CHAPITRE V
L’Éclipse des diffèrens lieux de la. Terre.
953. Lja»eeonde partie dti ealcol comprend les qnealions suivantes: s. quels lieux de la terre verront les premiers te commencement, et les tieqe uiers la fin de I dclipse partiale, totale ou annulaire, et centrale? a. quel est le lieu de la terre qui-r dans l’instant du milieu, verra une éclipsa eentrale, ou le plus grand oéscurcissement du soleil?
3. quels pa^'S verront successrvrmenl une éclipse partiale, totale, eu cen> traie? quelle est la rouie que prendront sur la sutibee de la terre, Vombre^ la pénombre, et le centre de rembre?
S sera supposé dans ce calcul ,. que les époques de* tontes les phases remai^ qusbies pour la terre en général, ont été trouvées pour le méridien d’on- lieu A, par les méthodes du Chap. IF. Mais outre ces élémens, il faut tirer des tables, pour l'époque de la> nouvelle lune, VobliguUi de l'écliptique, la décü. naison du soleil, et sa variation horaire,-
$. a54. L’éclipse partielle commence ou finit dans un lien dé ta ferre, lorsqu'il voit le contact extérieur du soleil et de la lune : ce Keu sera Ib premier ou le dernier qui verra ce phéiionjëne, s'il voit le contact dans l'instant, où le commencement ou la fin arrive pour la terre en général’, e’esl-àdiré où la distance géocentrique des centres du soleil et de la loue est P — p-|-R-|-r, on celle des bords =; P — p. Or la distance, vue de ce lieu, ost dans le même instant nulle ^ conséquemment la quantité P — p, dont la distance apparente a été diminuée, est l’eflêt des parallaxes. Il s’en suit, qua le lieu qui verra le premier le eommeneement, ou le dernier la fin, doit être' •aliement situé, i) que la parallaxe est- un'siojvmun, a) qu'elle est emploj’ée
ASTRONOMIE RATIONNELLE
4oo ‘
entièrement à approcher la lune du soleil. La première condition exige, que
le point du contact du soleil et de la lune suit dans l'horizon apparent do
ce lieu; la seconde suppose que les deux centres se trouvent dans le même
cercle vertical, ou que le grand cercle, passant par les deu.x centres, soit
perpendiculaire ù l'horizon. Comme P est beaucoup plus grand que p, il
sera plus simple d'imaginer, que la lune seule a une parallaxe ='P — p, qui
l'abaisse vers l'horizon, le soleil n’étant point déplacé par la parallaxe.
Au commencement de l’éclipse, la lune est encore à l'occident du soleil: il faut donc que la parallaxe la transporte vers l’orient, pour l'approcher du soleil; et comme elle abaisse tous les corps, le point du contact doit être ilaus la partie orientale de l'horizon, ou dans le point du lever. A la fin de l’éclipse, la lune est à l’orient du soleil : U faut donc que la parallaxe la transporte reis l’occident, ou que le point du contact soit dans l'horizon ocàdenlal, ou dans le point du coucher.
Le lieu qui verra le premier le commencement de t éclipse, sera donc déterminé par ces conditions. La lune vient de se lever, le soleil commence à se lever; le bord inférieur de la lune et le bord supérieur du soleil paraissent dans l'horizon oriental; et le grand cercle qui, au commencement de l’éclipse générale, passe par les centres du soleil et de la lune, est perpendiculaire è l’horizon de ce lieu. Il en est de même du lieu qui verra le dernier la fin de Péclipset avec celte ditTérence, qu’il faut mettre le coucher et l’occident, à la place du lever et de l'orient.
Ce que nous venons de trouver par des raisonnemens, se déduira avec la même facilité de la figure 65. Lorsque le soleil est en S, la lune en T, la terre en M, louchant en X la pénombre, l'écKpse partielle commencera, et , le lieu X verra le premier ce commenceincnt. La ligne sXH, tangente è la terre en X, représente l'horizon du lieu X: la lune Ir est élevée sur l'horizon, le soleil SI est abaissé sous l’horizon srX. Le bord inférieur de la lune r (qui est en même tems le bord oriental, attendu que le mouvement de la lune autour de hv terre, Ir, se dirige d’occident en orient), et le bord supérieur et occidental du soleil s, sont en contact dons fborizon Xll qni, par conséquent, est la partie orientale de l'borizon. Cela est encore évident par ce
que la terre tourne sur «en axe d’occident en orient, de sorte qne le Heu X, diant transporté en m, voit le lever du soleil. Si, dans U fin de l'éclipse, la
terre U ucho la pénombre en n, le lieu n qui volt le dernier la fin, a le 8o<
leil entier sa- au dessous, et la lune It au dessus de son horizon Gnr, qui est llioiMoa occidental, parceque le bord oriental de la lune t est plus élevé que le bord occidental /, et que la rotation de la terre transporte le lieu n en >, ensorle que les- deux astres se couchent. D'ailleurs, puisque la terre touche le côite d'ombre en X et n, la prolongation du rayon de la terre MX doit nécessairement passer par l’axe du cône STC: donc MX et ST sont dans le même plan, ou S et T sont situés dans te plan vertical MXTS du lieu X.
