IV. 35—4^815.——— sin(e-|-Q)-l-4",8i5. -^ sm(e-^Q
V. 9e=:-9^63 . --smQ-4'',8i5.tgô ] — cos(e-Q)+ :— cos(e+Q) [ 5,
j)u en exprimant la somme et la différence de deux cosinus par le produit
des sinus ou cosinus,
r-cT -V ^ «'''.es ç .5e, s.,, V, 3a £.. ^\>
IV. dSzz. i sm — sin — sm T? 4- Q) + cos — cos - sin (f — Q) ? •
COS £ c 22 VS I " ' l 2 2 ^ >
V. 9e z: r^— cos2£sinQ — tansô"^ cos— cos — cos^p— Q)+sin — sin — cos(p+Q~) > .,
sm £ cos£ c 2 2 ^ 2 2 )
§. 4^' Comme l'obliquité change de moins de i' en cent ans, on peut faire erzaS^a'j'', pour avoir des formules exactes pendant le dix-neuviëine et le vingtième siècle. Pour faire voir que la différence est peu considérable, nous calculerons les coëfficiens pour £ m 28° 28'' et 28^26', ce qui s'étend depuis 1794 jusqu'à 2025. On trouvera, d'après les formules précédentes, selon qu'on fera £ zz: 23''28'' ou 23°'i6\ « étant constamment n: 9'', 63 :
bzzz^",i6g ou^'V^fij 3£zi:9'',63,cosQ j' 8T=: i8''',oo2.sinQ ou i8''',o44.sinQp Ôô:zi:8'%399 . sinX? - Q)+i'^23 1 .sinf e+ Q)^ou 8'',4o3.sin(f- Q)+ 1'',227 .sin(f + Q),, d izz: — i6",5î3.sinQ — tang6'.(8",399.ccs(?~i' Q) -|- i/^23i.cos(^--|- Q)), oui
— ]6'%556-.sinQ. — tango'. (8'^4o3.cos(? — Q) + i'^227;cos (f -j- Q)). En prenant le milieu, en aura pour le 19 me et le 20 me siècles,,
L 3 £=:z9",63..cosQ| IL a Y — 18'', 023. sin Qj IIL ax — — aYj:
IV« a s — 8'',4o I .. sin (e — Q) -|- l'^asq . sin (?. -\- Q) f;
V. a g z= — i6^',534.sinQ— tang5- { S''4oi.cos{o — Q)-\- i'7229.cos(?-f-Q) } -
■ La latitude des ék)iles n'est point altérée par la nutation (§. S'jX.
L'obli'q^uité,, corrigée par la nutation, s'appelle obliquité apparente-.: elle est plus.
ou m.oins: grande que l'obliquité moyenne^ que l'on trouve par la diminutioni
progressive de 0^'', 5 par an,, selon que le nçeud ascendant de la lune Q est
dan& les signes, ascendant ou descendans, (Voj. L §.. SS.").. Il résulta de d*^
une augmentation ou diminution des longitudes des étoiles, selon que le noeud ascendant Q se trouve dans la dernière ou dans la première moitié de l'écliptique: on l'appelle équalion du point équînoxîal. L'équation àes déclinaisons et ascensions droites dépend nécessaii-ement, non seulement du îieu du noeud Q, mais encore de la position des étoiles par rapport à î'équateur. Les formules précédentes renferment l'effet de la lune seule, ce qu on appelle nidation. lunaire. Mais on a déjà vu (§. ^yQ.\, que raclion du soleil doit produire un effet semblable, quoique beaucoup moins considérable: on l'appelle nutation solaire. On verra dans I/astronomie physique, que les équations sensibles qui en résultent, sont: dszi:-|-o",4345.cos 2 Q, 3X:zr — l'^.sinsQ, Q étant la longitude du soleil. On en conclura, comme ci -dessus ;§. 4'' ? en faisant e zz: 23''2'^'j
5 5" zn — 0'', 39B ,sin 2 Q ^^s f -}- û''^,434 • cos 2 Q sin ^,
d ^ zzz — o'', 917 .sin 2 Q — tang5'(o''',398.sin20sin f-|- o'^^4 4-cos20cosf)j ou 3 5"=--}- o", 0i8.sin(2O-i-?)— o'',4i6.sin(2 O — ?N
' 3 f zn — o''', 917 .sin 2 0 — tango" { o"',oi8 .cos^aQ-j-? -}-g",4i6.cos'2 0 — ?"*} • Ces termes, réunis aux précédens, donneront la nutation Iu?iq- solaire pour le 39 me et le 20 me siècles, à Taide des formules suivantes: I. accroissement de l'obliquité, d zziZ.-\- 9"^, 6à , cos Q -[- o''', 4-34 • cos 2 Qi IL Correction du point équinoxial et diminution des longitudes des étoiles ^
