XVI. m' î 7 — - m'ay’t ^aA^'^ — ao ^ — a' — ) »in («' — w

4 V «'» da’ /

, SA'" „ d3 A">

■rrrii /, N,S*“da“^“ ~â>“ (

On peut vérifier les valeurs précédentes b l’aide des fonctions J,/’. Comme le plan des s, y, est ici l'orbite de m, on a ($. i6i. i6o. i5g. (3) (y)) f--l, r — -h, f '-=o, </ = o. c" = o (S. i6o.),

Bc3/ = xdj.-j.3x, d’où l’on tirera (J. iSg. (^))

- ay = a A = (xdj. -j^ax) 4. ^ ^ ,

- a/=a/ = -<.raa.-jrax) - dy\z (i^) -jr (p^\.

Mais on a (4

sr = rcosv, jr=rrsinv, x' = f'cosw', yz^dtinv', dx = a rcos V — rd W sin w, dy =; drain v -f- rdw cos v, xdy —jBx — r* 9 V, ce qui donne aux équations précédentes la forme

dh~r*dv -f- r (drcos V — rdv sin v) cos V — | * sin

91 ~ — r’ a r (~y^ — r (dr sin v rd w cos v) cos v — sin u^.

On a de plus (§. i58. (e) (A))

/3R^ tn'cofv' mVcorv' , m'r«->iv /aR\ m'tint;' m^r'iinv' inViinw

\Ti) — ~~Pi P I P P I P''»

et en différentiant l’équation (E) ($. lôj.f,

ASTRONqMIE PHYSIQUE

n' CD* (v' — v) , m'r th'r^coi(v' — u)

VJr/ — T "Ji >

/5R\ «i'|r jin Cv' — v) m'rr'iinft/ — v) . .

En subslituant ces valeurs dans les équations précédentes , et observant que d// sin « -f-d/ cos ta := dV, dAcosts — d/sin tu zz 7dc5, on trouvera

d7=: — dvsin (u — ta) — prsin (v — ta) a rd v cos (v — w)}

Vdtc —r’ du cos (v — ta) -|- {drcos(v — ta) — ardu sin(v — ta)^ (^)*

Substituons maintenant (Ç. 169. (e)), en négligeant le , carré des excentricités, ' r=ro.{i — 7 cos (h — ta)}, v — n 4* » ««n (»i — ta),

èrznanht.y sin (fi — ta) dv z:: ndt (l* — ta)},

rd t> zr awd/ { t -|- 7 cos (r — o)}, sin (v — ta) — sin (jt — ta) -{- 7 sin a (ji — w), cos (V — ta) — cos (fi — ta) — 7 -f- c®* ^ 0* — ®)-

Cela donnera, en faisant pour abréger, [i — cazzQ, n' — vs' iz <p' f

d7rz — û/»d/(sin (f)-}- ^7sin a(p)r — <7«d/(ac08<p — ^ 74-^7 cos a^5)

7dta— t7nd/(co8$ — J — cnd/(a!inQ4-^7sina(|>)

L'équation (P) (§. J ^8.) donnera

(r /dU\ a a /dA'=* , ^

m'\àrj s. a a a \ da <i a’ J

On a d’ailleurs — m' •* l’P*centricité est nulle, d'où il suit

, /dR'. /dB\ , Ar fàdü\ Ar* /ddB\ , /làB\

Si l’on substitue les rapports diflérenliels {$. i^S.), U viendra

t I V H E V, C H A P. IV. 3i9

Puisque nous cherchons ici les inégalités séculaires, il ne faut employer que les ternes constans. Cela posé un trouvera

Y cos (»w -f- $') sin a'.

Y sin (Av -j- ^') cos 4 S

r.. , , a»d^Af»n

+ -h 0 A‘'’ -I- ia

75a «• fl» a, I 55A'"\ „ '

— r- — — — «73/-- T"—: î-)7cos*<I)

m 4 * \<ia' à a’ J ^

r . , ^ 5 4<«> , fl* 55 \(«)T , „

[f* + ')“ -TT + T ^ 5 ‘I’

n f' + ')“ -TT + T ~â7~ “*

-t-an3/ ^

/ — I (ai’ -j- i) A^'* -f ia 1 y' sin (•w -|- (J)') sin $.

En développant les produits des sinus et cosinus, on aura

— --- ai^'^ai’»-J-0aA«”— o--y^ 7 *'“{('+ O'h

75a on -

5\'» , . a» 3jA'=>* ^

, 7 J rr >

Si on fdil maintenant i~ — i, il viendra

tt a

«•J^aU’-I»,- r/. X , V*

‘ a TÏ>"J ^ COS[(i

:r — ^ ndi ^(1 — «’

, 5A'" fl»55A”'\ m'

V à a a à / a les mêmes formules que les piécéJentes (X.VI. XVII.).

s V «*a 3 rfa* / a \ da i t/i*/7

5. 188. Les fadeurs / sin (J — J'), ces (J — J'), 7' sin (®' — to), 7'

“Costm' — t?;, éprouvent des changemens , dus aux variations £5, IJ, £7, é B; d'où il suit que ces variations ne sont pas rigoureusement proportionnel* les su tems, el que les expressions précédentes ne sont exactes que pendant un certain tems qui peut s'éten Ire à deux ou tro:s siècles, à Cause de la lenteur avec laquelle changent les facteurs J* sin (J — J'), etc. Mais si l’on veut étendre les formules XIV — XVII k des tems plus éloignés , il faut y appliquer anc correction. Ucsi^nuns par /, J, /', Y, », Y, les valeurs

9>o ASTRONOMIE PHYSIQUE

de ce* élëmens à l’époque d’où l'on pari, par (J) eic. leurs valeurs qui

auront lieu au bout de aoo ans, et par [ÿ], [J] , etc. celles qui auront lieu après un tem* quelconque /. Cela posé, on a d’après le théorème de Taylor,

= * -i- ' ^ + 7 T,.- tJJ = J + '"-4 T ■ t4 •+* “»•

et ainsi du reste. Les premières dilTérentielles ~ , etc. sont les vitesses des Tariations de* élémons i, etc. qui sont données par les formules XIV — XVII, dans lesquelles il faut substituer successivement les actions de toutes le* planètes an lieu de celle^de m. Faisons pour abréger, — m'n*a' A, A #' sin (J — J') — i, A j- cos (J — J') =: c, A,b,c, étant l’eirel total de l’action de toute* le* planètes m', m", etc. Cela posé on aura (XIV. XV.)

et pour un nombre d’année* l, qui ne surpasse pas aoo, t — $-f- bt, J = J -1- (c — A) /, donc au bout de aoo an* ,

aoo 6, (J) =: J -|- aoo (c — A).

On calculera de la même manière, et pour la même époque ,

(O, (JO, (O, (J"), elc.

Si l’on substitue ()), (J), (9'), (J ), elc. au lieu de 9, J. 9', elc. dans les formules XIV, XV, on trouvera le* valeurs variation*

annuelle* auront au bout de aoo ans; partant

w lr*=£STr "*"•

Après cela les formules (a) danneront le* valeurs des élémen* 9, J, 7, a, pour un tem* quelconque.

On peut aussi former les dilTérenlielles secondes, en ditférentiant les équations XIV — XVII, ce qui donnera (A),

- rr = A TF + A9' - — j cos (J - J ) =

Ay sin (J — J') + A9' (e — A — c' + A'} cos (J — J'), d’où il suivra le même résultat.