LIVRE m, C H A P. XI

que possible. On va voir que deux observations suftisent pour cet eiYêt, à Taide de Ui troisième loi de Kepler. i

§.. 169. Soit {Fig. 46.) S le soleil, Tt l'orbite de la terre, P, p, deux points de l'orbite d'Uranus, où il a été observé de T et /;, et appelons lei quantités données par les observations et la théorie du soleil,

STzzia, Si!=i:ô, TS/=i:7, PTS nz a , >/S :=: p.

Tannée sidérale de la terre zzz A,

le tems écoulé; entre les, deux, observations i^ i^ les. quantités qu'on cherche,

Tannée sidérale de la planète inT,

Tangle au soleil PS^znoj,

le rayon vecteur, ou le r-arcn. de- son: orbite, SF zz.Sp::!:^. En- faisant le demi -diamètre de Torbite de la terre =11, on aura en vertu dé la troisième loi de Kepler, TzzzAxVx, et, à cause de l'uniformité supposée du. mouvement, T zn — ^^-d'où il suit-.

^ " tCTT- f

:c y jc A Les: triangles,. PS T, pSt, fournissent ces relations:

Pzz: i8o°— a— PST, p=:i8o'— (3 — pS^, donc

, ^ P-f p=:Jao°~(ai-p)— (PST-i-/^SO.

Mais PST-i-/;S/ — PST + PS/-f wzi:36o°— 7-l-co, donc

et . b .

OïL a de plus,. sin P zz — sin a, sin p zn — sin p j

€r les- angles P, p, étant tout au plus 2° et quelques minutes, on. peut, supposer

a sir. « -f & sin j3

P -|-p zzsin p -j- sin

ce qui étant, comparé avec la: valeur précédente de P-j-p;, donnera;

(a sin a-j- b s'in p) Y x zz: (7 — a — (3) xY x. ■— .

En faisant donc a; :=:j% on aura cette équation du troisième degré,

o -c sin a -f- & sin p û TT f

dont la solution donne j et x zzij^. Le résultat, trouvé par cette première

approximation, sera: rendu plus exact,, si,, après avoir, calculéj les angles w,

P, p, au. mojen. des formules

aTTf . ff , . ô .

on cîiange la valeuij trouvée de x, jusqu'à ce qu'on ait exactement

ï. Exemple. Deux des preniières observations, faites en 1781, donnent a — 72» 17^53'% p — 93=29^ 3i'^ 7=z:i73'5o'i3'^ a:rz i,ooo6S, ^=:zi,ooo53, / nz roo jours 6 h. 45 m. donc 7-=- K -—p zn. 8° 2' 49'' zz 0,140445675; ce qui donne Féquation-

ozny^ — i3,8gb49.j — 22,0813; .à laquelle satisfait la valeur jzz: 4, 355285; les deux autres racines étant imaginaires. On a donc j^zz a; zz 18,9685 ..,. Au moyen de la correction précédente on trouvera ^ zz 18,974- En effet, cela donnera cozz2°9^ Pzz2»52'48", p=3»i'ï^', donc p |p | co zz S° 2'49^'zz y — ^ï-^-^p. JI. Exemple. Deux autres observations de la même année donnent

azzi.9'34'29", pzz4o«44'44'^ 7 rz: 64° 9'42", fzz 67 j. 57^. 3i.ra. a zz 1,014*6, ^z3i,oi4o2; d'où l'on tire l'équation o=.y^— 14,7^35 .J — J7, 8729,; ^lont une racine es^t z^4,3^i^ les autres étant négatives. Cela donne ^ i^ij^izi 18,844, un peu plus petite que la valeur précédente.

Le résultat général (ju'on peut ,en conclure, c'est que î) la distance d'.Uranus au soleil est à .peu près 19 fois plus grande ,que celle de la terre, et deux fois plus grande que .celle de Saturne, ensorte que le système solaire a été agrandi au double par cette nouvelle planète; 2) son orbite est peu excentdque; 3) la durée de sa révolution est de 82 à 83an«; 4) Uranus revenait de son aphélie l'an 1781^, parceque d'après toutes les observations son rayon vecteur allait en diminuant. Ces données sont suffisantes, pour entreprendre une détermination plus exacte de son orbite.