ôTzz — ax=:i8'', oft3.sir. Q -f i''.sin 2 O5 Jli. accroissement des déclinaisons boréales et décroisseîueiit des déclinaisons australes, ^^~+è'\^oi.sm[9-Q)-^ i^',229.sin(^ + Q)-j-o''',oi8,sin;^2 0 -i-^) — o'''.4'6sin,^2 0-f '; ÏV. augmentation des ascensions droites, d pzm — î6",534.sir;Q — o" .^i-j smvL(~) — tgo { b'^4oï.cos.^f-Q)+/',22■9X'os:^^+QHo'''/|.r6.cos(20--L^-o''^'^■iS■•cos^20-^■5') } i. §. 4'^' Le quatrième niouvement des étoiles, ou Vabcrration ^ a déjà été expliqué (§. 12 — i^j-); et l'on a vu, que le lieu apparent des étoiles dev'ance toujors le lieu vrai suivant la direction du mouvement de la terre, d'un angle œ , et qu'en nommant 0 l'angle que fait le raj on visuel de l'étoile avec cette direction, on a (§. 16.)
GJ iz: 20''', 25 . sin cp zz: (2 . sin (J) 5 a étant le mouvement moyen du soleiV en 8 min. i3 sec. an lieu duquel il faut mettre le mouvement vrai b. Or on verra (§. i33,) que le mouvement
L I V R E II, C H A p. ifï. 63
vrai ou Tare h décrit, pendant c|ue la terre parcout, par son mouvement
/y 2 'V cos a -h 'V^ *
moyen, Farç a^ est h-zzay — — " , 7 étant l'excentricité du soleil
rz:p,oi68. et a l'anomalie du soleil comptée de l'apogée. Le développement
de cette' expression iusqu^à la seconde puissance de 7, ce qui est assés exact
pour notre Î3ut;,, donnera Z» ura r i — 7 cos a -|-| 7^ 7- cos a aY En substi»
tuant donc azz:2V,25, on aura to zz-Z» sin (fr, ou
(A) . . . . ùj = (20'''', 254 — 0^', 34. cos a) sin Cp.
La direction du mouvement de la terre changeant à chaque moment, il sera
nécessaire, de décomposer l'aberration oj suivant la latitude et la longitude. Soit
donc [Fig. 7.) S le soleil, autour duquel la terre- se meut dans le sens ATB;,
soient les lignes parallèles SF, TG, dirigées vers une étoile, et FHj-jGIj
perpendiculaires au plan de récliptique ATBS; oela posé FS HzziGTIzzip sera
la latitude vraie ou héliocentrique. L'étoile serait vue de la terre suivant
la ligne TG, si elle était immobile en T, et la longitude et latitude appa»
rentes seraient égales aux liéliocentriques, vu que la parallaxe est insensible.
Mais la terre allant suivant la tangente Tt% il en résultera l'aberration dans
le plan GT^, et GT^ pst l'angle Cp. Ayant donc mené dans ce plan une ii°
gne Tf qui fait avec TG uii angle GT^zr w 13 *^ sin (p , l'étoile sera vue
suivant la 'direction 'Yf: il faut donc examinerj de combien les lignes^ TG^.
T^/^ diffèrent en latitude et longitude»
§. 44- En nommant G la longitude du soleil, X celle de l'étoile, g
sa latitude,- <,j l'angle ST/ que fait la tangente de l'orbite SA avec le rayon
ST, on aura STI,.iz: Q -— ,^ =^ ■>!> ITif =: y. ^~ 7}. Si l'orbite était un cercle,
\p seraii un angle droit: en eîFôi, ;iotis verrons ci-après, que l'orbite^ de îa
- — r I 'j'^ COS (IL
teiiô est «ne ellipse qui diiFère très-peu du cercle, et que tang.\j^ m — : — —^9.,
Xsina „ . -, ' ' 7 sin a
ji'aisant donc -^ —z ao"" • — ^', on aura taiig ,^ zi" ^m 7 sin ai 1 -1- 7 cos a\
1 • — . Y cos a, .'kl j'
zz. 7 sin a -|- — sin 2 a, et IT^ zr 90°— (t] -|- ^),.
