CHAPITRE VL

LÉcUpse de Soleil dans un lieu déterminé de la terre.

$. a6i. 1-iei objet* principaux de cette troiaième partie du calcul sont ’ 1. le commencement, a. la Jin, 3. le milieu, ou l’instant et Ja dimension de la plus gramlc phase, 4- la position des points de Vimmerslon, de l'emersion, et de la plus grande phase, relativement au cercle vertical, passant par le soleil ; ce qui donnera la route apjiarcnte de la lune sur le disque solaire, pour le lieu donné.

Ce calcul est un peu compliqué, k cause de la rotation de la terre, et d« «hangement continuel de la parallaxe k ditl'ërentes hauteurs, qui en résulte. Chaque lieu de la terre participe non -seulement au mouvement annuel du centre de la terre, mais aussi au mouvement diurne de sou parallète. Il •at vrai que ce dernier mouvement est uniforme; mai* comme les diverses parties du parallèle sont ditléremment situées et dirigées relativement k l’or* bite lunaire, il n'est pas permis de supposer nniforme le mouvement diurne d'un lieu de la terre, par rapport au soleil et k la lune: d'où il résulte, qu’il est plus difficile de déterminer l’orbite apparente de la lune pour un kinu donné, que l’orbite géocentnifue dans la première partie de ce calcul, et que la méthode directe dont nous nous somme* servis précédemment, ne peut pas être appliqi:ée ici. Cependant la durée entière des éclipses est assés courte, pour qu’on puisse regarder l'orbite apparente comme une ligne droite, dont les arc très-petits sont décrits nniformement. Cela supposé, il suffira de calculer exactement, pour trois Instans durant l'éclipse, la position apparente de la lune relativement au soleil, au moyen des parallaxes, et de regarder la ligne druilr, menée par deux de ce* peints, comme l'orbite apparente de

la lune, dans laquelle «n déterminera les autres points par interpolation. Le com-

mencement, la tin, et le milieu de l'éclipse apparente, trouvés à très-peu près par cette méthode, seront corrigés par le calcul des parallaxes; et un petit nombre d'essais suffira, pour donner ces époques avec une grande précision.

C'est la marche générale à suivre dans le calcul qui est l’objet de ce

chapitre. Appelons, pour abréger, T le lieu pour lequel on se propose de calculer l’éclipse apparente, y sa iatitude, P la parallaxe horizontale de la lune sous cette latitude.

§. u6'i. Pour faciliter le calcul, on choisira pour les trois points qui serviront à tracer l'orbite apparente, des époques peu éloignées du com- ’ meucement, de la fin, et du milieu de l’écKpse apparente. Mais comme ces époques sont inconnues, on a coutume d’employer une eonsirucjion qui donne tout le détail de l’éclipse apparente, d’une manière fort simple, quoique moins exacte que le calcul. Pour -cet eflét il faut oonstruire, suivant les règles d^une projection qiîelconque, la terre, le parallèle ou Ip mouvement géoccntriqne du lieu T, et l’orbite relative de la lune, donnée par la première partie du calcul. Alors, ayant divisé le parallèle et l’orbite lunaire en heures et minutes, on pourra trouver pour un instant quelconque, la position de là lune et du lieu T relativement h un point fixe, tel que le centre du soleil; -ce qui donnera inunédiatement la position apparente de la lune par rapport au soleil. On choisit ordinairement pour cet elTèt la projection la plus simple, qu’op appelle oriograpUque , suivant laquelle tous les points sont projettés par des droites, perpendiculaires à nn plan fixe, et par conséquent là où ils paraîtraient à une distance infinie , et perpendiculaire à ce plan. On sait que la projection d’un cercle quelconque est une ' ellipse, .dont le petit axe est au gtand, oomnie le cosinus de riiK;linai50n du plan du cercle sur celui de la projection est à l'unité ($. 7g.). Le grand axe est la projection de celui des diamètres du cercle, qui est situé dans le plan, passant pa'r le centre du cercle, et parallèle au plan de la projection ; le petit axe est la projection du diamètre qui est perpendiculaire au précédent. Le plan de la projection sera le grand cercle de la terre, dont le pôle '

