CL

valeur ii-ès-peu drflérente de j, et par N' la force centrale dans la distance on aura N : N' : : i, (r + ^ :^ (r -^ ^) . Faison. ^ ^ -,,

ey'^

zzz a.\ de sorte que

I 4- et I -f- a'

N : N' : : — ~ : —7^ , « étant à peu près o,oo5 (§. 23g.).

Or y doit être exprimé par le rayon de la terre (§. Sg.), ensorte que yzz6of à peu près, d'oij il suit que toutes les puissances de y, qui ont un exposant positif, soit entier soit fractionnaire, sent des nombres plus grands que l'a* ûité; conséquemment on peut donner a la proportion précédente celte forme»

^ ^ ' ' y^ ' y'^ ' ' y^-'^ y'^ — '^ y'"' y'^^ * étant une très-petite fraction positive, et « <^ 2. Il suit de là, que dan» les quadratures, la force centrale change dans un rapport qui est moindre que celui du carré des distances.

Par le même procédé on trouvera dans les syzygiesy

p étant "^ z= 2 a 11:0,011, On a donc i-^-azuy"*^ et i — pi^j"" ? d'où i'on tire

vlogj^log (ï4- a), — Xlogy=log (i — (^j, ou à fort peu près, vlogjzza, X log J n: (îm 2a , donc X-nav.

En faisant N r= -^ , m est plus grand que 2, et m — 2 :=: 2 (2 — k). Il eo suit que, dans les syzygies , la force centrale cbange dans un rapport plus grand que celui du carré des dislances.

La partie de la force centrale , qui modifie la nature de la courbe, savoir - — N=z— fi-f 3cos acl)), est un maximum =::— 3- dans les syzygies^ mais sa valeur actuelle dépend de la situation des apsides. Si l'on nomme

N, ]N', les forces centrales dans les syzygies, qui conviennent aux distances j;, y\ ou a vu que

Ce rapport serait précisément le rapport inverse du carré àes. distances , si 20/^^ 20j^^ étaient égales: il sera donc dérangé d'autant plus, que j et y diffèrent plus l'un de l'autre. Or leur différence étant un maximum , si l'un des deux points coïncide avec le périgée, et l'autre avec l'apogée, il en suit, que la force centrale s'écarte le plus du rapport inverse du carré des distances, et que par conséquent la nature de l'ellipse éprouve le plus grand dérangement, quand les apsides coïncident avec les syzygies; et que le dérangement est le plus petit, lorsque les apsides coïncident avec les quadratures.

§. 242. On a vu (§. 240.) que la force M augmente la vitesse de la lune, dans toute la portion de son orbite de C en A et de D en B, mais qu'en A et B elle commence à la retarder. Il en suit, que la vitesse de la lune est un maximum dans les syzygies, et un minimum dans les quadratures, et que par conséquent son mouvement horaire augmente depuis les quadratures jusqu'aux syzygies, et qu'il diminue des syzygies aux quadratures. Il en naît la grande inégalité du mouvement horaire zn 4o"cos2(|), qui est -\^ ^o'' dans les syzygies, — ^o" dans les quadratures, et nulle dans les octans : on la trouve dans la Tah. LI. de M. Biirg.

Dans les syzygies, la vitesse est un maximum, et la force centrale un minimum (§. 24'-)' I^ suit de là, que le mouvement de la lune s'écarte moins de la tangente, ou qre son orbite a la plus grande courbure dans les syzygies, et la plus petite dans les quadratures. li est donc visible, que la lune approchera le moins de la terre dans les syzygies, et le plus dans les quadratures. Or comme il est impossible que la lune approche continuellement de la terre, son orbite n'étant pas une soirale mais une courbe fermée, il s'en suit que la lune commencera à s'éloigner de la terre dans les syzyges , et à s'en rapprocher dans les quadratures , et que par conséquent sa distance à la terre est la plus petite dans les syzygies, et la plus grande dans les quadratures j de manière que son orbite ressemblera à un cercle,

LIVREV, CHAP. VIII. 433

aplati sur la ligne des syzygies, et alongé sur la ligne des quadratures: ce qui est conforme à l'inégalité de la parallaxe rz 26'' ces 2 (|> (II. §. 2i3.). On verra aisément , que cela suppose l'orbite circulaire j si l'on a égard à son ellipticité, on trouvera de pareils changemens, qu'éprouve l'excentricité ou la nature de l'ellipse.