Les planSj IT t qui est Fécliptique, GTl qui est perpendiculaire à elîe,-
et GT^ le plan de cp,'' forment un triangle sphérique',, rectangle 'en 1, que
représente la Fig. 8, Dans ce triangle on a GI=;(3, I^ =: 90°—- > (r) -f- ^)j
€-.^zi;(pj d'où "il suit
^ A s T R ON O M I E R A T ï 0 N N E L L/E -^
cos (p =r cos (3 sin {r\ -\- '^), sin G =: -^—pi-,--^^^ cos G zr -^, Qu'on fasse GTJ'zi^o}, et qu'on mène par 7^ les arcs/Z», /j3, perpendiculaires et parallèles à Fécliptique : alors on aura G (3 m — 8(3, I/^=i — dXin ■■, Comme le triangle G/p peut être l'egardé comme rectiligne, ses côtés n'étant pas plus grands que ao"^ on aura d§-zz — G/cos G, ^(3 zz G/sin G, et
3 X n: — TT— ; ou .substituant les ¥aleurs de G/*zr w in ^ sin d), de sin G
et de cos G, -
dp = — 3tg[3coscp, 3X=:— ■^^^^, et /p =:^ cos (>i -|- §). iQr on a déjà trouvé cos (p :zz cos |3 sin .:>i -j- ^), ce qui donne (B )..... 3 ]3 -zz — i^ sin [3 sin {■n-\~'(\ (C) . . •. . 3 A zz: — 5 sec (3 cos . '^1 -j- ^), (D) — ./p zz 2©", 254. cos {y\ -|- ^') a très-péu près. .Pour chasser ^ de ces équations, on a, en négligeant la troisième puissaii= ce de 7,
f iz:,7 sin a -] sin 2. a, ^^ zz: — (i - — cos 2 a) , sîn 4- ^z: ^ , cos .^' zz i — —,
cos a sin \r\ -\- ^)'Ziz cos a sin t), cos a. cos (^■>1 -p ^ )zz: cos a cos •v], d'où l'on tire, 9 8 m — Z» sin 3 < ( i r jsimo-|-7sinacosvi-] sin 2acosv)-| — -cos 2 a sin v) > ,
ôXzz — 3 sec i3 < ( I 7- jcosT] — 7 sin a sin t] — - — sin 2 a sin 7)4- — cos 2 a cos -y) > ,
En substituant bzzial i — 7 cos a -j- —7^ —cos 2 aj, ces équations deviendront
ôpr— asinp^ [ iH jsiny) + 7sin(a— 7]) > , BXi:— asecp < / i H Jcost)— 7cos(a— 75) > .
En nommant IJS la longitude de l'apogée du soleil^ et substituant a zzz 2o''',25; on trouvera vjzzQ — ^» azzQ — '^ 1 « — t^zziX — W, à7zz: o'', 34 ,
zzio'', oo3j d'où les dernières équations prendront cette forme:
I. ahtrr, ht. ô j3 :=: — 20", 25 J . sin' p sin (Q — X) — o" , 34 . sin p sin (X — W),
. TT « 1 :i^ // ^'.J 005(0— X) ,, ., , cos(X — W)
II. aberr. Ions,, 3 Xzz — 20' , 20 J . ^ — ~ — - 4- 0'% a/^.. — ^^ ~ ^
■^ cos [3 cos p
Si la latitude p est australe, cos p et 3 X ne changent point de signe^ mais sin p et 3p seront négatifs, ce qui indique également une diminution de la latitude australe. Les latitudes., soit boréales soit australes, diminuent donc, ou augmentent, selon que Q — X est moins ou plus grand que ibo': les longitudes augmentent, si Q — X est entre 90* et 270*, elles diminuent.