Une méthode semblable est la suivante. En appelant (F/g. 22;)

la longitude /du soleil, TTSzzO,

les rayons vecteurs de la terre, STzzr, de la planète, S Lzz:^,

(l) Voy. NoLaeaux Ouvrages de Eoscovich, Tom III. Opusc. II. Mim. IJ. et le mémoire de fi-lilgel, dans les Ephémér. de Berlin pour l'jQô, pag.ièdQ'

t î V R E m, ^ c n A. p. xt' .- 2Ô-J.

là loilgiîuds îiéiiocentrique de îa pianèle, TSIicriPr'

l'angle à la terre, LTS =!: Q —TTLir t],

l'angle à- îà iîlanète, SLT rz:T/E — VSL =: Y'TL— P rz^V (OU connaît r, O, TTL, et t^. En marquant d'un trait les mêmes quantilés, relatives à une autre obseryaiion, et en normnant ??i, n^ les mouvemens moyens du soleil et de la planète, dans l'intervalle entre les deux observations, on connaît m^ Maintenant on donnera à s une valeur arbitraire, ou celle qui a été trouvée par les premières observations , et on calculera les angles, ^, ^', à l'aide des formules, sin ^ zz — sin -o, sin <" zz — sin r{ ; ce qui donnera P rz Y T L — $", et P -j- >} zz O'-^b? donc

F- P =: CO'- O) -f Cl - r/) + (^ - O' En supposant donc le mouvement vrai P' — P égal au mouvement moyeri n, on aura, en vertu de la troisième loi de Kepler, P' — P zz - — ^, ce qui donne l'équation'

CO'' — ' O) H-'C"^ — V) 4-^ i Arc sin -- sin r\ — ■ Arc sin — sin r{ V iz: - — =. H faut donc changer la valeur de z,- jusqu'à ce qu'elle satisfasse à cette éqnationf et le milieu, conclu de plusieurs observations, sera d'autant pltis exact, que l'excentricité et l'inclinaison de l'orbite sont plus petites,- parcequ'on a employé le li^u t réduit à l'écliptique, au lieu de celui sur l'orbite, et le mouvement vrai au lieu du mouvement moyen-,

§. 170. Les- quatre planètes, découvertes au commencement' du siècle présent, ont obligé les astronomes, de clierclier des méthodes nouvelles et plus exactes, parceque leurs excentricités et inclinaisons siont très- grandes. L'ouvrage le plus impoi'tant sur cet objet est la Theoria motus coj-porum cœlestlum etc. auiùre C. F. Goiass ; et l'on doit au célèbre auteur, non-seulement des méthodes ingénieuses, mais aussi l'heureuse application, qu'il en a faites aux nouvelles planètes, et qui nous a fait connaître, dans très-peu de tem.s, leurs élémens avec une précision, qui donna le moyen de les observer saris interruption:, car ces planètes sont si petites, qu'on les voit à peine avec des télescopes , de sorte qu'il eût été difficile de les retrouver après leur conjonction avec lé soleil, si Ton n'eût pu Calculer d'avance leur lieu, par le moyen d'un petit nombre d'observations, peu éloignées l'une de i'âiiire,

sC4 A s T R O N 0 M I E R A T I 0 N N E L L E

ou ce qui revient au même, si l'on n'eût pas eu des méthodes, qui donnaiant le moyen de déterminer, d'une manière très-approchée, l'ellipse entière à l'aide d'un petit arc. C'est le but de la méthode de M. Gauss , qui ne suppose que trois observations: elle consiste dans une approxiniatioij successive, mais très-rapide. Quoique le livre de M. Gauss soit entre les main* de tous les astronomes, et que M. Delambre ait donné une exjîlication détaillée de cette méthode et de plusieurs autres (^); je crois que mes lecteurs me sauront gré de l'abrégé de cette méthode, que je Tais ietrr donner. §. 171. Les quantités données sont;

I. les iems moyens des trois observations, T, T', T", et les intervalles, T' — T — i", l'"' —T—f, T" ~ T' =r / — t" zn t;

1. \es longitudes géocentriques de la planète sur l'écliptique, a, v.\ al'-^