LIVRE III, C H A P. VII
Or on a généralement /(i — — x — ^ ^ — .... — — , donc
/ (, Xe-‘»'-*) — / (I — =: X (e*»'-* —
•t en substituant
;a nn JC,
(A) V ~ E 4- aX sin t -f- — X* sin it -f-
î s'étendant à tous les nombres entiers positifs.
Maintenant, v étant donné par t et sinir, il s'agit d’exprimer e et
ain I E en fonction de fi et de y, ce qui se fera à l'aide de l’équation I.
Or rr étant donné, le problème est réduit, à. exprimer e et sin e en fonction
de y, quelle que soit l’excentricité de l'orbite, fi. étant regardée comme con-
stante, de sorte que les coèlliciens seront composés des sinus des angles 'multiples de g.; car il s'agit de trouver v en série qui procède suivant les puissances de Y. Il faut donc regarder, dans l'équation I, g comme constante, Y et E comme variables. Cela posé, sine étant une fonction do s que je désignerai par — 0 (c), il s’agit de tirer de l'équation î, ou (i)....o=e4-Y.4)(i) — g,
une fonction quelconque de s^q>(E), développée suivanl les puissances de Y; et l'on sait, que les fonctions q» (c) qu'on cherche ici, sont e et sine, Ecrivons pour abréger, (p, q/, au lieu de $ (e) et de 4> (e).
Si pour une certaine valeur de Y, savoir Y“é, 4 (e) devient c, on sait par le tliéorème de Taylor, que pour chaque autre valeur Y=é-I-A ■1 Rendra
Or si Y est nul, l'équation (1) donne i = g, sIn<E~sinig, et en général 4(E)=:4Cg)i et dans le même cas on a izrzo, donc y zz.h. Désignant
donc par u, u„ les valeurs que 4, pren-
lient dana le caa où 'V ^ o, on aura
Soit 3 4 = 4^. 3e, 34'— 4^^-^*» elc- 3 4 — 4^-dE, 34':=4"'3‘»
et ainsi de suite; on aura, vu que e est fonction de Y,
^ \àyj ' ^
ao4 ASTRONOMIE RATIONNELLE
9\)/ i.4< it à t
ày~'Jï"î'ÿ
Les difTërenliatlons successives donneront donc
' J 7» ^ \éyj a.y>y
i7* ^ ^J7y “T 7 rf7»^ ^ UW rf7
8f ainsi du reste. En dilTérenliant successivement l’équation (i), on aura.
0=:(t-i-7.$',3i£ + .l7.$".3£3df + 7.$"'.3t3 + .l$'.3733£ + .3$".37 3!»;: •I ainsi de suite. Pour avoir les valeurs de u, u,, etc, il Lui laiic 7 — ce quL transformera les dernières équations en celles-ci: o=d£ + $.3V5 o = d3£ + a$'.373£j o = 33E + 3$'.37d3i + 3$".373i®; elc- En substituant la valeur que donne la première, jÿ — — $, dans les équations suivantes, on trouvera.
i7ÿ = — <Pj
""; = + a<p.$'; -fi 3 ($)».$",. .
iyt-
et ainsi de suite. En introduisant ces valeurs dans les équations (.3), il viendra:
^ = — +" ($)3— 6 $.'.$ 3 +. ($ ®. etc.
On peut donner aux dernières équations celle forme beaucoup plus .«Kiplc;
(5) j»,=-4..$: o,r=+— yp-, «3- .^elc.,
dont il est aisé de se convaincre par la diflerentiatiun. En substituant ces-valeurs dans l'équation (a), on aura
l6)....vl'=lu-7+.$ + — .nr' ïi.
^ ^ ^ ^ a dt =.J tfs* — a.J...n U£«— ' »'
OÙ il faut prendre le signe supérieur ou iiiléricur, selon que n est nn nombre pair ou impair. On se lappelleia que dans u, +, $, il faut faire y:zzo, d’ü'Yi >J,vicnt(i) rr — 'b(tO, $ = $+/ = — sin fu.
t I V R E III; G H A P. VU*
, Ç, i3G. Les lieux fonclions qu'on cherche ici, sont i et sin « i.
Dans le piemier cas on ,a ij/ ou i|/ (r)r::f, u — (h) ^
(p — — sin ft; ce qui donne à l’équalion (6) celle forme:
, ■V’ ^.lin’u. 7^ Ji.-in’ix , , Y»
5” — '.linXu
à)!. a. 3 d ,1.^ ' ' s.3....'^ rffi.'*
Dans le second cas on a ipzrsin/c, iir^sinifr, ip'z::r^cos i H’, — sinfi-
Ea suhstiluani oes valeurs dans l'dqnalion (6), on trouvera
. . - ■ I . ■ 1 '1'’ ^.coK’>i.Jin’u , • •
(C) .... sin 1 6 zz: sm < ju. -j- 7 < cos i n . sin (i -
j-yn ÿn — < , coi > u. sînn |ii
MsinlenatU H s’agit, d’exprimer les ditTérenlicllcs d"~'.sin“n, et d*“'.cosiniin'*j'. par des séries ordonnées suivant les angles multiples de )i.