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si O — ^ ^st dans le premier ou dans le dernier quadrans. L'aberration ea latitude est nulle dans les syzygies, elle a sa plus grande valeur dans les quadratures; et l'on a dans la première quadrature après la conjoriction 5 (3 m — io'\ 26 sin p, dans la seconde 8 pm:-^ 20''', 25 sin p. La plus grande différence entre les latitudes apparentes dans une année est donc 4o"»5.sin(3, ce qui fait 4^'^5 pour une étoile située dans le pôle de l'écliptique, et zéro pour une étoile dans l'écliptique. L'aberration en longitude est nulle dans les quadratures; elle a sa plus grande valeur dans les syzygies: dans la conjonction on a dXzzz — 20'', aS. sec [3, dans l'opposition 3 X zz: -j- ao^'^aS sec (3j la plus grande diilereiice est 4o",5secp, ce qui croît à l'infini pour des étoiles près du pôle de l'écliptique: dans l'écliptique même cette différence est 4o''',5 : c'est aussi la corde y (3 que l'étoile décrit parrallèlement à l'écliptique dans la splière (par l'équation (Dj). Tout cela est parfaitement d'accord avec les observations (§. 12.. l'j.) -
§. 45. Pour trouver les aberrations en déclinaison et en ascensioa droite, on n'a qu'à différentier les équations L II. (§. 25.) par rapport à ^ et X, en substituant ensuite les valeurs tirées des équations III. IV. VIL (§. 25.). Si l'on fait pour abréger,
sinei^Â, cosezi:/?-^ sin Q zz: /?z, cosO^^'^* sm'GJzzip, cos TfJ znÇf
|r:/i:tangô"-'/zsin^i:A, cos^tangXziA tango -}-Asin'f~B, '20^\i53~aj o''^34™3;
la différentiation donnera
d ô' cos Sznd ^ (k cos p — h sin p sin X") -}- ^ ^' ^-^ ces p cos X^
^ ? h,d§ k — hi^^sinX
cos^ p cos^ p cos X cos^X
En substituant, en vertu des équations I. II. (§. 44-)î
5p 1= — sin p { (cim — bp) cos X — (an — bg) sin X > j
- ôXzi: — sec p {{an — bç) cosX-^ (am — â^) sin X } ,
on aura
dS cos ô' zr~ (am — bp) cos p cos X {k sin ^ -{- h cos p sin X)
-\-{an — • bq)(/i sin p cos p sin X — h -'•- A-cos^ p sin^ X) , dp ' a m — bp / hsinQ . ^\ an — bq .
— r- = : =- / — •— r — k tang X — ^ /c ,
cos"*^ cbSjjcosX \cos p cos X / cosjjcosA
et en substituant les valeurs de A, B, et cos ô" cos ^ =z cos p cos X, Sa-cosSzz:- («77j~^;7)cos-ô co3f(AAH-B/z)4~ (^a/i---^y)(ABAxos^ô'4-B^/fCOS^ô"-"^)j
dp a m — bp ,. , „ ,v an — i> q ,
COS''- ^. COS 0 COS-* p C'JS 0 cc-s ^
Mais' on a A z^' -f- B A zz tang ô', et B ^ — A /z zz sin çj d'où il vieri'lra-
8 5' zz — (« 772 — h p) sin ô' cos § -\- ^a n — è q) {Je sin 5' sin f — -A cos ô'),
d P zz =- sm p k cos p.
eus ô cos 6
Pour le dix-neuvième et le vingtième, siècles y on peut supposer, sans erreur
sensible^ szzaS^sy', ce qui donne,
fô/j zz8^',o6,' «/^ zz i8''',585 M zz o"', i35 j Z'y^-zz o", 3i2^ dVui il résultera
8 S'il sin ô" i8''',58.cosQsinf-2o'',253.sir.Gcos^+o'',<i'4-sinIy'cosf-o'''53i2.cosî^si:np)
- — ccsô ^8'',g6.cosO ~~o"',i35 .cosi^),
ôfZ— secS(i8^',58xosQcos^+2o'',253.sinQsino— o''',34.sinï3'3inf— o'^^SiavCCStycosg)!.
On peut donner à ces formules la forme suivante:
/sin ^ (1 9^,4 . 7 . sin (e — G) - o",836 . sin (e -f- Q))
f — 4'',o3 . cos (O — 5) — 4'',o3 . cos vO 4- ô") ÏII, aberr^ déch aô"zz<C ,.,,,„., ^ . ' , ,, , . ,^ . \^
I -4- sm ô (o , ù'iQi . sin : ÎU" — p ) -}- o , oi 4 • si" (W -f- f)j
