LIVRE III, C H A P. XL a

B, B', B", seront situés dans les cercles AB, A'B^ A''B'', aussi bien que îes lieux héliocentriques G, C, Q": les premiers étant sur la prolongation de la droite PD {Fig. 38.), les derniers sur SD. Les trois points G, C, G"" il'ig. 47-)» sont dans le plan de l'orbite, et par conséquent dans ua grand cercle qui coupera l'écliptique au noeud ascendant J^ mais les pointé B, fi', B", ne sont pas dans un grand cercle, parceque la planète et la terra ae se meuvent pas dans le même plan. Soit donc MNEB'', le grand cercle mené par B, B'% qui coupe le grand cercle A! B' en b% et soient D'',, D'', D^ les communes sections des grands cercles AB et A'B'^ AB et A^'B'', A'B'' et A''' B^'. Ayant abaissé les perpendiculaires ha, W a\ Wa", Gjc, Csff. Q'x", b' ^ , sur Fécliptique, on aura

rBa=zp, B'a'— (3^ Wo!*—<^'\ Qxz=.\ Çld—V, Cx^zzi-k*', (i) < AA' — /' — /, Kk'z=iV''-'l, M Ès!'-::=iî"—l', Aa = a~/—I^7î,

( AV— V, h!'a"-^ri\ Ax^-L—l, h'x'-^zV—V, A"x"-=V'—r, Connaissant dans le triangle spliérique ABo, rectangle en a, les deux côté* îj, p, on peut calculer Tangle BAa, et l'hjpothénuse AB^ il en est de même des triangles A'B'ia', A^'B"a''; on aura donc i'x)..„Yiku—h\ ABzi:^ B'AV^i^', A^B'nz^^ B'^AVzzî", A'^B''=:e^''- " Maintenant on connaît dans chacun des triangles AD" A', AD'' A'', A'DA'''', un CGlé A A'', A A", A' A", et les deux angles adjacens, ô' et i8o° — ô", ô" efc i8o* — h".^ ^' et lUo® — ô'', d'où l'on tire les trois autres parties de ce« triangles, savoir les côtés AD'', A' D'% AD^ A'^D', A'D, A''D, et les angle* D", D', D. Au moyen de ces trois angles , on trouvera dans le triangle D''DD', les trois tôles: on connaît donc aussi

jBD'— ''^zzAD''— i/, BD':z:'è=:AD'— ^, B'D"=ii''y=A'D"— J', ^^ ""l&Bz-b'~AfI>—d', B''D'=::fb"zi:A"D'—d% B"D:=:b'' —A''D—d'. Etant donnés, dans le triangle BD'B'^ les côtés 'b, 'à", et l'angle compris D\ on calculera l'angle B^'j alors connaissant dans le triangle B^'D^'^ les angles B'', D^ et le côté intercepté^ on trouvera

(4) D b% et B' è'r=: D y— b'=z cr'.

Toutes les quantités qu'on vient de trouver, (i. 2. 3. 4- 5. 6. (2) (3) (4)), *ont exactes: le reste du calcul se réduit principalement, à trouver le petit arc B' C' zi; z% qui eat la base de cette méthode*

§. 172. Si dans l'équalion identique

sin X sin (z ■ — y) -}- sin z sin (j — •a^) = si" JK sin (3 — x), on substitue a; =: N C, yzzNC', 2=zNC, et les valeurs

sinBsinBC . sin &' sin J' C' . sin B'' sin B'^C

Sin X m ■ : — -^ — , sin y zz -. — , sin 2 zz: r— -; ,

siii N ' -^ sin N ' sm N '

fournies par les triangles BN C, ^'NC, B'^NC, il viendra l'équatiori

(A) . . . . o =z sin B sin BC sin C C'^ sin B'' sin B^' C sin G C— sin b'^'in h' Csm C C'^

Soit (i^?^. 4*^0 S le soleil, et C, C, C, les trois lieux héliocentriques de la

planète, et qu'on nomme les surfaces des triangles rectilignes

(5) .CSC'zi:-, CSdn^', CSCm--

Cela posé on aura SCzz:^'^ SC'zz:t;% SC''''zzi;" (§. 171. n. 9."), donc n"::zvv' siïiCSa, l'angle CSC étant égal à l'arc C C (/)^. 47.). Ainsi on a

(6) sinCCzz:— ,, sin CG'^iz: -^, sin GX'^=:-^,.

En substituant ces valeurs et

(7) .BCniz, V>'Cz=iz\ B"a^'-^', h'Q!z=.z'—^\ en (A), on aura

,. n sin B sin 2; , 7i'^ sin B"sin z" n' sin fe' sin ( x' — ■ (y'\ (B) O =Z -j-- ^ \j- i .

Or on a {Fig. 38.)SDsinDzzSPsinP, l'angle à la planète D étant la différence des lieux héliocentrique et géocentrique de la planète, BCzz:^ ÇFig.^'].), et l'angle à la terre P étant le supplément de la différence entre le lieu héliocentrique de la terre et le lieu géocentrique de la planète, ou de ABinJ: on a donc

(8) T» sin s zn V sin c/, T;'sin 2'=:zV'sin t?'^ -u'^sin /'m V'sin ff' .

On a de plus dans les triangles BD'B'', 3'DB'^

sin B __ sin B" D' sin ¥ sin B" D

sin a'^ sin B D' ' ^"b^ sinô' D

En substituant ces valeurs ainsi que (8), dans l'équation (B), après l'avoir muîtjpliee par — ; — —— — -^ , il viendra

n sxn B^' sin z

,^- VsincîsinB'^D' , 7i" 7i' V'sin d' sin B''D sin (z'— «/) (C; .0 — ' — '

Y^'sin d'^sin B D' n n \'' 5in d^'sin ô'D sm a' *

équation qui renferme trois inconnues, z', — zz: /, — izz v''. Nommant donc

les quantités connues

. Vsin dsinB/'D' V' sin d'sin B"D

^^^ V'^sin ct'^sxnBD' ' y^' and" sin b^ ~~ '

. , ,, ^ sin{z'o-0 , . ,n • / V'sind'

on aura o:i::A4-/ — B.v. — ^^ — -. ou sn substituant (8 ) sm 2 zz: ^7 — >