Tout cela s’applique également à l’éclipse totale, en substituant le cône s C r au cône G F H. - .
§. a55. Soit {Fig. 6g.) Q'Dad la projection ortographlque de la terre,
dont le pôle est le soleil, de manière que S représente le centre de la terre,
et le lien qui a le soleil au zénil dans un instant donné; soit P le pôle élevé ou illuminé, CE l'écliptique d'occident en orient, et OH l'orbite relative de Id lune, la rotation de la terre se faisant suivant la même direction: PBQt/uSP sera la moitié occidentale, PSuÿDBP la moitié orientale de l'hémisphère illuminé de la terre; et tous les lieux de la terre Q, d, décriront des cercles parallèles autour de P, en traversant Hiémlsphère supérieur ou illuminé de Q en D ou de </ en <j: faisons SQ:r:P— /», S0 = P — p-}-R-j-r, donc (^0=R-|-r. Cela posé, il est clair que l'éciipse centrale commencera et finira sur la terre en général, lorsque OU coupe la circonférence du cercle QDçcf; et l’éclipse partielle au moment où OH coupe le cercle CAE en O , et U: Q verra donc le premier le commencement au lever du soleil, parceque Q est sur le point de se lever au dessus de la limite Qifr/D de fliémisphère illuminé par le soleil, et que toute .'uitre distance O B est plus grande que OQ. Suivant les princi[>es de la projection urlonruphique, tous les grands cercles, passant par foeil ou par S, se changent en lignes droites qui font entra elles les mêmes angles qne les grands cercles. Or BPS est le cercle de déclinaison du soleil: en faisant donc AôF êgid à Tangle de position k, F étant pris a gauche ou à droite de S, selon que le cercle de latilude SF est à
ôi
4os ASTRONOMIE RATIONNELLE
' l’oceiilonl ou à l’orienl du cercle de déclînaisoni SP, c‘e»l-k-<iire «eloit que !•' ■olcil eal dana les signes ascendans ou descendans (I. $. 76. 77->k prenant FSGr=u it gauche ou à droile, selon que la latitude de la Uioe est Cioissanie ou décroissante ($. adS. adx.''; on connaît les angles AS G x -{- u, et
GSO=:GSH par réiinalion. cos G S O = — . Cela donne
Fangle ASO = GSO-f x -f- qnî est le même que l'angle sphérique PSt^j. S(^ est un (fu<i<irans, et S P est ta distance du soleil au poîe, donc SP^r^Qi/ — D, D étant la déclinaison, boréale du solrif au etHnmencement dé l’éclipse. On aura, donc dans le ti îangle sphérique PS(^,
e«is PQ =ces PS cosSQ -f-sin PS sin SQco* ASOp •r PÇ> —go* — f étant la distance du lieu Q au pôle, et Sy^yo*, la lufitude- S du lieu Q sera donnée par l’équation
sîn f r: coa. D cos (G SO -f- x -f- uî,
f étant de même nature que Le pôle P et la déclinaison du soteil' D, ou d»
nature opposée, selon que sin f est positif ou négatif. On a dans le même triangle.
lang SPO=r r.ny (cso^-x^-iuy
® * cut2> 2» — eus P 2t cos P b <,^1' s jtiX
En nommanf L la longitude du lieu A, pour le méridien duquel on. acalculétoutes les époques de l’éclipse générale uSd,;, par ex. de Paris, et ensupposant que l’éclipse commence t heures après le midi vrai d» Paris; le soleil S ou le méridien PS sera i5 t dégrës à l’occident du méridien de Par’is>. oui*
longitude du lieu S sera L — iSt: or les longitudes géographiques étant comr
ptées suivant la direction QPS, la longitude du lieu Q sera
/=L — i5r — SPQ.
On verra aisément les modiScatiuns que la figure 69. et les formules précédentes éprouveront, lors<iue la latitude de la lune est australe..
