XV. m'/5 J = I »i' /«* a' cos (J - J'; — i

Ces équations nous apprennent, i; que l'action des autres planètes peut imprimer aux noeuds d’une ptanète un mouvement diiect ou rétrograde, selon que cos (J — J') est plus ou moins giand que p, mais que les noeuds reculeront toujours , si la distance entre les noeuds ascendans des deux planètes qui agissent l’une sur l'autre, est plus grande que 90 degrés; a; que l’inclinaison va en croissant ou en décroissant, selon que J' — J est plus ou moins grand que la demi-circonlérence, et que cette variation est d'autant plus considérable, que l'inclinaison de l’orbite de la planète perturbatrice est plus grande, et que la distance emlro les deux noeuds approche d'avantage de 90 degrés.

Si la planète perturbatrice m' est la terre , ¥ est nul: on a donc SCzzo, et i J (j-y a((i). Comme on peut substituer à la terre toute

autre planète, on en conclura cette vérité importante, que

Pungle, fhmié pur les plans de deux orbites planétaires , u’est point altéré pxr leur allractioi: mutai Ile,

malgré les variations continuelles , auxquelles est assujèlie la position de ces deux plans , ainsi que leur inclinaison relativement à l'écliptique ou ii un autre plan quelconque. Il en suit de plus, que la commune section des deux plans aura, en vertu de leur altiarlion mutuelle, un mouvement rétrograde, quoique leurs noeuds relativement à l’éclipliqiie puissent avoir un mnuvement direct.

§. 1H6. On peut trouver imn'édiatrmrnt le même résultat, è l'aide des fon- «tioni c, d , c", La ditl'érentiellc des équations pz:Lt~, ibo. (lij^ est

L I V R E V, C H A P. IV. 3i5

. sc” e’it . ié t'ic

hpzrz —— — ^1—1 (S-

a* — i (ae''*in J -|- de' COI J — *9c;, IdJ — ^ (de'' cos J ■ — de' sin J).

Puisque les quantités c', c", sont de l'ordre 4, leurs carrés doivent être négligés ici: ainsi l'équation (A) (§. i6i.) donne c=n=:V ^ f§. i6i. (ti ). Si on substitue B=n'a^ (§. i63.) et e~2a(i — — on aura e~ — , En mettant à la place do de, de', de", leurs valeurs (§. iSg.), et observant que z~o (§. 167.;, les équations précédentes deviendront

d4 = - naa/ Jj, sin J X (^} cos J (IJ) 4 - x (^) 4^ ,

43J =/i«a/ jx sin J — jr cos

d'où l’on tirera, en substituant x — acotv, y — a tin v, x'=:a'cost/, y = a'»inu'(S. 167.),

a4 = -«a*d/J(||) cos(v-J)-t- (i?) 4sinv-(|J)4cosv^,

. 43J = — n4i*3t sin (w — J).

Substituons maintenant i58. (A) («)},

/3R\ , '/« i\ m'x /àK\ i\ , n'y

(ix) * (a'» fv"*" f* ’ ev e' *

Çrÿ — •*' ~ p)> P ~ f*»' — ’û» cos iv) - î (S. 167.)

= »(S 169. (/)y = îl«'>>-hî«‘'^COSMV (§. 170. (F)), dans les dernières équations qui deviendront :

è) — m'na^dt^ ^ "t" n c°* ‘ ^ cos (w — J) — o' 4 sin i ivj ,

tdJ = m' na~ z' 3/^ ît^“^ — ^ ’t" 2

Or z'zza'{'(f — (^)sinn'-f-fyj — /<')cos>i'} (§. I79-), d’où il est aisé de voir,

que le produit de ^ par s' sin (w — J), par s' cos (w — J), et par

4 sin t«‘, ne pourra donner que des termes périodiques; il en est de même du produit cositvsin w sin (r-f- IJ w, qui est périodique on nul. 11 no restera donc pour les inégalités séculaires, que les termes

ASTRONOMIE PHYSIQUE

na’ a' 9/cos (ti {(9' — </) i\n yf {p — //, co* k'} cos fu — J),

tè3— -- na^ e/ î(''^ 3/ cos i «« ■{(y' — ç) sin n' -f (j> — /•') rts (l'Jsin (u — J).

Si l'on développe les produits des sinus el cosinus suivant les Formules (1) (S- *77-) > O® •uf* aigumens (i-f i;m'— ('—■;(*•— J et (1 -f- i ) »■ -f- J : •I il est aisé de voir que le pieniier ne peut pas devenir constant, quelque valeur qu'on donne au nombre entier 1, ii moins qu'on ne suppose — (i — OM'— °i nu la comnienstirabililé de« moyens mouvemens p, n', qui n'eziste pas dans le système planétaiie. Il ne restera donc que l'argument J, qui se change en J, si l’on fait i— — 1: d'où il viendra

d< = ^ ncr a M'‘^9/'|i'9' — y) sin J (p — p') cos

^ «O* a' îl^'* ç) cos J -■)- fp' — p) sin Jf.

Substituant p = tsin J, 7 = 4 cos J, p' — /iia}', 9' = !' cos J' ig. >79-7, on trouvera les équations XIV, XV.

$. 187. Le même prrcidé donnera les inégalités séculaires des exrentricités et des apsides. La difTérentielle de A v 169. (e)) par rapport h 7 et Œ est

3 . A V =: a37sin Jg — to) — a73a cos fp — m), ou en mettant & la place de 37, dm, les variations séculaires m'tSy, m'iSvs, m' J A V am'/^4 7sin (g — m) — 74 m cos (g — j ce qui étant comparé avec l'équation {y) ($. tSd.), donnera

(j « -b 7 cos (g — m) = 4 7 sin (g — ro) — Cl^ — w'7-

Si fon (ait pour abréger,

(a) 7 sin m = A, 7 cos w = /, Y sin w' = h', Y cos m’ =:

et qu’on multiplie le dernière équation par 7, elle deviendra

O— siug^A7tw-l- Y — /47^-t-cosg^Fv4m-f-

d'oà l’on tirera, en égalant séparément à zéro chaque terme ,

o = A74a-f- ** 7 — /Î7, oi=/74 m -f- HjLLE-L 7-}-AJ7 * *n ' * * ' '

et éliminant successivement ito et 47,

L I V R E V, C H A P. IV. 5i-j

an an *

Sy =z — 'Vaincra — ts), Jo=: cosfcs' — «V

an ' anait7 ' '

Subsliluant lea valeurs d« D, D' ($. i83.), on aura

Paccrolssemeni de Pexcenlricilé , et la précession des apsides par rapport auz ëloiles Exes, dans le nombre d'annëes t,