CHAPITRE V

Inégalités du second ordre.

§ i^g Lies in^alil^s des planHes , qui sont indépendantes de lenn «xeenlricilés, ou qui dépendent de leur première puissance, et que nous avons désignées par u, U, u', U, renferment, sous la foinie que nous leur avons donnée, tous les argnmens' dont elles sont susceptibles, les prcaiières u, U, a^ant rargumenl ;(.u' — p), les dernières, u', U', les argumens r/i'— (< — i)n — t* et /'n' — (/ — l'g — où l’on doit mettre à la place de i tous les nombres entiers, tant posiiiPs que négatifs, en commençant par i =; i, jusqu'il ce qu'on pirviendra à des équations inconsidérables. Si l’on voulait opérer d'une ma* niëre aussi générale sur les équations qui dépendent des puissances supéiieurcs des excentricités, te travail serait immense et inutile. Les formules qui donnent les inégalités ü, ü', sont des fonctions de/, n, n', dont la valeur diminue, à mesure que le nombre i augmente: on peut donc s'airéler, dès qu'on est paivenu il une valeur de /, qui donne une équation inconsidérable. Mais il n’en est pat de mèiue des inégalités d’un ordre supérieur, 11 peut anirer, et nous «n venons un exemple frappant, que des valeurs plus grandes de /, et des puissances plus élevées des excentricités, doniient des inégalités liès-coniidérables. Il sera donc nécessaire de choisir d’avance ies termes à calculer, en déleiminaiit a priori les argument qui pourront produire dos inégalités considérables.

On se rappellera qu’en intégrant un terme d'un argument quelconque,

il faut le diviser par la vitesse, avec laquelle cet argument croît. En eflet,

SS R, et par cottséijtaeni r ■''■•'ferme un terme A cos 0, il en résullera

pour (/tit) le terme A'dtsrn^ ou ^ f sin (p, ^ étant — pour /fdRl

a' > ^ Si ^ *

le terme — — cos (p, et pour le terme ^7— cos$, d'où il vien-

'3aa ASTRONOMIE PHYSIQUE

dra /3f/(^R)'=: — ^ sin <p, A, A', ëtant^des fonctions de n et n. Il s’agit donc de trouver des argumens $ tels que ^ soit lifcs-grand ou liës-pelilf et il est visible que cela dépend du rapport qui existe entre les moyens mouvemens, n, n', des deux planëles dont on se propose de développer l'action mutuelle. Or comme n et n' ne se trouvent multipliés que par des nombres entiers, de sorte que i aura la forme xn — k'/i', k, x' s'étendant à tous les nombres entiers, f ne peut devenir très-petit par rapport à A', fonction dans laquelle n et n sont multipliés par d’autres nombres entiers, que dans le cas oü les moyens mouvemens des deux planètes ont entre eux un rapport presque commenturable , ou qui peut être expiimé H peu près pardeux nombres entiers, n : n' Si, dans un pareil cas, on fait x = X,

x'“X', le diviseur i — — x’/i' est presque nul; et comme il n’entre pas

dans la fonction A', l’inégalité qui est multipliée par sera très -grande. L’équation f ou — Xn — X'a' donne (p r::; Xju — XV' -j- const.r on n*a donc qu’à chercher les argumens (p, dans lesquels p. et p' se trouvent multipliés par deux nombres, l’un étant positif, l’autre négatif, qui expriment à peu près le rapport des moyens mouvemens n et n.

Déterminons maintenant la puissance des excentricités, de laquelle dépend l’argument (p=:Xp — X'p'* Tous les argumens sont formés par la combinaison de la fonction B ou cotiw avec les fonctions <e', (§. dont le terme général a la forme "V* i” (p — w). Il en résulte dans R (S- ’77- (N)) un terme de la forme cos (iiv tj) = cos ^iiv -j- 1’ (p — ®)j — «os (ip'-(- (i’ — j) p-4- C). On a donc, pour les argumens que nous cherchons ici, i — \', I — i’=:X, d’où il suit que l’exposant i' de la puissance de l’excentricité >, de laquelle dépend l’argument ' — X=:X' — X.