a le soleil au zénil, dans l'ioatant où T a midi. Alors l’oeil est suppoaé

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4io ASTRONOMIE RATIONNELLE dans le soleil, le centre de la projection est la projection du centre du aaleil, et du lieu de le terre qui a le soleil au zénil dans cet instant, et l» projection entière représente, dans chaque instant, l'hémisphère de la terre, illuminé par le soleil. Comme la distance du soleil n’est pas inhnie, on cor> rigeta cette erreur, en faisant le rayon de la projection — p ad lieu de

P. On verra aisément, qu’il est néccssaiie de supposer la déclinaison du so~

leil invariable durant toute l’éclipse, pvcequ’un changemcut de la déclinaison donnerait une autre projection.

• $. 961. Soit MPS(F<jf. 7 s.) le méridien, dans lequel le soleil est su p*

posé immobile, et où le lieu T se trouve à midi; P le pôle, S le lieu cpii a le soleil au-zénit, MT le diamètre du parallèle que T parcourt en 24 heures, ensorte que la projection de MT sera le petit axe do l’ellipse; sort D=:9o* — PS la déclinaison du soleil dans le milieu de l’éclipse. Les points S, T, P, M, seront projcttés en C,t,p,m, et le rayon de Ik projection sera P — £ — c (§. a6a. «5o.): d'où il vient * ,

Cp ~ c sin PS =: c cos D, Cl r=csiii ST — C sin(/" — D),

Cm — c sin (PS-j- PM)r=csin (90” — D -f- 90* — /) — c sin (y-j-D), et le grand axe de l’ellipse, MT =: acsin PT — ac cos y

En décrivant donc avec le rayon C A =: C B = c le cercle A-DB,

en élevant sur AB la perpendiculaire CD, et en faisant Cl — c sin (y — D), C /n ::z c sin (y •}- D) , les points l et m donneront la position et la grandeur du petit axe Im; en 'tirant donc la perpendiculaire ab sur son milieu c, et faisant ea~cb^ecosf,ab sera le grand axe de l’ellipse; et ayant fait Cp~ c coaH,p sera la projection du pôle élevé, qui tombera toujours au delà du centre e de l’ellipse, vu que Ce— = csin/ ros D, et

• ^ Cm Cf

C/>=ccosD, donc Cp > Ce. Le demi • petit axe est cm— ^ — r —

• cosysinD. Au moyen des deux axes, on peut construire l’ellipse, passant

par les points a, m, b, t: en nommant les abscisses cd — x, les ordonnées V cm®

én — J, on aura {ca^ — x~) — sin® D (c® cos®y — *®J. Mais comme

• il est nécessaire, de diviser le parallèle en heures etjsinutes, il vaudra iBÏeux se servir de la cooslruclion suivante.

La droite Cpm repn'sînle un méridien dans lequel le soleil se

Ifouve consiamincnl, et chaque lieu de la ferre lorsqu'il a midi: conséqiiem*' ment, si le pôle /> est dans l’Iiémisphbre supérieur, ou illuminé par le soleil, (m ce qui revient au iiiènie, si la lalitude du parallèle al b est de même nature que la déclinaison du soleil sera la projection de l’arc diur-