Le même procédé donnera , pour le lieu D qui verra le dernier lai
Cn en H, l’angle ASIi— GSH — la latUude f par l’éijuatiou ainy^z:
“ tE A. S H*
cos D cos A s H, l'angle SP G par l'équation langSPDr^ ^ et la
hngUude l—L — i5/-|-SPD; t étant le tems de la 6n de l’éclipse générale
pour Paris, et O U déclinaison du fuicil à celte époque.
L I V R E V, C H A P. V. 4oJ
En TORtUinl k la place de / le commencement ou la 6n de l’éclipas totale ou annulaire, et do l'éclipae centrale, et au lieu de D la dëclinaisoB du soleil qui répond k cliacune de ces époques; les formules précédente* donneront les lieux qui verront les premiers le commencement, ou les der* Biers la fin de ces éclipses. Alors l’angle GSO~GSH sera donné par une
de «es équations, cos G SO — ^ p’
1^6. On trouvera de la même manière le lieu qui, dans l’instant du milieu, verra une éclipse centrale, ou la plus grande phase. L'éclipse est centrale, si l'orbite relative <^D traverse la projection de la terre En abaissant donc snr QD la perpendiculaire S^, g sera, le milieu de l'éclipse, Sg — m la plus courte distance géocentrique , et le^ieu dont la projection e*t g, aura une éclipse centrale. Ce lieu étant perpendiculairement élevé sur le point g de sa projection, la droite Sg de la projection sera au rayon SQ, comme le sinus de l’arc Sgrzx, dont le lieu g est éloigné de S, est à l’unité: «n a donc ,
ain X Sz ^ ' — — — • sg P — P
Connaissant dans le triangle sphérique PSg, PSZZ90*— D, Sgzzx, a -f- U, on aura
cos Pg =siny' = sinD ^ -j- cos D cos(x -j- u).
Une SPe = -t
° “ cotDy(^P — pj* — m») — m lin O cui (H -f u) ’
/=L — i5/::psPg,
les signe* — et se rapportant aux cas, où Sg est à l’occident do cercla de déclinaison SP, ainsi que la figure 69. le représente, ou à l’orient; et D étant la déclinaison du soleil, i le tems de Paris, dans le milieu de l'éclipse. Pg étant le méridien du lieu g, le soleil est dans la figure à l'orient de ce méridien, et le lieu g verra l'éclipse centrale avant midi{ il la verra après nùdi, si S g tombe à l'orient de SP.
Si l'éclipse n'est pas centrale, le milieu arrivera en G, et le lieu y verra la plus grande phase, pareeque toute autre distance GD est plus grande que C'y. On a de même
4oi a'S T R 0 N 0 M 1 E RATIONNELLE
^ PS7 = x4-w, PS = 90’ — D, 57 = 90", donc
«o»P7=ainy=co*Dco*(>i+u), tangSP7= — *’ L — i5/:^SPY,
selon que la perpendiculaire SG tombe à l'occident ou à l’orient du cercle de déclinaison SD. Dana le premier cas le lieu 7 verra le milieu de l’éelipse et la plua grande phaae au lever du soleil, dans le dernier caa au coucher du soleil; attendu que la rotation de la terre fait tourner le lieu 7 autour de P suivant
§. 357. On trouvera le lieu qui verra l’éclipse centrale dans nn in' étant quelconque, en mettant à la place de t le tems donné pour Paris, et à la place de m la distance géocentrique des centres à cette époque. Cettr distance G ^ (.^'8- ^7-) »® trouve de deux manières. L'intervalle entre le milieu de l’éclipse A et le tems donné, étant converti eu arc, au moyen dit mouvement relatif t). de la lune, donnera le segment de l’erbUe AX, done G^=^ (m*-j-AX®). D’un autre côté, les mouvemous horaires 0, et t) dan-seront la latitude Xfi=é, et la difliérence entre les loogitudea du soleil eK de la lune Q ju. = B, d’où il viendra G ^ "h
J. a58. La troisième question ($'. 353.) ne saurait ôt(e résolue facile ment dana toute son étendue, que par des constructions qui doivent être expliquées dans l’astronomie pratique. Cependant les principes généraux qui conduisent à la solution de ce problème, peuvent être compris sans construction. La roule du centre de rom)>re, eu de l’éclipse centrale, sur la sur- /
