LIVRE IV, C H A P. IV. le-j

sin* V cos^ £ zn sin* (y — 0 ~^" 5 sin 2 £ sin 2U au lieu de cos^ v s'in^ f, cos't;cos^£-j-sin'^i;sin^en:cos^(v — s) — îsina s sin 2 v au lieu de cos"i;cos* 2, et sin e eos £ (cos^ u — sin^i;)zrlsin2 £cos2U au lieu de sin£cos£cos^ v. Cela posé, en substituant encore les valeurs (12), et faisant pour abréger, ï H — K zr H', V — sziiu, on trouvera

(a) ^aM(XÔ'Xcos='i;4-YârYsin^'i;-|-X2ZôZ)zi:

— îô'w { L'cos 2Vsin 2£ cos Ctî-|-N''[cos 2t;cos 2£ -|-(sin^w-)-|sin2Vsin2£ — X")sin^ic] } — '?ô £cos2 v { [H''sin^îî5-|--L'(i-f-cos^îi5)]«in2 f-|-N'cos2£cos w} — ^S<gS {(Ef — ?L'')(sin^M-j-îsm2i;sin2 £ — X^)sin2t5 — | N'cos 2 usinas sin to} . Le terme (Yô'X-|-Xô'Y)sint;cost; est îsîn2 i;.ô'(XY), et en rejetant dans

les équations (6) (§. 100.) les termes de la forme (7), on trouvera

— - :zz sin £ cos £ (cos^ P cos^ Q'-" sin'^ P sin^ vs — cos^ P sin^ Q' cos^ w)

-{■ (cos^ £ — sin^ è) cos^ P sin Q' cos Q' cos vs^

— zz: — ô'wcos^P lésina £ sin 2 9^(1 -|-cos~ro) —cos 2 £COS2Q'cos w}

C I cos 2£ [(cos^ P — 2 sin^P) sin^cJ-|- cos^P cos2Q'(i -f- cos* tsî)]^ C — sin 2 £ cos^ P sin 2 Q cos X/S - >

— ô^tOsin^ {sin2 £Cosro[sin^P — ïcos^P(i — COS2Q')] -)-icos2£COS*Psin2Q'} , donc (5) ^dM (YôX-f X5-Y) sin v cos u =r

I ô" w sin 2 1; { L^ cos 2 £ cos vs — ï N' sin 2 £ (t -{- cos^ xs) }

-4-ïô'esin2V {cos2£ [H'sin^ticf-{-IL'(i -f-cos^ts)] — N' sin 2 £ cos xsj }

+ ï ô'tsî sin 2 V sin xs { (H' — ï L') sin 2 e cos tsJ — î N' cos 2 s } .

On aura , par ce qui précède , ê' (XZ cos i; -j- Y Z sin v) , si l'on met dans

fî.XZcosu^ sin(£ — u)i= — sinu au lieu de sin £ cos u^ et cosw au lieu de

cos £ cos V. Mais (6),

— T- zz — -- sin' P sin £ sin 2 w — I cos^ P sin 2 O' cos £ sin x>s

-j- 1 cos* p (i — cos 2 Q') sin £ sin 2 w, d'oii l'on tire (c) X . 2 aM . Ô: (XZ cos 1; + YZ sin 1;) zz

- Xôw sin tC { L'' cos w 4- N' sin m cos to } + XÎ£ sin ro { (H' - 5 L') cos m cos ttf ~? N' sin u |

— X6t«j{(H' — |L') sinu cos2t;3 -f-? N' cos w coscJ} . Si l'on ajoute ensemble les trois fonctions^ (a) (3) (c)^ l'équation (i3) donnera

Z.SôS.aM=:

5 tj C L' (sin 2 M cos vs — 2 X cos u sin tC) — ^

2 c ^ N' f(î — 2.\^) singes -4-(i -^ cos^ ot) cos2îi-4-2XsinMsin2tCj?

5 5^ \ R' {s'mius'ni^ zs -\-\cosus'm 'iw) -\- — \j\niu {1 -f- cos^ro) ( ( — X cos u sin 2 ■ce] — N' (cos 2 w cos TO -|- X sin u sin t*5) )

\ H' '- r^ sin 2îi5 fi — cos 2 M — 2X^; -f- 2Xsin w cos 2

^ ( -}-— [sin 2 ;/ sin îS -|- 2 X cos u cos ts] Faisons pour abréger,

= sin2wcostiO — \ cos u sm-us zzi^-li, — sm w

, T-f-CO>^ro , X . . c»> T • ^ • O X . , />

-4 cos2t/H — sini/sm2îiiJzi:îo, isiri2usin''roH — coswsin2B3ZVi.

fî&) V ^ '^^ —sin 2a cosMsin2^::r:3^, cos£MCosîi3+— sini^sinw:ziS,

sin ^ t«5 . os . . o 1

(^1 — cos 2 11 — 2 A ) -]- X sm U cos 2 05 zi: (y, i

sin ^ . , X ^ 1

sm O.U -\ cos U cos wzz\^, J

et suLsliluons L^ :z= L cos 2 w — N sin 2co, N' ziiN cos 2co -|- L sin 2co (§. 100.); cela posé, réqualion précédente prendra la forme

(E) E S ô' S a M zz:Sio{ 5( L — 93 N) cos 2 w — '51 N -f- 93 L^ sin 2 w }

-|- Ô- £ { (2 H' + (S) L — €N) cos 2 U) — (:^ N -j- (£ LVsin 2 w }

ce aui éfanf multiplié par — • ^ nu — -, donnera le der-

nier terme de l'équation (C) (§. 99.). \

§. 102. Pour donner plus de sjmméirie à l'équation (C), faisons

( ^*i cos 2 co — 5B .si n 2 w =z X2'', 51 sin 2 w -j- 93 cos 2 u =1 9J'\ " g = E',

(i5) ^ 35 OS2C0 — € sinato :nE'', !î)sin2 w -|- (Scos 2 wz=E'^, -5 = 11',

(F) H (XI 6 w -|- E J 6 -f n S-oj) =:

JilA^JL I ô-co(a-T~ll"']N)+Ô£(E'H--i-E'a~E'''ri)-5tc(ff H'~n''L-i-n''N) } .