CHAPITRE IV

ïné§,alités séculaires.

S- 184. X3éterminons maintenant let inégalilëa séculaires, on Ie« va» liaiitius des élémetis des orbites, et commençons par relie du moyen mouvement ou du grand axe. Avant d'enter en matière, il ne sera pas inutile de dire quelques mots, pour fixer le véritable sens de cette variation, parcequ’un moyen mouvement variable pourrait paraître une absurdité. Le moyen mouvement est celui qui tient le milieu entre le plus rapide et le plus lent des mouvemens vrais, et il est trouvé par des observations qui embrassent un long intervalle de tems, en supposant le mouvement uniforme pendant ce tems. Il est donc évident que la valeur du moyen mouvement doit toujours être censée se rapporter seulement à la période , è laquelle s’étendent les observations qui ont servi à déterminer cette valeur. Le moyen mouvement sera donc variable , ai des observations , laites dans une autre période, donnent une valeur dilférente. Dans un pareil cas le moyen mouvement changera d’une période à l'autre, et rigoureusement parlant, il ne pourra être supposé constant pendant une seule période, attendu que ce qui arrive en passant d’une période è l'autre, doit également avoir lieu entre les dilTérentes parties de la même période: ainsi la valeur du moyen mouvement , déterminé par observation, n’est qu’approximative, et ne pourra être regardée comme constante, que relativement à une période qui est assés courte', pour que la variation du moyen mouvement pendant cet intervalle suit insensible; ainsi qu’on l’a vu dans la théorie de la lune. Celte variation du moyen mouvement est ce qu’on appelle proprement équation séculaire.

3ii

Reprenons l’équation (19) (§. 16J.)

^zznl— — ^ — Z'/'o» 9/ (9 R), et 5y~ô;i9/. .

On a vu ($. 176. i77.)i que les fonctions P, à, ©, A, 3, P3, ne renfermenf, outre des termes cooslans , que les cosinus des angles r), lesquels sont la somme ou la différence des multiples de (t jx', plus un angle constant, de aorte qu'elles pourront être exprimées généralement par Feos iVr — attendu que |x=: Les coefFiciens partiels I', T', etc. sont

fonctions des excentricités , dont les variations sont de l’ordre des masses perturbatrices m', et qui par conséquent , dans la fonction R qui est déjà multipliée par m', doivent être regardées comme constantes, si l’on néglige les cariés des masses. Ainsi ces coefSeiens , après avoir été multipliés par cos (i n' — #»)-+•■») . auront pareillement la forme F cos (t' n' t — int~\- A). Il suit delà, par les équations (N) (N') ($. >77-)i que chaque terme de R est de la même forme, de sorte que R m' ^ cos (f v — /v-f-A). Or nous avons, vu $. 160.). qu’eu différentiant par rapport à (, il faut regarder les éiémens de l’orbite comme constans, d’où il suit (dR) = m' lidv sin (t' v' — rv-{-A); donc en substituant dvmnd/, et faisant pour abréger, i” v' — «v-}-Az::<p,

(dR)= m' ikndl sin f (>R) — m iknfdt sin — ^n' — râ

Si on substitue l’unité au lieu de i -f-m, dans l'expression précédente de v et dans l'équation (18) (§ il viendra

v = 3o«/d/(')B),l = 2/(9R), donci = — costp et y=:— ^^^^"l,in<p.

Il suit delà que, si l’angle (p n’est pas constant, 1rs quantités a et v ne sont atsujëlies qu’à des inégalités périodiques: ainsi le moyen mouvement n'aura aucune équation séculaire, à moins que i*/i' — in ne soit nul, ou que lef moyens mouvemens n, n', ne soient commensurablcs; ce qui o'esi pas le ras dans le système planétaire. C’est d’ailleurs infiniment peu vraisemblable, paroeque, n, n', étant des constantes arbitraires, leur commensurabilité suppo« serait un cas unique parmi une inBnité de cas également possibles. Nous n’avons ceniidéré ici que l’action d’une seule planète m' ; mais R est proprement fonction des actions de toutes les planètes m', ni' , etc. ainsi (p aura

