LIVRE III, C H A P. VII. Mf
Cette «érie te terminera,, comme la précédente (8), quand n — sr devient nul, ou ~i'.. et dans, le second cas, le dernier ternie sera =
ti„ - t { (i 4* i)"-~‘sin(/ 4- i)fi — (i — i)’*"'‘sin(j — i) |i } j.
dans le' premier cas il sera ~ N ■ . * sih Lu..-
En taisant successivement n = 3.. etc. dans cette série,, et en 1»
substituant en (C), on aura:
(E) sin I £ — sin i n — - 7 (sin (i -f- 0 1^ 4- *in (i — 0 h)'
4" [(“ 4“0 *•" (* 4" 0 I* 4” (* — 0 *in (a — Ou — a < *in i f]
'i 4"‘ .l"~'*in(« — 2-{-0f4~(" — a — 0"~ '»in(/j — a — Ol^] -ar44l’*~'*in(« — ar4‘')8-t-(«—ar — i’)" ‘sin(/i — ar-a^F]. §. Reprenons, l'équation (A) dont le terme général est -| — ^ X'siniE. Pour développer X' suivant les puissances, de 7,- faisons i 4-
ensorte q,ue (Jl i35.) X~— ^ et — r:' — — d’où il résulte
Cette' équation est parlaitement semblable à (i) ($1 i35.), si l'on fait f~>). £ = )f,.7 — 7*', et ^ (f) =: cp. Q.) ^ = (p. Or on demande ici X* : la
{onction cberchée >)/ (y) est donc 4 —~iT l^^oell» étant trouvée , on aura- X':= 7^. di (/). Mais on a
ef 4' (<!>)" = -«•
£& metUat donc >* à U place de 7r l'équation ($. iJ5.) deviendra
ai* a.2,...n 1 ‘ *■
C±:Nr[(«-’
■ cet..
n-ra..
2 4 y *3.5 èy"*
Or <p:zz-~y tlonc
+ n (n 4- .) (« 4- a) (cp)-» . 4' = „ (n + ,) („ + a) (cp)'>-»-3i etc.. Toute« ces diirérrnlielles sont comprises dans la farmule générale
le ligne supérieur ou inférieur devant, être pris, selon que r est un nombre' pair ou impair. En iaisant don» dans l'équalion (i i), n z:: i 4~ 3 et r =: i.
A s T R'O.N O MIE RATIONNELLE
nr=:i-|- 4 elc. tous les termes auront le signe -j-, cl Ton trouvera
(i’+3; ~ i (i+41('+j) — (41)"^* 4- cet.
Or on a 1/ r:: \J; (2) = — , <J> — 4> C*) — y > X’=:7‘.4': ce qui ëlaat substi-
tué dans U dernière série, donnera
Qia; .... A ^ + ,y >'
Maintenant on a ($. i33.)
(A) v = t-l-Ÿx(ia')x(E) = (D)-^-i- (n);(E')j
où il faut faire successivement, dans (la) et dans (E), i—i, /“a, i'=J, cto. et pour chaque valeur de i, dans le terme général de (E) et de (D), n=:3, ii=i, etc.
$. i38. Le rayon vecteur x est donné par l’équation II. ($. i35.),
— I — y co s E :
il s'agit donc de trouver cos e. Or l'équation (tS) ($. i3S.), dans laqueOe = — sin g, donne chaque fonction de e~4'> et par conséquent aussi cose. Faisant donc \h cos r, on aura u ::=vl' (|r) r:: cos p., et xfi'z:— — sinpj d’où il vient tp), ^
, “V* 7"—' S»— »7iîn«p
(F;.... cos 6 = cos P — 7sinV ; — — r
' a ap Ï.3...(n— i] <»p'*~J
Pour trouver la dilTérenlielle de sin" p de l’ordre n — i, il faut dilférentier la première des séries (7) ($. 1 36.) deux fois, In seconde aucune fois, la troisième trois fois, et la quatrième une fois; toutes les quatre auroat donc la forme de la seconde série; et en multipliant chaque terme par le coefficient qui naît de la dilVéE'entialion (n — a) fois répétée, on trouvera
cosnp-f-N,(n — 2)* ^cos(n — 2) p —
ZJI N, (n — 2 r)"~® cos (n — a r) p ,
ap«'
où il faut toujo,urs prendre r plus petit que -p Cela donne
y 'ys
(F) .... cos E — cos p -I-— (cos 2p — 1) -t- -r — (3 cos 3p — 3 I
■ar)p
>n— I («" “cosnp — N, (n — 2)"'
a'‘~‘.a.3...(n— e) )i;Nr (n — cos (n -
taog
nVRE III, G H AP. VIL
En substitoant cette valeur dent l’équalîon — = i — “V co« e, on aura
(G1 .... —=1 + ' yC0*H COiSM.— — (C0»3H. — C05(l) — . .. .
» ^ a 9 fl O
7» ^n"’~*coi/in — N, (/I— a)*“® co$(n — a) fi
— ‘)(i;N;.(n — ar)*”" 00» (n — • ar) n )
La série que nous avons trouvée pour v (J- forme,
V ~ n -|- M*'* sin n -+• M'* sin a /t -j- sin 3ft -J- cet.
Quand les coefficiens M seront -connus , on trouvera aussi le mouvement » vrai w. En effèl on a^— cosn-J"*^**' cos3fi-^cet.
«t w — m — . Si donc m est le mouvement moyen pour une heure, le mouvement vrai sera
(H) { I W cos M -j- a M COs a (i. 3 M cos 3 n + cet. } .
$. i3g. Si l’on substitue dans (A) (.$. 13;.) les valeurs de (D), (la), et (E), il viendra
, V ri H -t- J sin fl -1 sin a fl 4*
yn
{n" 'sin/jfi— Nj(n— a)" t*ip^n-a)ft-+^...:tN^n— ary" ’sin(n— ar'fi 1 'sinifi4--^y (sin(i -}-i) fi+sin (i — t) fi)
' ai—»
