calcul différent, et plus pénible que celle des planètes. Une de ces suppositions est celle, que la masse perturbatrice soit si petite par rapport à la masse centrale, qu'on puisse négliger son carré. La masse de Jupiter, qui est à peine la millième partie du soleil, suffit cependant^ pour produire, dans le mouvement de Saturne, des inégalités d'un degré. Mais dans les perturbations de la lune, la masse perturbatrice, divisée par la masse centrale, — zm m' , est un très -grand nombre, 354790. Ainsij

quoique ce nombre soit partout multiplié par le cube du rapport des demidiamètres des orbites de la lune et de la terre, c'est -k- dire, divisé par 64000000 j le quotient o,oc6 est trop considérable, pour qu'on puisse négliger son carré. L'ensemble des perturbations de la lune est d'environ deux degrés, ce qui étant multiplié par o,oo55 donne 4^' • ainsi le carré de la masse pourra produire des inégalités de plus d'une minute.

La méthode dont on se sert pour calculer les inégalités de la lune^ n'est pas essentiellement différente de celle qui a été employée pour les planètes. C'est la transformation, combinaison et séparati-on des trois équations fondamentales, fournies par la dynamique f§. 109), par laquelle on obtient

L I V R E V, C H A p. VIII. 409

de nouvelles formules différentielles qui donnent séparément le rayon vecteur, la longitude, et la latitude §. -i6^ — iG'j.). La forme de la première de ces trois équations ayant indiqué la forme de son intégrale, on différenfie cette dernière 3 en comparant cette différentielle avec celle qui est donnée, on détermine les coefîiciens de l'intégrale j et en les substituant dans les deux autres équations différentielles, on trouve l'intégrale de la longitude et de la latitude. Le développement complet de ce calcul n'entre pas dans le plan de cet ouvrage. Il suffira de déduire des principes généraux, les variations des élémens de l'orbite lunaire, et ses plus grandes inégalités périodiques, suivant la méthode que Newton a adoptée dans son immortel ouvrage. Cependant nous donnerons aussi un abrégé de la méthode de M. de Laplace.

§. 240. Soit {lig. 44) T la terre, supposons que le soleil se meuve autour de la terre suivant OSP, la lune L suivant LADBC dans une ellipse qui s'écarte très- peu du cercle, et nommons Q la masse du soleil, divisée par celle de la terre, TS=:a, TLzzij, LS — 3. Cela posé, la terre sera sollicitée suivant TS par la force -^zziT, la lune suivant LT par la force

— iz:?, et suivant LS par la force—, qui sera décomposée en les forces

^ = Q suivant LT, et — =1 R suivant TS. Si la force R était égale à T, elle ne changerait point le mouvement relatif de la lune autour de la terre et son seul effet consisterait à approcher du soleil le centre de gravité de ces deux corps: d'où il suit, que la lune s'éloignera de la terre parallèlement

à TS, en vertu de la force Qa (^~ 1) = S. Or la plus grande et la plus

petite valeur de z étant SB=-a-|-J^ et SA ma — j, et par conséquent sa valeur moyenne ST =::«;, il est visible qu'en général cette force ne peut pas altérer la distance moyenne de la lune à la terre. Les forces qui accélèrent le mouvement relatif de la lune autour de la terre, sont donc P4-Q suivant LT, et S suivant TS ou L M. En prolongeant TL à V, menant la tangente de l'orbe lunaire LN qui est perpendiculaire à L V, et nommant (p l'angle STL zii Q — C = MLV; la force S se décomposera en les forces S. sin (p suivant LN, et S. cos $ suivant LV. La lune sera donc sQliicilée par

43o ASTRONOMIE PHYSIQUE

la force centrale N = -^ -1- -^ — ^-^f~r— ^^^ ^ suivant LT,

et la force M suwant la tangente LN = 5—3: — sin cp.

La dernière est employée principalement à modifier la vitesse de la lune, tandis que la première altère la nature même de son orbite.

Dans les syzygies A, B , on a sin (p z= o , dans les quadratures C, D, zina-, la force M est donc nulle dans ces quatre points. Depuis le dernier quartier C jusqu'à la nouvelle lune A, sin 0 est positif et s <C «; du piemier quartier à la pleine lune B, sin (p est négatif et z'^ a: la force M est donc positive ou accélératrice dans ces deux casj elle est négative ou retardatrice depuis la nouvelle lune jusqu'au premier quartier, et de la pleine lune au dernier quartier.

§. ^\\. Dans le premier et le dernier quartier on a cos {p = o, z-zia^ partant N zz: ^, + -^; dans la conjonction A, N est zi:^ 4" ^^zï^fa- "H %

î O f ^ Ût "V ■■ ■ "V*^ j

r~ — ^^ — -—. — ■, et à cause de la petitesse de y par rapport à «, N iz:

y^ a-'ia-yY ' ^ T . [ a\ .

^^— ^-^ à fort peu près^ dans l'opposition B on a N zz ^, -f ~^j 3 — |i

— — . Il suit de là, que la force centrale ,. éprouve la plus grande

augmentation, -^, dans les quadratures, et la plus grande diminution, — —g dans les syzygies.

Ayant abaissé sur ST la perpendiculaire LF, on a à très-peu près 2zzSF, d'où il suit z ZL a — y cos Cp et 2^ zz a^ — 3a^j cos (p. Cela donne

Il s'en suit , que la force M est un maximum positif dans les octans qui précèdent les syzygies, et un maximum négatif dans les octans qui précèdent les quadratures. La force centrale est zz —, et n'éprouve par conséquent aucune

altération, si 1 -j-^cos2$ est nul, ou cos 2$izz— ■-, c'est-à-dire lorsque (pzz54''44^ (pzziaS^iô', cpzzidS^ie'', ou cpzz234°44'> ce qui arrive à 10 degrés avant les octans qui précèdent les syzygies, et à 10° après les octans qui précèdent les quadratures. Dans ces quatre points, la force centrale change

LIVREV, GHAP. VIII. ^t

précisément en raison inverse du carré des distances j mais dans tout le reste de l'orbite lunaire la force centrale suit des lois différentes. Cherclions la loi qui a lieu dans les points principaux de l'orbite.

Dans les quadratures on a N =: r-^ — • En désignant par / une