3ii ASTRONOMIE PHYSIQUE

la forme (//i tV-j- f' n" cet.) /-I- A, et une équaiion séculaire du moyen mouvement suppose i n -|- n' -f- !’ n" -f- cel. — o , co qui est encore moins probable: féquation séculaire qui aurait lieu , si les révolutions de deux planètes étaient rommensurablrs , sera détruite par faction des autres planètes, à moins que les moyens mouvemens de toutes les planètes ne soi-ent commensurables. Si on donne à i une valeur négative, on aura l’équa-' lion de condition tn-|~>'n'=o; cela suppose également, que les deux moyens monvemens sont commensurables, et que l’un est rétrograde, ce qui n'existe pas dans le système planétaire. Il suit de ce qui précède , que les grands axes, les moyens mouvemens, ou les durées moyennes des révolutions de' toutes les planètes de notre système , ne sont assujètîs è aucune équation séculaire, et que ces élémens n’éprouvent que des oscillations, ou des inégalités périodiques qui dépendent de la configuration des planètes. Mais il en suit en même tems, que cela n'est pas d’une ^nécessité absolue, qu’au contraire l’invariabilité du moyen mouvement, sur laquelle est fondée riastabilité du système solaire, est due à l’arrangemont particulier de ce système, e< au rapport des distances des planètes, que l’auteur de la nature a choisi. Il est vrai que ce résultat remarquable, que M M. Lagrange et Laplace ont> trouvé par des méthodes dilTércntes ('), suppose qu'on néglige les carrés des masses, et les puissances des excentricités, plus élevées que la troisième; ainsi que nous l'avons fait dans toute cette analyse. Mais M. Poisson a démontré le premier, que les quantités du second ordre des forces perturbatrices ne peuvent non plus produire aucune inégalité séculaire du moyen mouvement , et qu'en général la stabilité du système planétaire n'est point altérée , en ayant égard au carré des masses et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons (’). Cette vérité importante fut prouvée dans la même année par MM. Laptace (^) et Lagrange (*).

(l) 77>/or. des par. sétul. dti dès Plan, pnr M. it la (ÜAni In Mim. Sp Ptrltn,

^nn. 178t.). 7^/or. dt Jufittr et de S<fturt\e pap M. de la Place 1(il*n§ Icà </#*

Parie, Ann. 1785.). Mécan- cil. Tom. I. lÀp. Jl^ ji^. S4. 63.

(a) Sur Us inégal, séful. des mojrens moue, des plan, {Journal dePéeoU paljtechn. Cah.

(î) Siipplém à la H2écan. céleTte.

Sur la tiiior. dêt par. des Hém, de$ plan, tic. dê PJneùt. de France, .^dnn. ]8c80*

$. i85. Puiique les latitudes et et longitudes des planktes dépendent de leurs noeuds, inclinaisons, anomalies, etc. les Tariations de ces élémens doivent nécessairement altérer le lieu de la planète, d'où résulteront de nou* relies équations des latitudes et des longitudes: et ce sont justement 1m termes (^) 0') avons séparés des équations périodiques ($. i8i. i83.).

A>'ant donc déterminé l'eiret des inégalités séculaires sur les équations périodiques du lieu de la planète, ces nouvelles équations, comparées aux termes* (x) (^), nous serviront à déterminer les inégalités séculaires. Mais ces dernières étant l’etTet des perturbations , et par conséquent multipliées par la masse perturbatrice , leur influence sur les perturbations périodiques doit être de l’ordre du carré des masses, que nous négligeons ici: il faudra donc se borner h l'efTet qu’elles ont sur les inégalités indépendantes des perturbations, on sur les équations elliptiques. Conformément aux notations adoptées dans le $. 179, la tangente de la latitude ou s est égale à S sin (v — J), où l’on peut substituer ft au lieu de v: on a donc

s ~ (f sin n — P cos K.

Or si l’action de m' fait éprouver aux élémens p, q , dans le tems I, les inégalités séculaires m'iSp, m'tSq, il en naîtra en même tems une équation de la latitude, m'Ss, de sorte qu’on aura

s -)-m ÎA'=:(i7-|-m7îy)sin n — partant fs:z:/'(S'ÿ8in).i — ipcosfi). Si on compare cette équation avec (t) (§. 181.J, il en résulte

«P = ^ iq' — q), iq — ^ a* a — p').

La différentiation des équations

P = S sin J, 9 = S cos J, p'zrS'sinJ', s' cos J', donne it.sin J -j- Dé J.cos J, éy=:éD.COsJ — DSJ.sinJ,

d’où l’on tirera

é'D~é^sinJ -}-éÿ cos J, )5J — Sp cos J — $ ^ sin J, et en substituant les valeurs précédentes de Sp, iq,

ii {(7' — q) sin J -|- (p — p') COS J},

. DiJ =7 O* {(/ — ÿJcosJ -\-(p' — p) sin J},

3i4 ASTRONOMIE PHYSIQUE

le* variations des inclinaisons et des noeuds dans un tems quelconque l étant n^tSt et Si l'on substitue maintenant les valeurs de p, q, et qu'on

désigne par N le moyen mouvement annuel de In planète ni, on trouvera l'ocrroissement de rinclinaison, et la précvssion des noeuds par rapport aux étoiles fixes, dans le nombre d’années /,

^ XIV. m' /6 J ~ ^ m' / a" o' ()' sin (J — J'),