Les séries (r) nous apprennent encore , que le co< Uicient de i’ ^p — ta) #sl ■y''', accompagné do etc. mais non de ‘ , etc. de

sorte qu’syànt calculé l’inégalité qui dépend de la puissance y'' , on sait qu’elle est exacte aux quantités de l’ordre piës, et que la puissanc»

n’y ajoutera rien. Il est aisé de voir qu'il en est de même de l’ex- Matricilé Y, parcequ'il ne s’ag.it ici que de la dUTétence des nombres i, T.

En effet , si Ton combine le terme général de (e) , (V — o')

avec cosMv, ii viendra ('y';^cos(iiv-J-/'(n.' — o') ~(V)'"coa((/-f-<"')n.' — »)i— i'»'), d'où il suit /r=X, <-j-/'z=X', donc r' = X' — X, comme précédemment. La combinaison des deux termes T Ui — m) et {YŸ' «'' ((*' — ®") donnera

/yi' jyy" 1 j// Q) ^ d’où il viendra un terme de R =

cos — (i — i')n + C}. On a donc i-+-i' = X', i — i:=X, d’où l’on

tire i -j-i"rrX' — X. Ainsi il est prouvé que, pour développer l’inégalité qui a l'argument X/i — X' ou X' (i' — ^ M , «I faut remonter à l'ordre X' — X des excenlricités.

C’est par de pareils raisonnemens que l’illustre Laplace a fait une des , plus grandes découvertes dans l’astronomie ph^'sique. Comme il n’y a rien de plus instructif et intéressant, que de tracer ou de suivre le chemin que le génie a pris pour découvrir les vérités sublimes qui sont le sujet de cet Ottvroge , je me suis fait un devoir , de prouver chaque vérité, autant que le permettent les bornes que j’ai dû me prescrire, par le même enchainement d’idées qui a guidé les premiers inventeurs. L’action mutuelle des deux grandes planètes du système solaire produit dans leurs mouvemens une inégalité trés-considérable , dont la période est si longue que, durant quelques siècles , elle ressemble à une inégalité séculaire. Les observations avaient cependant fait reconnaître, que ce n'était pas une véritable équation séculaire, mais qu'elle avait une période d'à peu près mille ans ($. i5i.). Comme les recherches des plus grands géomètres n’indiquaient aucune équa* tion qui fût à la fois très-grande et d'une période aussi longue, ce phénomène paraissait renverser la théorie de Newton. M. de Laplace, considérant que 1rs géomètres n'avaient eu égrcJ qu’à la première puissance des ezcentricilés, en conclut que cette grande inégalité devait dépendre des puissances supérieures, et il commença par déterminer la ptiiuance des excentricités, et l'argument qui pût fournir une pareille inégalité. C’est alors que , par les raisonnemens que nous venons de développer , ce grand géomètre découvrit l’inégalité de ces deux planètes, qui a une période de plus de neuf cens ans, et qui est la plus grande de toutes les perturbations. On a vu qu'afin que l'argument t^ = Xfs— X'ft' donne, après l’intégnition , une inégalité

consii^érahle, »a difi'érenlielle, divisée parcelle du tenu, Xu — X'n' = ^, don èlrc très petite; or comme ~ est la vitesse, avec laquelle l’aigumcnt $ croit, l'incgalité doit changer très-lentement, et par conséquent sa périod» doit être tiès*loDgue. Il est donc visible, qu'on remplira à la fuis les deux conditions, en déterminant l’argument de la manière que nous venons de développer.