ne, et gin J" celle de l’arc noclurne. Soit donc f fg dans rhémisphère supérieur la direction d'occident en orient par le midi f, ensorte que le lieu T, par le mouvement diurne, parcourra le soleil se lèvera, lorsque T est en y, il se couchera, lorsque T est en gi il aura 6 heures du matin en a, 6/i. du soir en b, midi en t, et minuit en m. Si y et D sont de natnre opposée, gm/'sera l’arc diurne, flg l'arc nocturne, m sera midi, t minuit, g le lever, et f le coucher du soleil. Ayant donc constrnif sur le grand axe ab, comme diamètre, un cercle oEé, il résulte de la nature de l’ellipse,' que pour une abscisse donnée cJr=j;, les ordonnées de l’ellipse et du cercle sont entre elles, comme le petit et le grand axe, ou en nommant de—z, y:s::ccosysinD:croj/j doncy=rsinD. Le cercle oEi est le vrai parallèle du lieu T, l'ellipse amgl est sa projection: T décrira donc le cercle uniformément, à raison de 1 5° par heure; et chaque point du cercle est projetté en n, où la ligne ed, perpendiculaire à ab ou AB, rencontre l’ellipse. Supposons donc, que le qvadrans Ecb soit divisé en 6 ou la arcs égaux, c'est-èdire en heures ou demi-heures, et que Ee réponde à une heure ou i5*: cela posé, e et n seront les points du parallèle et de sa projection, où se trouvera le lieu T, quand il compte 1 1 heures du soir, etc. En faisant donc de : dn : ; cE ; cm : : i : sin D, on construira de cette manière l’ellipse entière, et on l’aura divisée eif même tems en heures, etc.

$. 364. L’orbile relative de la lune sera construite suivant les mêmes règles, dont nous nous sommes servis pour l’éclipse générale, arec cette dif--< férence, que CD n’est pas ici le cercle do latitude, mais de déclinaison: on aura donc besoin de l’angle de position x, qui a été déjà calculé ij. a55.). On fera suivant les règles précédentes {Fig. 74-)» DCF=:x, CE=ri, ou CA: CE:: P — pib; alors CF sera le certle de latitude, et E le lieu de la lune en conjonction. En faisant de plus, £M=:p, en élevant sur CF la perpendieu-'

. 4>4 ASTRONOMIE RATIONNELLE laire MN, et en faiaanl EN^ti^rH — h, N aéra aussi dans l’orbite:', en joignant donc E, N,L£NU sera l’orbilo relative de la lune. On marquera en E le tems do la vraie conjonction,, qui est donné par la premifere partie ‘ du calcul , et qui doit, être réduit au méridien de T, dont la longitude est connue; et Ton divisera, au moyen du mouvement relatif i), forbite LU en heures et minutes du méridien, de T,, en partant de Ë. En comparant deux points de l’orbite et de l’ellipse,, auxquels est marqué le même tems, par exemple N et R,, leur distance RN,. prise suc l'échelle où CD=:P —p, donnera la distance apparente des centres du. soleil et de la lune pour le lieu T, qui a liea dans, l’instant marqué. En eflêt, la parallaxe du soleil étant ici nulle, parccqu’on en a tenu compte,, en taisant le rayon CD égal à laparallaxe relative P — p, l’observateur en R verra le soleil suivant une droite, perpendiculaire au. plan da la Jigurc, et passant par R, pareeque le soleil est supposé perpendiculaire sur C; et la lune sera perpendiculaire sur N:, sa distance apparente au soleil sera donc mesurée par l’arc N R qu’on peut, égaler ù son sinus, pareequ’il est toujours plus petit quts P— /> ou qu’un^ degré.-

aSS.. Cela, posé', on- trouvera- lé eamrnencemaü’ et la fin do l’éclipse' partiale et totale en T, en cherchant avec un compas ,. ouvert de R -j- r et R — r, deux points, dans- l’ellipse et dans l’orbite, éloignés l’un de l’autre de R + r, et répondant au même tems. La plus grande phase ou le* milieu de l’éclipse se trouvera ù l’aide du compas, en cherchant deux tems égaux,, marqués dans l’ellipse et l’orbite,, où ces deux lignes s’approchent le plus l’une de l’autre: l’ouverture du compas donnera la plus courte distance, ou la plus grande phase, et les tems. marqués donneront l’époque du milieu, qui sera à très-peu près le- miliea entre les. époques du commencement et de la fin, qu’on vient de- trouver..

La méthode précédente des projections donnera à une minute près,, ces époques: car elle n’est pas exacte, étant, fondée sur de faux principes,, - en supposant, par exemple, la. déclinaison du soleil invariable durant l’éclipse, etc. Il faudra donc corriger, les époques qu'on, vient de trouver, par. lé: «aïeul des parallaxes. ,