fece de la terre, sera trouvée par le procédé du aS^, lequel donnera 1er lieux qui verront successivement l’éclipse centrale. Ayant joint tous ceapoints par une courlie, sur une mappemonde ou sur un globe, cett^ courbe^ s’écartera insensiblement de la vraie route du centre de l’ombre, si l’on r déterminé par le' calcul nn nombre suffisant de points.. Parmi oes points il' y en a quatre, plus remarquables que les autres, qu’on a coutume de calcu'ter: ce sont les deux points qui vecront le commencement et la fin de l’é- •lipse centrale, celui qui verra l’éclipse centrale dans rinstant du .milieu,* ef eelui qui verra le solaii oentralement écÿpsé dans k méridien. On a vu r$. a55* 354.), comment les trois premiers points se trouvent; il ne reste donc que Je qualiiLcic. Conuue les a»lrts ne surlent pas du méridien par l’cfîéi de la:
^rallase, Tes lieux cro/s des deux centres seront aussi dans le méridien de CS lieu, ou dans le même cercle de déclinatson. On n'a donc qu^ chercher, au moyen des mouvemens horaires, l'instant où les ascensions droites du soleil et de la lune sont les mêmes: si eet instant arrive durant l’éclipse centrale, il y aura un lieu de la terre qui verra l'éclipse centrale ù midi, et il sera trouvé par les formules du §. a56, en y substituant les valeurs de D et de la distance géoceatrique des centres ($, aS^.), qui conviennent ù celte époque,
a5g. Ayant tracé, par te procédé précédent, la route du centre de l'ombre, on trouvera aisément, à l’aide d'un globe artificiel, la roule de l'ombre et de la pénombre, ou la baude de la terre, qui sera successivement couverte par l’ombre. Soient {l'ig- 70.) S, L, C, les centres du soleil, de la lune, et de la terre rTM/r, SL l'axe de l’ombre, qui rencontre ^ terre dans 'lé centre T de l'ombre, ou de sa section circulaire dans la région de la terre; et soit tu cette section, ensorte que TL< = TLu est le demi-diamètre sélénocentrique de l'ombre ou de la pénombre, donc TLt=TLn=i ;i;(R — r) eu R-j-r, celui de la terre élant=:P: d’où il suif, que V/ = Vit ■St au rayon de la terre, comme zt (R — r) ou R -{- r est ù P. Un disque circulaire tur dont le diamètre est i celui du globe arKficiel dans ce rapport, étant fixé dans la situation fu, couvrira tous les lieux de la terre qui se trouvent dans l’ombre, au moment où T a une éclipse centrale; et les points T sont déjà marqués sur le globe {§. a58.). Pour fixer tu perpendiculairement à ST, on peut regarder ST, SG, comme parallèles, parcequ'elles ■e font jamais' un angle plus grand que p = 8". Ayant donc disposé le globe de manière que CS soit vertical, et que par conséquent, le lieu M qui a le soleil au zénil, soit élevé de go* sur l’horizon du glolie, on n'aura qu’à donner au disque tu, la position horizontale. En menant le disque tu, le long d’une règle horizontale, ensorte que son centre V répond perpendiculairement sur le point T qui voit l’éclipse centrale; et en teurnant en même tems le globe, ensorte que son point zénital M est celui qui a le soIeH au zénlf, dans l'instant où le point T qui répond perpendiculairement sous V, a l'éclipse cenb'ale^ les lieux, couverts par le disque, auront dans ce moment l'éclipse total*
A s T R O IV O M l E R A T r O N N E L L E
4uS
ou parüalo; .ce qiii suffit, pour tracer ta rouie de Tombre sur une mappe< inonde. Comme P .est deux .fois plus grand que R r, rombre ne peut ja- •nais .couvrir la terre eutiêrej mais une moitié du disque Vu on du cône VLu, peut s’étendre .au déia de la terre, si le centre .de l'ombre T est considéra' ibienient éloigné de la droite ‘SC: .alors loele la partie Trr de la terre se trouve .dans d'ombre, inais il n’y a que 'la partie 'T t qui puisse voir l'éclipse, parcs- .gu’il est .nuit .dans J’autre partie rrr.