Ç. igo. Les moyens mouvemens, n, n', h", des plus grandes planète* du système solaire, Jupiter, Saturne, cl üranus, ont entre eu* on lapport presque commensurable , de sorte qu'en nombres ronds ils peuvent êtie exprimés à peu piès par les proportions, n: n';;5;a, et n':/i"r:3:i. On a donc è peu près, par rapport è Jupiter et Saturne, 5n' — olh~o, et relativement à Saturne et Uranus, 3n'' — n'~o; d'où l’on conclura, dans le premier cas, X = a, X' = 5, r — X — \ — 3, et dans le second cas, i' — n. f,a grande inégalité de Jupiter et de Saturne est donc de l'ordre des cubes de» excentricités, et celle de Saturne et d’Uranu» est do l’ordre des cariés. Relativement è Jupiter et Uranus on a n rn":: i5: a, ce qui donnerait la treûicme puissance des excentricités.

Outre ces inégalités qui sont données par les termes /(dR) et il y en a d'autres assés considérables, qui ne se manifestent pas aussi imiiiédiatemenl, parcequ’elles sont données par les autres termes de l’équation IV (S- 180.)} on le» trouve principalement parmi celles du second ordre. Relativement au carré des excentricités, l'équation IV. donne des termes, dans Irsquels U, sont multipliés par Y* a ^ — ns), et u',

par Y*"' — ss). Or u étant “A cos Av (J. 182.), n'::^BY.eo»(x’|ji.' — Ci — i}g. — ns)

C y cos (j'ia' — (/ — 1)1». — tü') (XII. §, 18X), A, B, C, étant fonctions de n et n' , cela donne des ternie» de la forme Y* cos (i»- -j- — ’®)r

Y Y' cos (1 IV -j- 2,1* — O — ®'), e'esl-à-dire, de l’ordre du carré des excentricités, et de l’argument iiv -|- 2|i-|- C = éi*' — (é— a);* -J- G — n. L’équation IVprendra donc la Ibrrae, o =1 — -j- «* u'' -j- L cos >1 , dont l’intégrale esl

s»" =: K cos n, ce qui donne r: K { (é — 2) n — in' } sin n, et

— K{ ï — 2) n — iVf'cos»?, d’üù il i'(.'5ulle

O { L K — K ((/ — 2) n — «V/ f cos ri, donc

((; — a}it— li/)’ — r’ * “ ((i — i)n — |R')(^(< — 3)it — in')

Les équations u", U" , auront donc un terme considérable , si l'un de ce» deux diviseurs est Irës-pelit , ou si in' est à peu prfrs égal à (i‘ — 1) n ou à (i‘ — 3) n. Relativement & Jupiter et Saturne, on a h peu prés 5n'~2n; en faisant donc i~5, le diviseur (/ — S)n — in devient très-petitj d’où il résulte une inégalité de Jupiter, due à l'action de Saturne, qui a pour argument l'angle

5ft' — 3ft=-5^ — 3îJ.=cp,

Qc, étant les longitudes moyennes de ces deux planètes. Pour les perturbations que Saturne éprouve par l'action de Jupiter, on a à peu près 5/1 — 2«': le second diviseur devient donc très-petit, si liz: — 25 d’où il résulte une inégalité de Saturne, qui a l'argument

11 arrive aussi que, sans qu’aucun des deu.x diviseurs soit excessivement petit, le numérateur L devient très-grand: c'est ce qui a lieu, relativement à l'action de Saturne sur Jupiter, lorsque l'argument t> est égal à

3 fi' — P = O),

et relativement i> l'action de Jupiter sur Saturne, lorsque v) est égal à

Jji — p' = u';

d'où résultent deux inégalités de Jupiter et de Saturne, ayant l'une et l'autre l'aigument 3^ — îi , qui est identique avec l’argument 3^ — que nous avons trouvé pour la perturbation d'Uranus par l'action de Saturne. En résumant tout ce qui précède, nous aurons b développer les inégalités suivantes.

1. de l'ordre dis carrés des escaitn'cilis et des inclinaisons