La trigonométrie analytique donne pour sin’^;! les quatre séries sm-
liaiiles, selon que n est un nombre de la forme 4*, 4^+’, 4*'+”'» 4' + ^'-
/X" ‘sin V lT+-cosnn -N,cos(/j— a)/r+ NjCos(/i-4,/a*- . . . N» 2C0s?n+^N l ». 2.^
\ “’sin")i r— COS;i(i+-N, COS(n — a)n. - N„cos(n— 4V + .... —N ïCOSafi+îM , .
Va'* ‘siu"|a.~+-si y i’*~‘sin’‘K=: — si
~+-sinn;a — N,sin(n— a)(i-^NjSin((i — 4<;s — ....-t-N» — ising; in — — Ka»in(n— O —
étant les cocQieiens.
‘ - 1.2 » iL- , n
connus du liinome élevé à la puissance n.
Pour trouver la ditlércnlielle de l’ordre n- — i, il faut’ ditrércnlier la première série (4s — i) fois, la seconde 74s-{- •) fôi*, là troisième (4*) et la. qualriémo (4,s-}.-2) fuis: U fotine de la.ditrérenlielle sera donc connu*, en dillérenüaul lu première série trois* fois, la seconde une fois, la troisième quatre fuis ou point du tout, et la qualriëine deux, fois, pareequ’après quatre dilférentiations il revient toujours la même forme. Ainsi cm trouvera , que toutes les quatre séries donnent la même dillcrentielle qui, pour la 'forme, convient avec la tloisième série; cl comme dans chaque nouvelle dilVétentlaliôn, tous lés termes sont ' multiplies par les nombres ^;, ou n — a, etc., qpi désignent le multiple de fawgle p-, »n aura* . ^
ASTRONOMIE RATIONNELLE
Celle jérie sera interrompue, Jorsqu’un des nonfbres n — a, n — 4> vient =1 ou “a.
£n faisant donc «uccessirement n~ a, nz=:3, etc. et .en substiluaitf (8) *n (B), il viendra
(D).... •* n -|-7 sin fl -|- — sina(i-{- — • — (3^sin 3 |i — 3 un p.)
-{- — — . {n*~'sinnn-N,(n— a/‘~'sin^n-aV+"l!rNr("^'‘)*
où il faut observer que dans celte formule, ainsi que dans celles qui suivront, s'il y a double signe +; ou le supérieur ou l'inférieur sera employé , selon que la lettre qui se trouve au pied du coefficient immédiatement suivant (r au pied de N), est un nombre pair ou impair.
La fonction sinie (C) renferme le produit cos sin")! et sa diffiéreatielle de Tordre n — v; .il 'iaut jdonc multiplier les séries (7) par cosifi; alors, ayant .substitué dans les deux premières séries, cos < |i. cos é g. cos (é' -{->') )i
-|-?cos(é — j)n, et dans les deux «lernières, cosiR.sinéfi = îsin (é -f- 1 sin (é — i)n, on trouvera pour ies quatre .cas , où n a la forme 4 *<
4^ + 2i 4^+>i ou
^9) .... 2" . cos I n . sin"" Il “
/ — -j-cos(n-|-/))r.-|-cos(n — i)ti — NjCOs(n — »-{-/;(». — N,cOs(n — * —
J— — cos(n-}-i)n — cos(n — i)fi-|-N,côs(/i — a-)-f)(i-^-N,cos;n — a — »)|u. — ..... J = -f-sin (n -|-sin (n — — N, sin (n — a -^-Ag. — N, sin (n — a — . . . .. — sin (n-\-i)yi — sin(n — j)n-}-N,sin(n — a-)-ij|ii,-|-N,sin(n — a — i)n —
le dernier terme des deux premières séries étant =-(-Nn,' et celui des
deux dernières N» J (sin (< -I- i) — sin (1 — i)fi), ce qui est évident
par le dernier terme des séries (7). Comme les séries (g) ont absolument la même forme que les séries (7), on trouvera de la même manière la ditTéren* iielle des quatre séries ,
— (n sin (n -|-ij n (n — î;’* ' sin (« — 0 H
— N, (n — a-j-i)" ' sin(n — a-|-i)M. — N,(n— -a — 0“ ‘sin^n— 2 — 0
:+lN,.{ (n — ar-|-j)’*”'sin(n — ar-|-i)H-l-(n — xr— ij'‘~‘sin(n — ar — ijnl .