$• a6o. £n général ûl est aisé de voir, que la route du centre de l’ombre, <et des deux .ombres qui l’accompagnent, est diiigée d’occident en orient sur la surface :de la terre. 'Supposons que dans un instant quelconque, les centres du soleil, .de la lune, de la terre, et de l'onibre, soient en S, L, C, T, (F7g. -71.) .aur :une .même .droite . J'éclipse .étant .centrale pour Je centre .de la .terre; au bout d’environ deux heures, la lunp aura parcouru, par son mouvement rela- .tif d’occident en .client, J’aVigle l.C/=r* ou l,C/.=:3i|, «t le icenti-e de .l’ombre .a été transporté de T .en f. (Or Jet angles soustendus par be petits arcs étant en raison Jnverse des rayons ou des distances, «n aura
i;=ic;.eL, is:=y=|iLc;=Jici «. 49.) =^^i,c^
ou à trts-pea près XS/='6o p . t" z:zx>,oo%^-]6 ,36oo" — 8", g — pi •d'où il suit que Si est tangente .à la terre, -et .que par conséquent S/C.^rgo”, «t SCl = go* — ÿ"~jgo^. 'Cet angle TCl est sujet à des variations, à proportion que >1 est plus ou moins grand que la valeur de 3o' que nous avons supposée ici,
3 Tï
.ensorte que'TCl=: — go°. Mais il taut observer encore, que cet angle, quoique .constamment dirigé d'occident en orient, n’est pas situé dans J'équateur, mais dans J’orbite relative Ôe la lune, qui fait avec l'équateur l’angle PSG « (/v]5>.'6g.), et avec Je méridien l’angle (pr^-go* — («i: *) qui peut va-
rier de go* à 6i'*. Soit donc (/ÿ. 75.) £ le pôle de J’équateur, le soleil en i, l’angle .£ IL = .(p, £/=:.90®— D, et / L ^ go® 1 80 q : cela posé.
•<în ^
•eos
on aura
Dcüt t L— tin Deus ^ co» J) coIiOot| — imJOsin fw-t-xT*
En nommant 7 raccroiMement horaire de Ja .déchDaMon boréale .de la lune, il viendra
ELrgo^-(D+aff), et co5/EL=‘"‘'
^ sin L 1 fin E L cu« Dcos (^1)4.3 6 / ^
D élùul la. déclinaison du soleil et de la lune,, au inumenl où elle coniroen> ça à narcouiir !s‘Ç L/ On a uonc à très-peu près coa loo t| ~ o,et cJs/EL=- — tg D Ig (D -fr aSj- On on a généiulemrnt sinD=^cos(sinf -f siursin C cosé, t élant. rubliquilé,, donc dans les éelipses-, oà b est- presqvS' nul, sinDrzsinisinC à peu près,, et i — ^ ..dC élan! =HiS..a3a.):
en faisant donc lin.t =ro~,.4i.'On aura: . L'équation, précédentè?
donne è peu près, cos /~E L — m» >[/ — »p D-fay
oos D
C08 idu V)
tg D ig (D -Jr a ÿ) ,. et
, I »Fi »^-r“u , ct>«lA«*n fin D (sin D-l-ü. 8 . H col I\
Ig (D -I- a — — , donc cos \L =: i J
I— ïilgO. ^ cos’U- cuj*U— O, fl.HcosCMuD'*’
et en substituant sia 1) rr o, 4-sin C,.
cm iSuT) u,i6 , lin c (fin c -f-s Hcoi {)'
“ I — o,i0.sin*£ 1 — U, i6.>iii C (fin C -f-2 Meus Cl
Le mouvement relatif tj; peut varier d'environ 26’ à dâ':- on aura: donc à peu' près la plus grande valeur positiva de cos <{/,. on taisant ain C—o, >|=. aô', et Iti plus grande valeur négative, en faisant ain
«osi|<=cüs-Tti% eb cosi)/:::: — — ütif ~ — : donc et:
4 — iao‘.. En. conséquence,, runitire^ de la. lune paccoutU eni deux, heures: unt
arc terrestre' de ai lao^ d'occidénb en. orient ,, tAndia> que* dans» le' même'
tems, la. rotalioni dé: Iki terre' lait: parcourir au lieu T un. arc de* 3o“* suivantt
là même: direolibn,. enaorte qpe le centre de l’ombre tombe,. dana> l’instant sui»-
Tant, sur un. lieu /' qpi. est: plus: oriental que T: d’où- il résulte, r) qpe dana>
tous- les. cas,, la roule de l'ombre lur la terre se dirige des pajs» occidenlauzi
aux pajs orientaux,, a); que la vitesse' de l’ombre dans le sens- de l'ortiite, /L,,
est de 90 >1: pan' heure,, o’eat. à', dire- de 3gt à. 53® j. 3) que la. vitesse dans le:
sens de- l’équateur,, et relatiwement aux pa^qp’elle inverse,, /EL '3:^**»’
peut varier de 24* h 4>>*v
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