Soit {Fîg. 45.) T le foyer, C le centre, A l'apogée, B le périgée, CT l'excentricité de l'orbite elliptique ALB que la lune L décrirait continuellement, si la force centrale N iz: — était toujours en raison inverse du carré de la distance TLury, ou ce qui revient au même, si n était := 2. Mais si la force, de A en B, augmente dans un rapport plus grand, n étant ]> 2, la lune approchera de la terre T: sa vraie orbite Klb tombera en dedans de l'ellipse ALB, T3 sera moindre que TB, et c, le milieu de kb, sera plus éloigné de T que le centre Cj conséquemment l'excentricité Te augmentera d'autant plus, que le grand axe A^ diminue en même tems. Par la même raison, en supposant encore n ]> 2, la lune s'écartera de la terre de b en A, parceque la force centrale diminue dans un rapport plus grand: elle décrira l'ellipse bda, et le milieu 7 de ba sera plus éloigné de T que c; ainsi l'excentricité augmentera également dans l'autre moitié de l'orbite. Le contraire aura lieu, si n est plus petit que 2. Or n surpassant le nombre 2, ou celui-ci surpassant n le plus, selon que les apsides coïncident avec les syzygies ou avec les quadratures (§. 241.) 5 il en suit, que l'excentricité est un maximum, lorsque les apsides coïncident avec les syzygies, ou la plus grande équation du centre avec les quadratures, et qu'elle est un minimum, si la plus grande équation a lieu dans les syzygies; et qu'en général l'excentricité augmentera ou diminuera, selon que la ligne des apsides avance des quadratures aux syzygies, ou des syzj'gies aux quadratures. Ce sont précisément les mêmes phénomènes que Ptolémée avait déjà observés , et qui sont connus sous le nom d'évection (II. §. 195.). Ce changement de l'excenlricilé est parfaitement conforme à celui que les astronomes modernes ont déterminé par observation , et qui est proportionnel au cosinus du double de la distance du soleil à l'apogée de la lune (II. §. 198.).

§. 243. Si les points où la lune parvient à sa plus grande et à sa plus petite distance de la terre, ne sont pas les mêmes à chaque révolution, sa véritable orbite ne sera pas une ellipse, mais une autre courbe dont la nature dépend des perturbations; il en est de même des changemens de l'excentricité, dont nous venons de parler. Mais comme la lune ne s'écarte pas beaucoup de l'ellipse, et que toutes les tables astronomiques sont fondées sur la théorie elliptique, cette théorie a été adoptée aussi pour la lune, et l'on a représenté le mouvement des apsides par une fiction, en supposant que la lune décrit une ellipse qui tourne en même tems autour de la terre. Pour répandre plus de jour sur cette matière , il sera nécessaire de dire quelques mots sur le mouvement d'un corps dans une oibite mobile, en supposant que ce mouvement résulte d'une petite déviation de la force centrale du rapport inverse du carré des distances.

Soit {Fig. 4j.) a.' M' W l'orbite elliptique de la lune, C la terre, A' le périgée, M le lieu où la lune se trouverait à une certaine époque, si son mouvement it'était pas troublé par le soleil. Supposons qu'en vertu de ces perturbations, l'ellipse entière tourne autour de C, ensorle qu'elle prenne la position AMB, faisons ACM =1 A'G M': cela posé, M sera le vrai lieu de la lune, et CMzzCM'zzrj la vraie distance. Le mouvement réel de la lune de A' en M est composé de son mouvement relatif A' M', et du mouvement de Porbite K' K, Désignons par w et ^ les vitesses relative et réelle en M ou M', et supposons que les vitesses angulaires dans le mouvement réel et le mouvement relatif soient entre elles comme /x à 1, et que l'ellipse soit donnée par une équation entre le rayon vecteur y et la perpendiculaire abaissée sur la tangente, CT n: CT'izz w. Si dans le tems dt, la lune parcourt l'arc M'mznMm, et que dans le même tems l'orbite, en tournant autour de C, décrive l'angle mC/i., ayant fait C]iz^Cm, ju, sera le vrai lieu de la lune au bout du tems t-{-dt, et M fi est f élément de sa vraie orbite, Qtzzzp étant perpendiculaire à M|a, et Mwv un arc de cercle, décrit du centre G. Cela posé on aura

M /z : M V : : 1 : fji, M a ; M m w v \ w, mnziz dy, et en faisant UT — Y {y^ — u^) ■— q , les triangles semblables MCT, mMn^ donneront